3.5.1-3.5.2 对数函数 学案3（含答案）

3.5.1-3.5.2　对数函数的概念　y＝log2x的图像和性质
学案
[读教材·填要点]
1．对数函数的概念
(1)对数函数的定义：
一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数．
(2)两种特殊的对数函数：
我们称以10为底的对数函数y＝lg_x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln_x为自然对数函数．
2．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
3．函数y＝log2x的图像和性质
图像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1，0)，即x＝1，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当0(5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数
[小问题·大思维]
1．函数y＝log3x(x>0)，y＝logx(x>0)，y＝2log2x，y＝logx2都是对数函数吗？为什么？
提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．因此y＝log3x(x＞0)，y＝logx(x＞0)是对数函数，而y＝2log2x，y＝logx2等都不是对数函数．
2．函数y＝logax2与y＝2logax(a＞0且a≠1)是同一个函数吗？为什么？
提示：不是，因为定义域不同．
3．对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x有何关系？
提示：(1)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数，其图像关于直线y＝x对称；
(2)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的定义域与值域互换，即y＝log2x的定义域(0，＋∞)是y＝2x的值域，而y＝log2x的值域R恰好是y＝2x的定义域．
(3)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的单调性一致，即都是增函数．
[研一题]
[例1]　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(x－1)＋log(x＋1)(16－4x)．
[自主解答]　(1)要使函数有意义，
需有即
解得0≤x<1，
所以函数的定义域为[0，1)．
(2)要使函数有意义，需有即
∴1故所求函数的定义域为(1，2)．
[悟一法]
求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log2x<1，有人常由此得到x<2，而忘记x>0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．
[通一类]
1．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(x＋1)＋.
解：(1)要使函数有意义，需有即0∴所求函数的定义域为(0，2]．
(2)要使函数有意义，需有：
即－1＜x＜0且x≠－.
∴所求函数的定义域为(－1，－)∪(－，0).
[研一题]
[例2]　写出下列函数的反函数．
(1)y＝log0.13x；
(2)y＝3.05x.
[自主解答]　(1)y＝log0.13x的反函数是y＝0.13x.
(2)y＝3.05x的反函数是y＝log3.05x.
[悟一法]
函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，a≠1)．
[通一类]
2．写出下列函数的反函数．
(1)y＝lg
x；
(2)y＝ln
x；
(3)y＝()x.
解：(1)y＝lg
x的反函数为y＝10x.
(2)y＝ln
x的反函数为y＝ex.
(3)y＝()x的反函数为y＝logx.
[研一题]
[例3]　根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围．
(2)y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．
[自主解答]　函数y＝log2x的图像如图．
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)＞f(2)，
即log2a＞log22，
则a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227.
[悟一法]
(1)研究函数y＝log2x的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．
(2)函数y＝log2x的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．
[通一类]
3．(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)＞0，求x的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵＞，∴log2＞log2.
(2)log2(2－x)＞0即log2(2－x)＞log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x＞1，即x＜1.
∴x的取值范围为(－∞，1)．
当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
[巧思]　将关于x的方程解的问题转化为函数y＝|log2x－1|的图像与直线y＝m的交点个数问题，利用数形结合法求解．
[妙解]　在同一坐标系，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图像，如图所示．
由图像得：当m<0时，方程无解，
当m＝0时，方程有一解，
当m>0时，方程有两解．
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x)　　　　　　
B．y＝lg(10x)
C．y＝loga(x2＋x)
D．y＝ln
x
解析：形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数为对数函数，所以只有y＝ln
x符合此形式．
答案：D
2．函数y＝log2x(1≤x≤8)的值域是(　　)
A．R
B．[0，＋∞)
C．(－∞，3]
D．[0，3]
解析：∵y＝log2x在[1，8]上为增函数，
∴log21≤y≤log28，即y∈[0，3]．
答案：D
3．图中所示图像对应的函数可能是(　　)
A．y＝2x
B．y＝2x的反函数
C．y＝2－x
D．y＝2－x的反函数
解析：由y＝()x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y＝logx的图像．
答案：D
4．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a的值是________．
解析：依题意，f(x)的图像过点(－1，2)，
∴a－1＝2，即a＝.
答案：
5．函数y＝log2(3＋1)的定义域为________，值域为________．
解析：由已知得x－1≥0，得x≥1，故定义域为[1，＋∞)．
又≥0得3≥30＝1，∴3＋1≥2.
∴y＝log2(3＋1)≥log22＝1.∴值域为[1，＋∞)
答案：[1，＋∞)，[1，＋∞)
6．已知对数函数f(x)＝log2(x＋3)－1.
(1)求此对数函数的定义域；
(2)若f(a)＞f(1)，求a的取值范围．
解：(1)由题意知x＋3＞0，即x＞－3，
∴函数的定义域为(－3，＋∞)．
(2)f(a)＝log2(a＋3)－1，
f(1)＝log2(1＋3)－1＝1，
∵f(x)为增函数
∴，即
∴a＞1.即a的取值范围是(1，＋∞)．
一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．y＝和y＝()2
B．|y|＝|x|和y3＝x3
C．y＝logax2和y＝2logax
D．y＝x和y＝logaax
解析：对于A，定义域不同，对于B，对应法则不同，对于C，定义域不同，对于D，y＝logaax y＝x.
答案：D
2．函数y＝log2|x|的图像大致是(　　)
解析：y＝log2|x|＝分别作图知A正确．
答案：A
3．已知函数y＝log2x，其反函数y＝g(x)，则g(x－1)的图像是(　　)
解析：由已知g(x)＝2x，∴g(x－1)＝2x－1，故选C.
答案：C
4．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．－log2x
B．log2(－x)
C．logx2
D．－log2(－x)
解析：∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝log2(－x)．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－log2(－x)．
答案：D
二、填空题
5．集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝()x，x＞1}，则(RA)∩B＝________．
解析：∵x＞1，∴log2x＞log21＝0，∴A＝{y|y＞0}．
而当x＞1时，0＜()x＜()1，∴B＝{y|0＜y＜}．
∴(RA)∩B＝{y|y≤0}∩{y|0＜y＜}＝.
答案：
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝________．
解析：∵y＝f(x)的图像过点(，a)，
∴其反函数y＝ax的图像过点(a，)，
∴aa＝＝a，∴a＝，∴f(x)＝logx.
答案：logx
7．若log2a＜log2b＜0，则a，b，1的大小关系是________．
解析：log2a＜log2b＜0log2a＜log2b＜log21，
∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，∴a＜b＜1.
答案：a＜b＜1
8．函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上的最大值与最小值之差为________．
解析：∵f(x)＝log2x在区间[a，2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝log22＝1.
答案：1
三、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
解：(1)要使函数有意义，
需即
∴函数的定义域为(－1，2)．
(2)要使函数有意义．
需即
∴定义域为(2，3)∪(3，5)．
10．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)若函数f(x)的定义域为[3，63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围；
(3)判断函数F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性．
解：(1)由题意知，3≤x≤63，∴4≤x＋1≤64，
∵函数y＝log2x是增函数，
∴log24≤log2(x＋1)≤log264，∴2≤f(x)≤6，
∴f(x)的最大值为6，最小值为2；
(2)f(x)－g(x)＞0 f(x)＞g(x)，
即log2(x＋1)＞log2(1－x)，
则得：0＜x＜1，
∴x的取值范围为(0，1)；
(3)要使函数F(x)＝f(x)＋g(x)有意义，需
即－1＜x＜1，∴定义域为(－1，1)
又F(－x)＝f(－x)＋g(－x)
＝log2(1－x)＋log2(1＋x)
＝log2(1－x2)＝f(x)＋g(x)＝F(x)
∴F(x)为偶函数．