3.5.1-3.5.2 对数函数 学案1（含答案）

3.5.1-3.5.2对数函数
学案
5．1　对数函数的概念
5．2　对数函数y＝log2x的图像和性质
课标解读
1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点，易混点)3．会画具体函数的图像．(重点)
知识点一
对数函数的概念
【问题导思】　
1．对于一般的指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，你能用y表示x吗？
【提示】　根据对数的定义，得x＝logay(a>0，a≠1)．
2．问题1中的关系式中，x是y的函数吗？
【提示】　x是y的函数．
3．在问题1的关系式中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？
【提示】　y＝logax(a>0，a≠1)．
1．定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是(0，＋∞)，值域是R.
2．两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg
x，其底数为10.
自然对数函数：y＝ln
x，其底数为无理数e.
知识点二
反函数
【问题导思】　
函数y＝ax的定义域和值域与y＝logax的定义域和值域有什么关系？
【提示】　对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，对数函数y＝logax的值域是指数函数y＝ax的定义域．
　指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数．
知识点三
函数y＝log2x的图像和性质
【问题导思】　
1．你能用描点法作出对数函数y＝log2x的图像吗？
【提示】　先列出x，y的对应值表：
x
…
1
2
4
8
…
y＝log2x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
　再用描点法画出图像：
2．如何由函数x＝log2y的图像得到函数y＝log2x图像？
【提示】　把函数x＝log2y的图像的坐标轴中的x轴、y轴的字母表示互换，但习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，所以再把图像翻转，使x轴在水平位置方向向右，y轴的方向向上，就得到函数y＝log2x图像．如下图所示：
　画函数y＝log2x的图像时，可以用常规的描点法作图，也可以先画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．如图所示．
观察函数y＝log2x的图像可得：
图像特征
函数性质
过点(1,0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图像从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
(见学生用书第52页)
类型1
对数函数的定义域
　求下列函数的定义域：
(1)y＝＋lg
x；(2)y＝log(3－x)(x－2)．
【思路探究】　解答此类问题的关键是要考虑使y＝f(x)有意义的所有x所满足的条件，转化成求不等式解集问题．
【自我解答】　(1)由于所以
即0所以函数的定义域是(0,1]．
(2)由得
即2所以函数的定义域是(2,3)．
1．求有关对数函数的定义域时，务必关注对数的真数和底数的约束条件．
2．函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．
函数f(x)＝＋lg
(1＋x)的定义域是(　　)
A．(－∞，－1)　　　　　　　B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
【解析】　若函数f(x)有意义，需满足解得x>－1且x≠1，故定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
【答案】　C
类型2
求反函数
　求下列函数的反函数．
(1)y＝10x；(2)y＝()x；
(3)y＝logx；(4)y＝log7x.
【思路探究】　根据指数式与对数式的互化写出．
【自主解答】　(1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg
x.
(2)指数函数y＝()x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.
(3)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝()x.
(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
反函数的求法：
1．由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)．
2．将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)．
3．由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．
　求下列函数的反函数：
(1)y＝log0.13(2x)；
(2)y＝πx.
【解】　(1)由y＝log0.13(2x)，
得2x＝0.13y，
∴x＝·0.13y
x，y互换得y＝·0.13x，
∴y＝log0.132x的反函数为y＝·0.13x(x∈R)．
(2)y＝πx的反函数为y＝logπx(x>0)．
类型3
函数y＝log2x的图像与性质
　根据函数f(x)＝log2x的图像和性质求解以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．
【思路探究】　可先作出y＝log2x的图像，利用图像考查单调性解决问题．
【自主解答】　函数y＝log2x的图像如图．
(1)因为y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．
　(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围．
【解】　(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2.
(2)log2(2－x)>0即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x>1，即x<1.
∴x的取值范围为(－∞，1).
(见学生用书第53页)
求定义域时忽略对数函数的真数的范围致误
　求函数y＝的定义域和值域．
【错解】　由题意可得lg(1－x)≤0，
即lg(1－x)≤lg
1
∴1－x≤1解得x≥0.
又∵lg(1－x)≤0，
∴－lg(1－x)≥0，
∴函数的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．
【错因分析】　错误的原因在于对于对数的取值理解不清晰，实际上当底数a>1时，若logax≤0，则0【防范措施】　解答过程中对隐含的限制条件加以注意，避免错解．
【正解】　由题意知lg(1－x)≤0，
即lg(1－x)≤lg
1，
∴解得0≤x<1.
又lg(1－x)≤0，
∴－lg(1－x)≥0，
∴y≥0，
∴此函数的定义域为[0,1)，值域为[0，＋∞)．
1．解与对数有关的问题，要首先保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1.
2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线y＝x对称．
3．应注意数形结合思想在解题中的应用.
(见学生用书第53页)
1．(2013·泰安高一检测)函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为(　　)
A．(1,4]　　　　　　　　B．(1,4)
C．[1,4]
D．[1,4)
【解析】　
解得1【答案】　A
2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是(　　)
A．R
B．(－∞，1]
C．[0,1]
D．[0，＋∞)
【解析】　∵1≤x≤2，
∴log21≤log2x≤log22.
即0≤y≤1.
【答案】　C
3．函数y＝lnx的反函数是________．
【解析】　对数函数与指数函数互为反函数．
【答案】　y＝ex
4．求函数y＝log2x＋的定义域．
【解】　由题意知，
∴
故有1，
所以原函数的定义域是{x|1}.
(见学生用书第115页)
一、选择题
1．函数y＝log2x的图像大致是(　　)
【解析】　结合各选项可知，C正确．
【答案】　C
2．函数y＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．R
【解析】　结合y＝log2x的图像可知，f(m)>0时，m>1.
【答案】　C
3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于(　　)
A．M　　　　B．N　　　　C． 　　　　D．R
【解析】　M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M.
【答案】　A
4．函数y＝9x的反函数是(　　)
A．y＝9x
B．y＝x9
C．y＝logx9
D．y＝log9x
【解析】　由反函数的定义知y＝9x的反函数是y＝log9x.
【答案】　D
5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(4)＝2，则f(x)＝(　　)
A．log2x
B.
C．logx
D．2x－2
【解析】　依题意知，f(x)＝logax，又f(4)＝2，所以loga4＝2，即a2＝4，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
【答案】　A
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域是________．
【解析】　由2－log2x≥0 log2x≤2，
∴0【答案】　(0,4]
7．已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
【解析】　f[f()]＝f(log2)＝f(－2)＝3－2＝.
【答案】　
8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
【解析】　∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.
【答案】　1
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
【解】　(1)∵当1－x>0，即x<1时，函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}．
(3)由>0，得x<.
∴函数y＝log7的定义域为(－∞，)．
10．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)【解】　(1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)由图像知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
11．已知函数y＝log2x的图像，如何得到y＝log2(x＋1)的图像，y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
【解】　y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，
与x轴的交点是(0,0).