3.5.2 特殊对数函数的图像和性质 学案1（含答案）

3.5.2
对数函数y＝log2x的图像和性质
学案
1．理解对数函数的概念．
2．了解对数函数和指数函数互为反函数．
3．会用描点法和变换法画函数y＝log2x的图像．
4．掌握函数y＝log2x的性质．
1．对数函数
(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的______，x是________，定义域是________，值域是______．
①由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，a≠1.
②对数函数的解析式同时满足：对数符号前面的系数是1；对数的底数是不等于1的正实数；对数的真数仅有自变量x.
(2)两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg
x，其底数为________________．
自然对数函数：y＝ln
x，其底数为无理数______________．
【做一做1－1】
下列为对数函数的是(
)．
A．y＝log1x
B．y＝3log21x
C．y＝log19(x＋1)
D．y＝log32x
【做一做1－2】
函数y＝log2x的定义域是(
)．
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．R
2．反函数
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)和指数函数y＝______(a＞0，a≠1)互为反函数．
【做一做2】
写出下列函数的反函数．
(1)y＝；
(2)y＝3x.
3．函数y＝log2x的图像
(1)图像：如图所示．
(2)画法：描点法和变换法(通常用描点法)．
【做一做3】
(2010四川高考，文2)函数y＝log2x的图像大致是(
)．
4．函数y＝log2x的性质
(1)过点(1,0)，即x＝1时，y＝____________.
(2)函数图像都在y轴右边，表示________和__________没有对数．
(3)当x＞1时，图像位于x轴上方，说明当x＞1时，y＞________；
当0＜x＜1时，图像位于x轴____方，说明当0＜x＜1时，y＜0.
(4)图像是上升的，说明函数y＝log2x在(0，＋∞)上是__________．
【做一做4－1】
函数f(x)＝log2x，且f(m)＞0，则m的取值范围是(
)．
A．(0，＋∞)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．R
【做一做4－2】
已知函数f(x)＝log2x，则(
)．
A．f(3)＞0，f＜0
B．f(3)＞0，f＞0
C．f(3)＜0，f＞0
D．f(3)＜0，f＜0
答案：1．(1)底数　自变量　(0，＋∞)　R　(2)10　e
【做一做1－1】
D
【做一做1－2】
A
2．ax
【做一做2】
解：(1)y＝的反函数是y＝x；
(2)y＝3x的反函数是y＝log3x.
【做一做3】
C　函数y＝log2x的图象恒过点(1,0)，且单调递增，故选C.
4．(1)0　(2)零　负数　(3)0　下　(4)增函数
【做一做4－1】
C
【做一做4－2】
A　∵3＞1,0＜＜1，
∴f(3)＞0，f＜0.
如何正确理解对数函数的定义？
剖析：(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a＞0，a≠1)才是对数函数．
(2)由于指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图像过(0,1)点，故对数函数图像必过(1,0)点．
题型一
判断对数函数
【例1】
下面是对数函数的是__________．
(1)y＝log4x；(2)y＝logx4；(3)y＝log4(x＋1)；(4)y＝log(－4)x.
反思：判断对数函数时，要紧扣对数函数满足的三个条件，缺一不可．
题型二
求反函数
【例2】
写出下列函数的反函数：
(1)y＝log0.13x；
(2)y＝3.05x.
反思：函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，a≠1)．
题型三
根据对数函数的图像讨论其性质
【例3】
已知函数y＝log3x，
(1)画出其图像；
(2)根据图像写出其性质．
分析：(1)利用描点法画出图像；(2)根据函数的图像与性质的对应关系写出性质．
反思：描点法画函数的图像是最基本的画函数图像的方法．根据图像写出函数的性质是一种识图能力，在平常的学习中要加强这方面的训练．
答案：【例1】
(1)　解析：根据对数函数的概念知：
(1)函数y＝log4x是对数函数；
(2)函数y＝logx4的底数是自变量x，不是常数，故不是对数函数；
(3)函数y＝log4(x＋1)的真数是x＋1，不是自变量x，故不是对数函数；
(4)函数y＝log(－4)x的底数是负数，故不是对数函数．
【例2】
解：(1)y＝log0.13x的反函数是y＝0.13x.
(2)y＝3.05x的反函数是y＝log3.05x.
【例3】
解：(1)列表.
x
…
1
3
9
…
y＝log3x
…
－2
－1
0
1
2
…
描点、连线得函数y＝log3x的图像．
(2)性质：
①过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.
②函数图像都在y轴右边，表示零和负数没有对数．
③当x＞1时，图像位于x轴上方，说明当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，图像位于x轴下方，说明当0＜x＜1时，y＜0；
④图像是上升的，即函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数．
1
已知函数y＝log2x，当x＞1时，则(
)．
A．y＜0
B．y＞0
C．y＝0
D．y的符号不确定
2
(2010浙江高考，文2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝(
)．
A．0
B．1
C．2
D．3
3
已知f(x)＝log3x，则等于(
)．
A．2
B．－2
C.
D．
4
函数y＝lg(2x＋1)的定义域是________．
5
判断下列函数是否为对数函数：
(1)y＝2log3x；
(2)y＝log3(x－1)；
(3)y＝log2x2.
答案：1．B
2．B　∵f(α)＝log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2.∴α＝1.
3．B
4.　由题意得2x＋1＞0，解得x＞.
5．解：(1)中对数符号前面的系数是2，不是1，故不是对数函数；
(2)中函数的真数多了－1，故不是对数函数；
(3)中x的指数应为1，故不是对数函数．