【学霸笔记：同步精讲】第二章 §3 第2课时 函数的最大(小)值 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共59张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章　函数
§3　函数的单调性和最值
第2课时　函数的最大(小)值
学习任务 核心素养
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 1．通过函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．
2．借助利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
2．函数最大值、最小值的定义是什么？
3．若函数 f (x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[a，b]上的最大值和最小值各是什么？
4．所有函数在定义域内一定有最大值或最小值吗？
必备知识·情境导学探新知
函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M，对所有的x∈D，都有
f (x)___M f (x)___M
且存在x0∈D，使得___________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
几何意义 f (x)图象上最高点的_______ f (x)图象上最低点的_______
≤　
≥　
　f (x0)＝M　
纵坐标　
　纵坐标
思考若函数 f (x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使 f (x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
体验1．下列关于函数 f (x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是_______
(填序号)．
①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值．
④
体验2．函数 y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________．
－1
　2
体验3．(1)函数 f (x)＝，x∈[2，4]，则 f (x)的最大值为________，最小值为_____．
(2)函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
1
　
(1)1　　(2)4　[(2)函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上单调递增，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4．]
4
关键能力·合作探究释疑难
类型1　利用函数的图象求函数的最值(值域)
【例1】　【链接教材P62例2】
已知函数 f (x)＝
(1)在直角坐标系内画出 f (x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解]　(1)图象如图所示：
(2)由图可知 f (x)的单调递增区间为[－1，0]，(2，5]，单调递减区间为(0，2]，值域为[－1，3]．
【教材原题·P62例2】
例2　根据函数图象直观判断y＝|x－1|的单调性，并求出最小值．
[解]　函数y＝|x－1|可以表示为y＝
画出该函数的图象(如图2-11)．
由图象可知该函数在区间(－∞，1]上单调递减，
在区间[1，＋∞)上单调递增．当x＝1时，y＝|x－1|
取得最小值，最小值为0．
反思领悟　利用图象求函数最值的方法
(1)画出函数y＝f (x)的图象；
(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；
(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
[跟进训练]
1．已知函数 f (x)＝求 f (x)的最大值、最小值．
[解]　作出函数 f (x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f (x)取最大值为f (±1)＝1．
当x＝0时，f (x)取最小值 f (0)＝0，
故 f (x)的最大值为1，最小值为0．
类型2　利用函数的单调性求函数的最值(值域)
【例2】　已知函数 f (x)＝．
(1)判断函数 f (x)在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解]　(1) f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：任取－1则f (x1)－f (x2)＝＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f (x1)－f (x2)<0 f (x1)< f (x2)，
所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增，
所以f (x)的最小值为f (2)＝＝，
最大值为f (4)＝＝．
反思领悟　1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数 f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则 f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是 f (a)，最大(小)值是 f (b)．
(2)若函数 f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则 f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是 f (b)，最小(大)值是
f (a)与 f (c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[跟进训练]
2．求函数 f (x)＝x＋在[1，4]上的最值．
[解]　设1≤x1∵1≤x10，
∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在[1，2)上单调递减．
同理 f (x)在[2，4]上单调递增．
∴当x＝2时，f (x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f (x)取得最大值5．
类型3　一元二次函数的最值
【例3】　(1)函数 f (x)＝x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为_________．
(2)已知g(x)＝x2－2mx－15，求函数g(x)在x∈[0，2]上的最小值．
(1)[－6，39]　[ f (x)＝x2＋4x－6＝(x＋2)2－10，
因为－2＜0，所以当x＝0时，f (x)取得最小值为－6；当x＝5时，f (x)取得最大值为39．
所以函数f (x)的值域为[－6，39]．]
[－6，39]　
(2)[解]　g(x)＝x2－2mx－15，x∈[0，2]，对称轴为直线x＝m，
当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；
当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15；
当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－15．
综上所述，g(x)min＝
[母题探究]
本例(2)的条件不变，试求函数g(x)在[0，2]上的最大值．
[解]　当m≤1时，g(x)max＝g(2)＝－4m－11；
当m＞1时，g(x)max＝g(0)＝－15．
综上所述，g(x)max＝
反思领悟　1．不含参数的一元二次函数的最值
首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系：
(1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到；
(2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
2．含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m为例，区间为[a，b]，
(1)最小值：f (x)min＝
(2)最大值：f (x)max＝
当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．
[跟进训练]
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) 　
B．[0，2]
C．(－∞，2] 　
D．[1，2]
√
D　[由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y取最小值2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2．由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1，2]时，能保证该函数在区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2．]
类型4　利用函数的最值解决恒成立问题
【例4】　已知函数 f (x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f (x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝时，f (x)＝＝x＋＋2．任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)<0，
所以f (x1)所以函数f (x)在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋＋2＝．
(2)法一：依题意f (x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，知当x＝1时，y取得最小值3＋a．
所以当3＋a>0，即a>－3时，f (x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：依题意f (x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，
因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，所以a>－3，
故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
反思领悟　分离参数法
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f (x)恒成立，则a>f (x)max；若对于区间D上的任意x，a< f (x)恒成立，则a< f (x)min；若在区间D上存在x使a> f (x)成立，则a> f (x)min；若在区间D上存在x使a< f (x)成立，则a< f (x)max，其他(如a≥f (x)等)情形类似可得相应结论．
[跟进训练]
4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] 　 B．(－∞，0]
C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞)
√
C　[记f (x)＝－x2＋2x，0≤x≤2，因为a<－x2＋2x恒成立，所以a<
f (x)min，而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0，2]时，f (x)min＝
f (0)＝f (2)＝0．所以a＜0，故选C．]
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　)
A．[0，3] 　 B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) 　 D．[－1，3]
D　[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D．]
2．设函数 f (x)的定义域为[0，1]，则“函数 f (x)在[0，1]上单调递增”是“函数 f (x)在[0，1]上的最大值为 f (1)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
√
A　[函数 f (x)在[0，1]上单调递增，则有 f (x)在[0，1]上的最大值为
f (1)．
反之，函数f (x)在[0，1]上的最大值为f (1)，则f (x)在[0，1]上不一定单调递增．故选A．]
3．设定义在R上的函数 f (x)＝x|x|，则 f (x)(　　)
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值
D．既无最大值，又无最小值
√
D　[ f (x)＝画出f (x)的图象可知(图略)，f (x)既无最大值又无最小值．]
4．函数 f (x)＝，x∈[2，6]，则 f (x)的最大值为________，最小值为________．
　[∵f (x)＝在区间[2，6]上单调递减，
∴f (6)≤f (x)≤f (2)，即≤f (x)≤．]
5．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝____．
1　[若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1．综上，a＝1．]
1　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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√
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课时分层作业(十七)　函数的最大(小)值
一、选择题
1．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2 　B． 　C． 　D．－
B　[∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝．]
题号
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2．函数 f (x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为(　　)
A．[－6，－2] 　 B．[－11，－2]
C．[－11，－6] 　 D．[－11，－1]
√
B　[函数 f (x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，
所以当x＝2时，f (x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；
当x＝5时，f (x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，
所以函数 f (x)的值域是[－11，－2]．
故选B．]
题号
2
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3．函数 f (x)＝则 f (x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10，6 　 B．10，8
C．8，6 　 D．以上都不对
√
A　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
∴f (x)最小值＝f (－1)＝6，f (x)最大值＝f (2)＝10．故选A．]
题号
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4．函数 f (x)＝的最大值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
D　[令t＝1－x(1－x)＝＋，
则0题号
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5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 　B．60万元 C．120万元 　D．120.25万元
√
C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]
题号
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二、填空题
6．函数 f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
4　[因为 f (x)＝在[1，b]上单调递减，所以 f (x)在[1，b]上的最小值为 f (b)＝＝，所以b＝4．]
4　
题号
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7．已知函数 f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f (x)有最小值－2，则 f (x)的最大值为________．
1　[函数 f (x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2．
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f (0)＝a＝－2，
∴f (x)最大值＝f (1)＝－1＋4－2＝1．]
1　
题号
2
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8．已知二次函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为___________．
－3或　[ f (x)图象的对称轴为直线x＝－1．
当a>0时，f (x)max＝f (2)＝4，解得a＝；
当a<0时，f (x)max＝f (－1)＝4，解得a＝－3．
综上，得a＝或a＝－3．]
－3或　
题号
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三、解答题
9．已知函数 f (x)＝－x2＋2x－3．
(1)求 f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
题号
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[解]　(1) f (x)＝－(x－1)2－2，f (2)＝－3，f (0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f (x)最小值＝f (2a－1)＝＋8a－6；
当0＜2a－1＜2，即所以g(a)＝
题号
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(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，
∴g(a)≤g＝－3；
又当∴g(a)的最大值为－3．
题号
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10．若二次函数 f (x)满足 f (x＋1)－f (x)＝2x，且 f (0)＝2．
(1)求 f (x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式 f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)设 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f (0)＝2，∴c＝2，∴f (x)＝ax2＋bx＋2．
∵f (x＋1)－f (x)＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，
∴解得
∴f (x)＝x2－x＋2．
题号
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(2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立，
即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－－m(x∈[－1，1])，
则g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0，
∴m<0，
即实数m的取值范围为(－∞，0)．
题号
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√
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11．设 f (x)＝若 f (0)是 f (x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] 　 B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) 　 D．[2，＋∞)
A　[由题意，当x>0时，f (x)的最小值为f (1)＝2；当x≤0时，f (x)的最小值为f (0)＝a．若f (0)是f (x)的最小值，则a≤2．]
题号
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12．(多选)已知函数f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　)
A． x∈[－2，2]，f (x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3
B． x∈[－2，2]，f (x)>a，则实数a的取值范围是a<－3
C． x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2，2]， t∈[0，3]，f (x)＝g(t)
√
题号
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AC　[在A中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是减函数，所以当x＝2时，函数f (x)的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是减函数，所以当x＝－2时，函数f (x)的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数g(x)的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中， x∈[－2，2]， t∈
[0，3]，f (x)＝g(t)等价于f (x)的值域是g(t)的值域的子集，而f (x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误．]
题号
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13．已知函数 f (x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则a＝____，函数y＝f (x)在区间[－2，1]上的值域为__________．
1　　[由题知函数f (x)图象的对称轴为直线x＝－<0，故f (x)max＝
f (2)＝6＋2a＝8，所以a＝1，则f (x)＝x2＋x＋2＝＋．因为f (x)图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，1]，且 f ＝，f (－2)＝4，f (1)＝4，所以所求值域为．]
1
　　
题号
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14．已知函数 f (x)＝函数 f (x)的最大值为_____，最小值为________．
2　
－　
2　－　[作出f (x)的图象如图．
由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值为2；
当x＝时，f (x)取最小值为－．
所以f (x)的最大值为2，最小值为－．]
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15．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a)．
[解]　(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)
(2－x)>0；当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．
(2)①设函数f (x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，
则f (x)min＝f (1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
所以由F(x)的定义知m(a)＝min{ f (1)，g(a)}，
即m(a)＝
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②当0≤x≤2时，F(x)＝f (x)，
此时M(a)＝max{ f (0)，f (2)}＝2．
当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)，
此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2，34－8a}，
当a≥4时，34－8a≤2；
当3≤a<4时，34－8a>2，
所以M(a)＝
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谢 谢！