【学霸笔记：同步精讲】第二章 §2 2.2 函数的表示法 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共74张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章　函数
§2　函数
2.2　函数的表示法
学习任务 核心素养
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(重点、难点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、易错点) 1．通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养．
2．通过求函数解析式，培养数学运算素养．
1．函数的表示方法有哪几种？
2．函数的表示方法各有什么优缺点？如何选择函数的表示方法表示具体问题？
3．什么是分段函数？
4．分段函数是多个函数吗？
5．如何画分段函数的图象？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　函数的表示法
解析式　
图象　
表格
思考1．函数的三种表示法各有什么优缺点？
[提示]　
体验1．函数 f (x)的图象如图所示，则 f (x)的定义域是______________，值域是________．
体验2．若反比例函数f (x)满足f (3)＝－6，则 f (x)的解析式为__________．
[－1，0)∪(0，2]　
　[－1，1)
f (x)＝－
知识点2　分段函数
(1)分段函数
如果函数y＝f (x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
(2)分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心圈还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
思考2．函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？
[提示]　函数y＝是分段函数，它是一个函数．
体验3．已知f (x)＝则 f (－2)＝________．
2
体验4．函数y＝的定义域为_____________________，值域为________________．
(－∞，0)∪(0，＋∞)
{－2}∪(0，＋∞)
关键能力·合作探究释疑难
类型1　函数的表示法
【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　(1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
反思领悟　1．解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示．
2．在用三种方法表示函数时，要注意：
(1)解析法要注明函数的定义域；
(2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法要注意图象是散点还是连续的曲线．
[跟进训练]
1．已知函数 f (x)，g(x)分别由下表给出．
则 f ( g(1))的值为________；当g( f (x))＝2时，x＝________．
x 1 2 3
f (x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
1　
1　
1　1　[由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f (g(1))＝f (3)＝1．
由于g(2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1．]
类型2　函数图象的作法及应用
【例2】　【链接教材P56例3，P57例4】
作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]；
(4)y＝
[解]　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．
由图可得函数的值域是[－1，8]．
(4)函数对应图象如图所示：
由图可得其值域为(－6，6]．
【教材原题·P56例3】
例3　画出函数y＝|x|的图象．
[解]　由绝对值的意义，可知
y＝|x|＝
其图象为第一、第二象限的角平分线，
如图2-6．
【教材原题·P57例4】
例4　画出取整函数y＝[x]的图象．
[解]　依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z．
它的图象如图2-7．
反思领悟　画函数图象的两种常见方法
(1)描点法
一般步骤：
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f (x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f (x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
[跟进训练]
2．作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]．
(3)y＝
[解]　(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1，3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
(3)
①　　　　　　②
类型3　函数解析式的求法
方法1　用待定系数法求函数解析式
【例3】　(1)已知 f (x)是一次函数，且 f ( f (x))＝16x－25，求 f (x)；
(2)已知 f (x)是二次函数，且 f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，求 f (x)．
[解]　(1)设 f (x)＝kx＋b(k≠0)，
则 f ( f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴
∴或
∴f (x)＝4x－5或 f (x)＝－4x＋．
(2)设 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则 f (x＋1)＋f (x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f (x)＝x2－2x－1．
反思领悟　待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出 f (x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
方法2　利用换元法(配凑法)求函数解析式
【例4】　求下列函数的解析式：
(1)已知 f (＋1)＝x＋2，求 f (x)；
(2)已知 f (x＋2)＝2x＋3，求 f (x)．
[解]　(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f (x)的解析式为f (x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1．
因为＋1≥1，所以f (x)的解析式为f (x)＝x2－1(x≥1)．
(2)因为f (x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
所以f (x)＝2x－1．
反思领悟　已知 f (g(x))＝h(x)求 f (x)，常用的两种方法
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围．
(2)配凑法，即从 f (g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
方法3　用方程组法求函数解析式
【例5】　已知 f (x)＋2f (－x)＝x2＋2x，求 f (x)．
[解]　因为 f (x)＋2f (－x)＝x2＋2x，将x换成－x，得f (－x)＋2f (x)＝x2－2x，联立，得
将①②两式消去f (－x)，得3f (x)＝x2－6x，所以f (x)＝x2－2x．
反思领悟　已知关于f (x)与f 或 f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x)．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x＋1)＝3x＋2，求f (x)；
(2)已知f ＝x2＋，求f (x)；
(3)已知f (x)＋2f ＝x(x≠0)，求f (x)．
[解]　(1)法一(换元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f (x)＝3x－1．
法二(配凑法)：f (x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f (x)＝3x－1．
(2)∵f ＝x2＋＝＋2，
∴f (x)＝x2＋2．
(3)∵f (x)＋2f ＝x(x≠0)，
用代替x得f ＋2f (x)＝(x≠0)，
消去f 得f (x)＝(x≠0)，
∴函数f (x)的解析式为f (x)＝(x≠0)．
类型4　分段函数求值问题
【例6】　已知函数 f (x)＝
(1)求 f 的值；
(2)若 f (a)＝，求a的值．
[解]　(1)因为f ＝－2＝－，
所以f ＝f ＝＝．
(2) f (a)＝，若|a|≤1，则|a－1|－2＝，
得a＝或a＝－．
因为|a|≤1，所以a的值不存在；
若|a|>1，则＝，得a＝±，符合|a|>1．
所以若f (a)＝，a的值为±．
反思领悟　分段函数求值问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现 f ( f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
[跟进训练]
4．f (x)＝则 f (5)的值是(　　)
A．24 　 B．21
C．18 　 D．16
√
A　[ f (5)＝f ( f (10))，f (10)＝f ( f (15))＝f (18)＝21，∴f (5)＝f (21)＝24．故选A．]
5．已知实数a≠0，函数 f (x)＝若 f (1－a)＝f (1＋a)，则a的值为________．
－　[当1－a<1，即a>0时，a＋1>1，由f (1－a)＝f (1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；当1－a>1，即a<0时，a＋1<1，由f (1－a)＝f (1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－．]
－　
6．已知函数 f (x)＝则不等式 f (x)>f (1)的解集是___________________．
(－3，1)∪(3，＋∞)　[画出函数f (x)的图象如图所示，令f (x)＝f (1)，得x＝－3，1，3，所以当f (x)>f (1)时，必有x∈(－3，1)∪(3，＋∞)．]
(－3，1)∪(3，＋∞)　
阅读材料·拓展数学大视野
函数图象的变换(探究型)
1．函数图象的平移变换
函数y＝f (x)的图象与y＝f (x＋a)及y＝f (x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．
观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f (x＋a)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f (x)＋a的图象是由函数y＝f (x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f (x)的图象与y＝f (－x)，y＝－f (x)及y＝－f (－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，
③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．
观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f (－x)的图象可由y＝f (x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f (x)的图象可由y＝f (x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f (－x)的图象可由y＝f (x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f (x)与y＝| f (x)|，y＝f (|x|)的图象间的关系．
函数y＝f (x)的图象与y＝| f (x)|及y＝f (|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，
y＝|x2－2x－3|＝
y＝x2－2|x|－3＝
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图(1)(2)所示．
(1)　　　　　　　(2)
通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝| f (x)|的图象，可先作y＝f (x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可．
(2)要作y＝f (|x|)的图象，可先作y＝f (x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知函数 f (x)由下表给出，则 f (3)等于(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．不存在
√
x 1≤x<2 2 2f (x) 1 2 3
2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)
√
A　　　 　B　　　 　C　　　　　D
D　[由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0．]
3．函数y＝|x＋1|的图象是(　　)
√
A　　　　B　　　　C　　　　D
A　[y＝|x＋1|＝
由解析式可知，A项符合题意．]
4．如果一次函数f (x)的图象过点(1，0)及点(0，1)，则 f (3)＝____．
－2　[设一次函数的解析式为 f (x)＝kx＋b(k≠0)，因为其图象过点(1，0)，(0，1)，所以
解得k＝－1，b＝1，
所以f (x)＝－x＋1，
所以f (3)＝－3＋1＝－2．]
－2　
5．已知函数 f (x)的图象如图所示，则 f (x)的解析式是
_________________________．
f (x)＝　[由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设 f (x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
则∴
当0≤x≤1时，设 f (x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1．
∴f (x)＝]
f (x)＝　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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课时分层作业(十五)　函数的表示法
一、选择题
1．已知函数 y＝f (x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则 f (g(2))的值为(　　)
A．3 　 B．2
C．1 　 D．0
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x 1 2 3
f (x) 2 3 0
B　[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则 f (g(2))＝ f (1)＝2．]
√
题号
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2．如果 f ＝，则当x≠0，1时，f (x)等于(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．－1
√
B　[令＝t，则x＝，代入 f ＝，则有 f (t)＝＝，即 f (x)＝，故选B．]
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3．某同学到长城旅游，他骑行共享单车由宾馆前往长城，前进了a km，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，途中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转车头继续向长城方向前进，则该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象大致为(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
√
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C　[由题可得骑单车由宾馆前往长城，离起点的距离越来越远，休息的时候距离不变，返回的时候距离越来越近，再次向长城前进的时候距离越来越远．因此只有C选项符合．故选C．]
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4．若 f (x)是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则 f (x)＝(　　)
A．3x＋2 　 B．3x－2
C．2x＋3 　 D．2x－3
√
B　[设 f (x)＝ax＋b(a≠0)，由题设有
所以选B．]
题号
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5．设函数 f (x)＝(a≠b)的值为(　　)
A．a 　 B．b C．a，b中较小的数 　D．a，b中较大的数
√
C　[若a－b>0，即a>b，f (a－b)＝－1，
则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b，
若a－b<0，即a则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a．
综上所述，为a，b中较小的数．]
题号
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二、填空题
6．已知函数 f (x)由下表给出，则 f ( f (3))＝________．
x 1 2 3 4
f (x) 3 2 4 1
1　[由题设给出的表知 f (3)＝4，则 f ( f (3))＝f (4)＝1．]
1　
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7．已知函数 f (x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
5　[将点(5，4)代入f (x)＝x－，得m＝5．]
5　
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8．已知 f (x)＝则 f ＋f ＝________．
4　[∵f (x)＝
∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝×2＝，
f ＝2×＝，
∴f ＋f ＝＝4．]
4　
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三、解答题
9．已知 f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求
f (x)的解析式．
[解]　设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得∴f (x)＝2x＋7．
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10．已知函数 f (x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数 f (x)；
(2)画出函数 f (x)的图象；
(3)写出函数 f (x)的值域．
[解]　(1)当0≤x≤2时，f (x)＝1＋＝1，
当－2所以 f (x)＝
(2)函数f (x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f (x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
√
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11．(多选)设 f (x)＝，则下列结论错误的有(　　)
A．f (－x)＝－f (x) 　 B．f ＝－f (x)
C．f ＝f (x) 　 D．f (－x)＝f (x)
AC　[因为f (x)＝，所以f (－x)＝＝f (x)，f ＝＝＝－f (x)，f ＝＝＝－f (x)，故选AC．]
√
题号
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14
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12．(多选)已知函数 f (x)＝关于函数 f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4)
C．若f (x)＝3，则x的值是
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
√
√
题号
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BC　[由题意知函数 f (x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，
f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1题号
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13．若定义运算a⊙b＝则函数 f (x)＝x⊙(2－x)的解析式
为____________________，值域为___________．
f (x)＝　(－∞，1]　[由题意可知，
f (x)＝
画出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知函数f (x)的值域为(－∞，1]．]
f (x)＝
(－∞，1]　
题号
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14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为 f (x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_______，______．
60　16　[因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15． ①
由题意知4由①②解得c＝60，A＝16．]
60　
16　
题号
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15．已知函数 f (x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足 f (2)＝1，且 f (x)＝x有唯一解，求函数 y＝f (x)的解析式和 f ( f (－3))的值．
[解]　因为f (2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为 f (x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1．
代入①得a＝．所以f (x)＝＝．
所以f ( f (－3))＝f ＝f (6)＝＝．
谢 谢！