【学霸笔记：同步精讲】第四章 §3 第1课时 对数函数的概念、图象和性质 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共55张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
学习任务 核心素养
1．通过具体实例，了解对数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象．(重点) 3．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(重点、难点) 4．知道对数函数y＝loga x与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．(重点) 1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助对数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
§3　对数函数
1．对数函数的定义是什么？
2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？
3．反函数的定义是什么？
4．对数函数的图象是什么形状？有哪些性质？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　对数函数的概念
函数y＝_____(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的____，x是自变量．
知识点2　特殊的对数函数
常用对数函数 以__为底的对数函数________
自然对数函数 以_______为底的对数函数________
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
loga x　
底数　
10　
y＝lg x　
无理数e　
y＝ln x
思考1．对数函数的解析式有何特征？
[提示]　在对数函数的定义表达式y＝loga x(a>0，且a≠1)中，loga x前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R． (　　)
(2)函数y＝log2(2x)是对数函数． (　　)
(3)函数y＝是对数函数． (　　)
体验2．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x 　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe 　 D．y＝logx x
√
×　
×　
×　
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
知识点3　对数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域：___________ 值域：__ 过定点：________，即x＝1时，y＝0 §3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
(0，＋∞)　
R　
(1，0)　
a>1 0性质 当x>1时，y>__； 当01时，y<__；
当0__
在定义域(0，＋∞)上是__函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是__函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
0　
0　
0　
0　
增　
减
思考2．(1)底数a的取值与对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？
(2)对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1)与y＝有什么关系？
[提示]　(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0(2)在同一坐标系内，y＝loga x(a>0，且a≠1)的图象与y＝lox(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
体验3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log0.3x是减函数． (　　)
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　)
(3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　)
体验4．函数 f (x)＝log2(x－1)的定义域是_________．
√　
√　
×
　(1，＋∞)
第1课时　对数函数的概念、图象和性质
§3　对数函数
课时分层作业
学习效果
关键能力
必备知识
关键能力·合作探究释疑难
√
类型1　对数函数的概念
【例1】　对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x　　 B．y＝lox
C．y＝lox　　 D．y＝log2x
D　[由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2．所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D．]
反思领悟　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log3x2 　 B．y＝log3x
C．y＝logx5 　 D．y＝log2x＋1
√
类型2　对数函数的图象
角度1　对数型函数图象的判断
【例2】　函数y＝ln (1－x)的图象大致为(　　)
√
A　　　 　B　　　　C　　　　D
C　[由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，所以y＝ln (1－x)为减函数．故选C．]
角度2　作对数型函数的图象
【例3】　已知 f (x)＝loga|x|，满足 f (－5)＝1，试画出函数 f (x)的图象．
[解]　因为 f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故 f (x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
角度3　对数函数底数对图象的影响
【例4】　如图，若C1，C2分别为函数y＝loga x和y＝logb x的图象，
则(　　)
A．0＜a＜b＜1 　 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 　 D．b＞a＞1
√
B　[作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1．]
反思领悟　有关对数型函数图象问题的求解技巧
(1)求函数y＝loga＋m(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得底数的大小．
[跟进训练]
2．(1)函数的图象的大致形状是(　　)
√
A　　　 　B　　　　　C　　　　　D
(2)若lg a＋lg b＝0(a≠1，b≠1)，则函数＝loga x与＝logb x的图象(　　)
A．关于直线y＝x对称 　
B．关于x轴对称　
C．关于y轴对称 　
D．关于原点对称
√
(1)D　(2)B　[(1)由于f ，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，log2 x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故选D．
(2)由 lg a＋lg b＝0，得b＝，
所以g＝logb x＝＝－loga x，
所以函数与g的图象关于x轴对称．]
类型3　对数型函数的定义域
【例5】　【链接教材P114例6】
求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝．
[解]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．
(3)要使函数式有意义，需满足解得－1【教材原题·P114例6】
例6　设a>0，且a≠1，求下列函数的定义域：
(1)y＝loga x2；(2)y＝loga(4－x)．
[解]　(1)为使函数有意义，只需x2>0，即x≠0，所以函数y＝loga x2的定义域为{x|x≠0}；
(2)为使函数有意义，只需4－x>0，即x<4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．
反思领悟　求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
[跟进训练]
3．函数 f (x)＝＋lg(10－x)的定义域为________．
(1，10)　[由题意可得解得1(1，10)　
类型4　对数函数的性质
【例6】　【链接教材P113例5】
根据函数 f (x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：
(1)若 f (a)>f (2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．
[思路点拨]　可先作出y＝log2x的图象，利用图象中的单调性解决问题．
[解]　函数y＝log2x的图象如图．
(1) f (a)>f (2)，即log2a>log22，又因为y＝log2x是增函数，则a>2．
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227．
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227．
【教材原题·P113例5】
例5　(1)求使不等式log2x>5成立的实数x的集合；
(2)已知log2(2x－1)＝log2(x2－16)，求x的值．
[解]　(1)将不等式log2x>5变形为log2x>log232．
因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以x>32．
故使不等式log2x>5成立的x的集合为{x|x>32}．
(2)由已知等式，得2x－1＝x2－16．解得x1＝－3，x2＝5．
为使对数log2(2x－1)和log2(x2－16)均有意义，需要2x－1>0和x2－16>0．因此x＝－3不合题意，舍去．所以x的值为5．
反思领悟　对数型函数求解方法
(1)求解对数型不等式时应考虑底数与1的大小．
(2)对数型函数值域求解采用复合函数法．
[跟进训练]
4．(1)比较log2 与log2 的大小；
(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围．
[解]　(1)函数 f (x)＝log2 x在定义域(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2 >log2 ．
(2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2 x为增函数，∴2－x>1，即x<1．
∴x的取值范围为(－∞，1)．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝ln 　 B．y＝ln
C．y＝logx2 　 D．y＝log3x
2．(教材P116练习T2(1)改编)函数 f (x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) 　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) 　 D．(－∞，1]
B　[由x－1>0，得x>1．]
√
3．函数y＝log2x的图象大致是(　　)
C　[结合各选项可知，C正确．]
A　　　　　B　　　　 C　 　　 　D
√
4．函数y＝lg x的反函数是________．
5．如果函数 f (x)＝(3－a)x，g(x)＝loga x的增减性相同，则a的取值范围是________．
y＝10x
(1，2)　[若f (x)，g(x)均为增函数，则
即1＜a＜2，若f (x)，g(x)均为减函数，
则无解．
综上，a的取值范围为(1，2)．]
(1，2)　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
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√
14
15
课时分层作业(二十六)　对数函数的概念、图象和性质
一、选择题
1．函数 f (x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞)
D．[4，10)∪(10，＋∞)
D　[由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数 f (x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D．]
题号
1
3
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题号
2
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2．函数 f (x)＝log2x，且 f (m)>0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) 　 B．(0，1)
C．(1，＋∞) 　 D．R
√
C　[结合f (x)＝log2x的图象(图略)可知，f (m)>0时，m>1．]
题号
2
1
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3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于(　　)
A．M 　 B．N
C． 　 D．R
√
A　[M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M．]
题号
2
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4．函数y＝4x的反函数是(　　)
A．y＝4x 　 B．y＝x4
C．y＝logx4 　 D．y＝log4x
√
题号
2
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5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a-x与y＝logax的图象为(　　)
√
C　[，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C．]
A　 　　　B　　　　　C　　　　　D
题号
2
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二、填空题
6．函数 f (x)＝的定义域是________．
(0，4]　[由2－log2x≥0，得log2x≤2，又x＞0，
∴0(0，4]　
题号
2
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7．已知函数 f (x)＝则 f ＝________．
　[＝f (－2)＝3-2＝．]
　
题号
2
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8．函数 f (x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上最大值与最小值之差为___．
1　[∵f (x)＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，
∴f (x)max－f (x)min＝f (2a)－f (a)＝log2(2a)－log2a＝1．]
1　
题号
2
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三、解答题
9．(源自苏教版教材)求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.2(4－x)；
(2)y＝loga．
题号
2
1
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[解]　(1)当4－x>0，即x<4时，log0.2(4－x)有意义；
当x≥4时，log0.2(4－x)没有意义．
因此，函数y＝log0.2(4－x)的定义域是(－∞，4)．
(2)当>0，即x>1时，loga有意义；
当x≤1时，loga没有意义．
因此，函数y＝loga的定义域是(1，＋∞)．
题号
2
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10．当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
[解]　在同一坐标系中，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图象，如图所示．
由图象得：当m<0时，方程无解；
当m＝0时，方程有一解；
当m>0时，方程有两解．
√
题号
2
1
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5
6
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11．(多选)已知 f (x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则 f (x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在(0，10)上单调递增
D．在(0，10)上单调递减
√
题号
2
1
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BD　[由得x∈(－10，10)，故函数 f (x)的定义域为(－10，10)，因为 x∈(－10，10)都有－x∈(－10，10)，且 f (－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f (x)，故函数f (x)为偶函数．
f (x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，y＝100－x2在(0，10)上单调递减，又y＝lg x是增函数，故函数 f (x)在(0，10)上单调递减．]
题号
2
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12．方程－log2x＝0的解的个数是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．不确定
√
B　[在同一坐标系中画出函数y＝与
y＝log2x的图象，如图所示．
由图知它们的图象只有一个交点，即方程
＝log2x仅有一个解．]
题号
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13．已知函数 f (x)＝|lo，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
[1，2]　[作出f (x)＝|lox|的图象(如图)，可知f ＝f (2)＝1，f (1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2．]
[1，2]　
题号
2
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14．已知 f (x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝log2x．
当x∈(－∞，0)时，函数 f (x)的解析式为______________．
f (x)＝log2(－x)　[设x∈(－∞，0)，
则－x∈(0，＋∞)，
所以f (－x)＝log2(－x)，
又f (x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
得f (－x)＝f (x)，所以f (x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0))．]
f (x)＝log2(－x)　
题号
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15．已知 f (x)是对数函数，并且它的图象过点，g(x)＝f 2(x)－2b·f (x)＋3，其中b∈R．
(1)求函数 f (x)的解析式；
(2)求y＝g(x)在上的最小值．
[解]　(1)设 f (x)＝loga x(a>0，且a≠1)，
∵f (x)的图象过点，∴＝，即loga2，
∴，即a＝2，∴f (x)＝log2x．
(2)设t＝f (x)，则y＝g(x)＝t2－2bt＋3＝(t－b)2＋3－b2＝m(t)，
∵≤x≤16，∴≤log2x≤4，即t∈，函数m(t)的图象的对称轴方程为t＝b．
题号
2
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15
①当b≤时，m(t)在上单调递增，ymin＝－b；
②当③当b≥4时，m(t)在上单调递减，ymin＝m(4)＝19－8b．
综上所述，ymin＝
题号
2
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谢 谢！