【学霸笔记：同步精讲】第三章 §1 指数幂的拓展 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共42张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第三章　指数运算与指数函数
§1　指数幂的拓展
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．
2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．
1．正分数指数幂的定义是什么？
2．负分数指数幂的定义是什么？
必备知识·情境导学探新知
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：②＝．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝＝．
思考能否将＝－3写成＝－3
[提示]　不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式．
体验1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；
(2)b-3＝32．
[解]　(1)∵b4＝35，∴b＝．
(2)∵b-3＝32，∴b＝．
体验2．计算：
＝________；
＝________．
(1)2　(2)　[(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2．
(2)由负分数指数幂的定义，得．
设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以．]
2　
　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　根式的化简与求值
【例1】　化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
(2)．
[解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0．
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π．
综上可知，
(2)
反思领悟　正确区分与
(1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．
(2)运算结果不同
①＝a．②
[跟进训练]
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x＞0，y＞0 　 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 　 D．x＜0，y＜0
√
B　[∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0．
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B．]
2．若，则实数a的取值范围为_________．
　[＝＝1－2a．因为|2a－1|
＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤．]
　
类型2　根式与分数指数幂的互化
【例2】　 (1)可化为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)可化为(　　)
√
√
[思路点拨]　熟练应用是解决该类问题的关键．
(1)D　(2)A　[．
(2) ．]
反思领悟　根式与分数指数幂的互化规律
(1)关于式子的两点说明
①根指数n即分数指数的分母；
②被开方数的指数m即分数指数的分子．
(2)通常规定中的底数a>0．
[跟进训练]
3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2)．
[解]　(1)．
(2)．
类型3　求指数幂的值
【例3】　【链接教材P77例2】
求下列各式的值：
；．
[思路点拨]　结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．
[解]　(1)设＝x，则x3＝642＝4 096，
又∵163＝4 096，∴＝16．
(2)设＝x，则x4＝81-1＝，
又∵，∴．
【教材原题·P77例2】
例2　计算：
；　．
[解]　(1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b＞0)，所以＝8．
(2)由负分数指数幂的定义，得．
设b＝，由定义，得b3＝27，b＝3，所以．
(3)由负分数指数幂的定义，得．
设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b＞0)，所以＝64．
反思领悟　解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
[跟进训练]
4．求下列各式的值：
；．
[解]　(1)设＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，∴＝5．
(2)设＝x，则x7＝128-1＝，
又∵，∴．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
表示个2相乘． (　　)
(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． (　　)
(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． (　　)
×　
×　
√
2．可化为(　　)
3．计算等于(　　)
A．9 　 B．3
C．±3 　 D．－3
√
B　[由35＝243，得＝3．]
√
4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________．
5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)．
(1)＝________；
(2)＝________．
　
　[(1)．
(2)．]
　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(二十)　指数幂的拓展
一、选择题
1．下列各式正确的是(　　)
A．＝－3　B．＝a　C．＝－2　D．＝2
C　[由于＝－2，故选项A，B，D错误，故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
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13
14
15
．＝(　　)
A． 　B． C． 　D．
√
D　[，设b＝，则b4＝，所以b＝(b>0)，所以．
故选D．]
题号
2
1
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3．下列各式中正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
√
题号
2
1
3
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4．若有意义，则a的取值范围是(　　)
A．a≥0 　 B．a＝2
C．a≠2 　 D．a≥0且a≠2
√
D　[由题知 得a≥0且a≠2，故选D．]
题号
2
1
3
4
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5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－
B．(x≠0)
C．
D．
√
C　[故选C．]
题号
2
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15
二、填空题
．中x的取值范围是_________．
　[要使该式有意义，需3－2x>0，
即x<．]
　
题号
2
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7．的值为________．
－6　[＝＝4－－4，
所以原式＝－6＋4－－4＝－6．]
－6　
题号
2
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8．化简：＝________．
6　[原式＝＝6．]
6　
题号
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三、解答题
9．化简下列各式：
(1)；(2) ；(3) ．
[解]　(1)＝－2．
(2)＝10．
(3)
题号
2
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10．化简：．
[解]　原式＝|x－2|＋|x＋2|．
当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；
当－2当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x．
综上，
√
题号
2
1
3
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11．给出下列4个等式：①＝±2；②；③若a∈R，则＝1；④设，则＝a．其中正确的个数是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
题号
2
1
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8
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13
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15
B　[①中＝2，所以①错误；
②错误；
③因为a2－a＋1>0恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则＝a，若n为偶数，则，所以当n为偶数时，a<0时不成立，所以④错误．故选B．]
题号
2
1
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15
12．已知a＜，则化简的结果是(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
√
C　[由a＜知，4a－1＜0，所以
，故选C．]
题号
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13．当a>0时，等于_________．
－x　[因为a>0，所以x≤0，．]
－x　
题号
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14．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＝_________，a＋b＝________．
±9　－11或7　[因为81的平方根为±9，
所以a＝±9．
又因为－8的立方根为－2，所以b＝－2．
所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
±9　
－11或7
题号
2
1
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4
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15．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解]　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a＞b＞0，
∴>，
∴．
谢 谢！