1.1-1.3空间向量及其运算的坐标表示滚动测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.1-1.3空间向量及其运算的坐标表示滚动测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 18:02:01 | ||
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文档简介
1.1-1.3空间向量及其运算的坐标表示滚动测试卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．若向量，，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．6 D．8
2．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线 B．，共线
C．，，共面 D．，，不共面
4．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是
A．0 B． C． D．
5．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
6．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）
①若，则，，三点共线；
②若，则，，，四点共面；
③若，则，，，四点共面．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、多选题
9．（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
10．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是
A． B．
C．一定不与垂直 D．
11．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．如图是一个正方体截下的一角，其中，，.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则的重心G的坐标是 .
13．已知，，且，则x的值为 .
14．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ．
四、解答题
15．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，.
(1)求证：A，，，四点共面；
(2)若，求的值.
16．已知
(1)，求的坐标；
(2)求；
(3)若与互相垂直，求实数的值.
17．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求．
19．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）．
(1)若，求的最小值；
(2)若，求与夹角的最大值．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
《1.1-1.3空间向量及其运算的坐标表示滚动测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A C B B C ABD BD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得.
【详解】依题意，向量，，且，
通过观察横坐标可知，
所以，
所以.
故选：D
2．D
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，
故D错误.
故选：D
3．C
【分析】根据共面向量定理可作出判断
【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，
由共线向量定理知，A，B，C三点共线，
由共面向量定理知，，，共面.
故选：C
4．A
【分析】利用向量加法运算将向量和用长方体的棱对应的向量来表示，之后应用向量数量积的定义式和运算法则求得其数量积等于0，从而得到两向量是垂直的，故得其夹角余弦值为0，得到答案.
【详解】根据题意可得，
，
从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值问题，涉及到的知识点是两向量的数量积为0，则其所成角为直角，从而得到其为垂直关系，还可以应用空间向量来解决.
5．C
【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案.
【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
由正方体的特征可得其外接球半径为 ,
设外接球球心为O，则
,
由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长，
即为正方体面对角线的一半，为，
所以 的最小值为，
故选：C
6．B
【分析】举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
7．B
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故选：B.
8．C
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确；
，若，，不共面，
则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误；
，
所以，即，，，四点共面，命题③正确．
故选：C.
9．ABD
【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，
对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，
故选：ABD
10．BD
【分析】根据数量积的性质判断，根据三角形的性质判断，根据向量的垂直判断，根据向量的运算满足平方差公式判断．
【详解】是表示与向量共线的向量，而是表示与向量共线的向量，错误，
，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确，
可能成立，错误，
向量的运算满足平方差公式，，正确，
故选：．
11．ACD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，可判断D选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
设点，其中，.
对于A选项，，，则，
所以，，A对；
对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，
所以，不存在点，使得，B错；
对于C选项，，点到平面的距离为，
所以，，C对；
对于D选项，，
若，则，可得，
由可得，
，
当且仅当时，等号成立，
因为平面，平面，，
，D对.
故选：ACD.
12．
【分析】利用三角形重心的坐标公式即可得解.
【详解】由题意知，，.
由重心坐标公式得点G的坐标为.
故答案为：.
13．2
【分析】利用向量垂直关系的坐标表示求解
【详解】解：由题意可知，，
解得，
故答案为：
14．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可.
【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，，
因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设，则，，
所以．
因为，，所以当时，取得最小值；
当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为．
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明：
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
，，，四点共面.
（2）
，
，，，
.
16．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
（2）因为、、，，，
所以，，
则.
（3）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）
因为,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案；
法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案；
【详解】（1）法1，结合题图，，
由题，，
则，
所以，即；
法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
因为为的中点，所以，所以，，
又，所以，即；
（2）法1，，，则，从而
，则，即的长为；
法2，由（1），，则，所以的长为
（3）法1，由于，，
因此，故．
，故．
，
故；
法2，，，
所以，，，
则．
19．(1)
(2)
【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果．
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设．
，，
由于，所以，即．
又，所以，
由于，所以当时取得最小值．
（2），，
因为，所以，即．
又．
由于，所以（利用二次函数的性质求解），
即当或1时，取得最小值，因此的最大值为，
即与夹角的最大值为．
答案第12页，共12页
答案第11页，共12页
第I卷（选择题）
一、单选题
1．若向量，，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．6 D．8
2．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线 B．，共线
C．，，共面 D．，，不共面
4．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是
A．0 B． C． D．
5．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
6．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）
①若，则，，三点共线；
②若，则，，，四点共面；
③若，则，，，四点共面．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、多选题
9．（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
10．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是
A． B．
C．一定不与垂直 D．
11．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．如图是一个正方体截下的一角，其中，，.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则的重心G的坐标是 .
13．已知，，且，则x的值为 .
14．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ．
四、解答题
15．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，.
(1)求证：A，，，四点共面；
(2)若，求的值.
16．已知
(1)，求的坐标；
(2)求；
(3)若与互相垂直，求实数的值.
17．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求．
19．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）．
(1)若，求的最小值；
(2)若，求与夹角的最大值．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
《1.1-1.3空间向量及其运算的坐标表示滚动测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A C B B C ABD BD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得.
【详解】依题意，向量，，且，
通过观察横坐标可知，
所以，
所以.
故选：D
2．D
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，
故D错误.
故选：D
3．C
【分析】根据共面向量定理可作出判断
【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，
由共线向量定理知，A，B，C三点共线，
由共面向量定理知，，，共面.
故选：C
4．A
【分析】利用向量加法运算将向量和用长方体的棱对应的向量来表示，之后应用向量数量积的定义式和运算法则求得其数量积等于0，从而得到两向量是垂直的，故得其夹角余弦值为0，得到答案.
【详解】根据题意可得，
，
从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值问题，涉及到的知识点是两向量的数量积为0，则其所成角为直角，从而得到其为垂直关系，还可以应用空间向量来解决.
5．C
【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案.
【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
由正方体的特征可得其外接球半径为 ,
设外接球球心为O，则
,
由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长，
即为正方体面对角线的一半，为，
所以 的最小值为，
故选：C
6．B
【分析】举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
7．B
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故选：B.
8．C
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确；
，若，，不共面，
则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误；
，
所以，即，，，四点共面，命题③正确．
故选：C.
9．ABD
【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，
对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，
故选：ABD
10．BD
【分析】根据数量积的性质判断，根据三角形的性质判断，根据向量的垂直判断，根据向量的运算满足平方差公式判断．
【详解】是表示与向量共线的向量，而是表示与向量共线的向量，错误，
，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确，
可能成立，错误，
向量的运算满足平方差公式，，正确，
故选：．
11．ACD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，可判断D选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
设点，其中，.
对于A选项，，，则，
所以，，A对；
对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，
所以，不存在点，使得，B错；
对于C选项，，点到平面的距离为，
所以，，C对；
对于D选项，，
若，则，可得，
由可得，
，
当且仅当时，等号成立，
因为平面，平面，，
，D对.
故选：ACD.
12．
【分析】利用三角形重心的坐标公式即可得解.
【详解】由题意知，，.
由重心坐标公式得点G的坐标为.
故答案为：.
13．2
【分析】利用向量垂直关系的坐标表示求解
【详解】解：由题意可知，，
解得，
故答案为：
14．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可.
【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，，
因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设，则，，
所以．
因为，，所以当时，取得最小值；
当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为．
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明：
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
，，，四点共面.
（2）
，
，，，
.
16．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
（2）因为、、，，，
所以，，
则.
（3）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）
因为,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案；
法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案；
【详解】（1）法1，结合题图，，
由题，，
则，
所以，即；
法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
因为为的中点，所以，所以，，
又，所以，即；
（2）法1，，，则，从而
，则，即的长为；
法2，由（1），，则，所以的长为
（3）法1，由于，，
因此，故．
，故．
，
故；
法2，，，
所以，，，
则．
19．(1)
(2)
【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果．
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设．
，，
由于，所以，即．
又，所以，
由于，所以当时取得最小值．
（2），，
因为，所以，即．
又．
由于，所以（利用二次函数的性质求解），
即当或1时，取得最小值，因此的最大值为，
即与夹角的最大值为．
答案第12页，共12页
答案第11页，共12页