【学霸笔记：同步精讲】第四章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共56张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第四章　对数运算与对数函数
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习任务 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、幂函数、指数函数增长速度的差异．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(重点、难点) 1．通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养．
2．通过三种函数增长快慢的比较，培养直观想象素养．
1．当a>1时，函数y＝ax的增长速度与a的大小有什么关系？
2．当a>1时，函数y＝logax的增长速度与a的大小有什么关系？
3．当x>0，n>1时，函数y＝xn的增长速度与n的大小有什么关系？
必备知识·情境导学探新知
1．三种函数的增长趋势
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 图象的变化趋势 随x增大，近似与y轴平行 随x增大，近似与x轴平行 α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
增长速度 ①随x增大，y＝ax增长速度________，并且当a越大时，y＝ax增长的速度____ ②随x增大，y＝loga x增长速度________，并且当a越大时，y＝loga x增长速度____ ③当x足够大时，一定有ax>xα>loga x 越来越快
越快　
越来越慢　
越慢　
2．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“________”．
思考举例说明“指数爆炸”增长的含义．
[提示]　如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．
指数爆炸　
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (　　)
(2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快． (　　)
(3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． (　　)
√　
√　
√　
体验2．如图的增长趋势反映的是(　　)
A．一次函数 　 B．幂函数
C．对数函数 　 D．指数函数
C　[从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．]
√
体验3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
y2　
y2　[以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)可知变量y2关于x呈指数型函数变化．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　指数函数、对数函数、幂函数图象的比较
【例1】　函数 f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．
设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较 f (8)，g(8)，f (2 022)，g(2 022)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f (x)＝2x．
(2)∵g(1)＝1，f (1)＝2，g(2)＝8，f (2)＝4，g(9)＝729，f (9)＝512，g(10)＝1 000，f (10)＝1 024，
∴f (1)>g(1)，f (2)g(10)．
∴1∴x1<8从图象上知，当x1当x>x2时，f (x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (2 022)>g(2 022)>g(8)>f (8)．
反思领悟　底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数，增长的快慢交替出现，从这个实例我们可以体会到幂函数增长，指数爆炸等不同函数模型增大的含义．
[跟进训练]
1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　)
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2-x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2-x，d：y＝
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2-x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2-x，d：y＝
√
C　[a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1．]
类型2　几类函数模型增长差异的比较
【例2】　已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2
√
B　[从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．]
反思领悟　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝loga x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟进训练]
2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是 f 1(x)＝x2，f 2(x)＝2x，f 3(x)＝log2x，f 4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)
A．f 1(x)＝x2 　 B．f 2(x)＝2x
C．f 3(x)＝log2x 　 D．f 4(x)＝2x
D　[由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D．]
√
类型3　函数模型的构建
【例3】　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[解]　设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x-1(x∈N＋)．
作出三个函数的图象如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
反思领悟　函数模型构建的一般步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型分析实际问题．
[跟进训练]
3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
[解]　根据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3．即h＝log3(t＋1)．
当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x>1时，y＝x2比y＝2x增长得更快． (　　)
(2)存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax(3)函数y＝衰减的速度越来越慢． (　　)
×　
√
√
2．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x 　 B．y＝log6x
C．y＝x6 　 D．y＝6x
√
B　[D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
3．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
√
D　[对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．]
4．已知函数 f (x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f (x)与g(x)的大小关系为____________．
f (x)>g(x)　[在同一直角坐标系中画出函数 f (x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，
由于函数 f (x)＝3x的图象始终在函数g(x)＝2x图象的上方，则 f (x)>g(x)．]
f (x)>g(x)　
5．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是__________．
bb章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(二十八)　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一、选择题
1．下列函数中y随x的增大而增大，且增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 026ln x 　 B．y＝ex
C．y＝2 026x 　 D．y＝2 026·2x
B　[由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当x越来越大时，函数y＝ex与y＝2 026·2x的增长越来越快，由于e>2，当x超过某一个值时，函数y＝ex的值会超过y＝2 026·2x的值，故选B．]
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2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f (x)的图象大致为(　　)
√
D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f (x)的图象大致为D中图象，故选D．]
A　　　　B　　　　C　　　　D
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3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
√
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 　 B．y＝
C．y＝log2x 　 D．y＝
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
D　[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D．
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D．]
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√
4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 　 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 　 D．y2>y3>y1
B　[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3．]
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二、填空题
5．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
甲　[把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．]
甲　
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6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比x ln x增长的要快．]
y＝x2　
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7．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是_________．
②③　[由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0＜a＜1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产．]
②③　
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三、解答题
8．画出函数 f (x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在
[0，＋∞)上的大小关系．
[解]　函数 f (x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：
当0≤x<4时，f (x)>g(x)；
当x＝4时，f (x)＝g(x)；
当x>4时，f (x)题号
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9．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
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[解]　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，
y＝的图象(如图)．
观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
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10．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
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则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x 　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 　 D．y＝log2x
√
D　[将x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．]
√
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11．已知 f (x)＝x2－bx＋c且f (0)＝3，f (1＋x)＝f (1－x)，则有(　　)
A．f (bx)≥f (cx) 　
B．f (bx)≤f (cx)
C．f (bx)D．f (bx)，f (cx)大小不定
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B　[由 f (1＋x)＝f (1－x)，知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2．
由f (0)＝3，知c＝3．此时f (x)＝x2－2x＋3．
当x<0时，3x<2x<1，函数y＝f (x)在区间(－∞，1)上单调递减，所以
f (bx)当x＝0时，f (bx)＝f (cx)；
当x>0时，3x>2x>1，函数y＝f (x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以
f (bx)题号
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12．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3．
其中所有正确说法的序号是________．
①③　
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①③　[由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝．
当t＝4时，y＝<，故①正确；
当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，解得t1＝，t1＋t2＝t3，故③正确．]
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13．某商场2024年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
① f (x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
② f (x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③ f (x)＝x2＋px＋q．
(1)能较准确反映商场月销售额 f (x)与月份x关系的函数模型为______
(填写相应函数的序号)；
(2)若所选函数满足 f (1)＝10，f (3)＝2，则 f (x)＝__________．
③
x2－8x＋17
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(1)③　(2)x2－8x＋17　[(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额 f (x)与月份x关系的函数模型为③．
(2)由f (1)＝10，f (3)＝2，
得
解得p＝－8，q＝17，
所以f (x)＝x2－8x＋17．]
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14．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量 f (x)(万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f (x) 4.00 5.58 7.00 8.44
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若 f (x)近似符合以下三种函数模型之一：f (x)＝ax＋b，f (x)＝2x＋a，f (x)＝lox＋a．
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某种影响，2025年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2025年的年产量．
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[解]　(1)符合条件的是 f (x)＝ax＋b，
若模型为f (x)＝2x＋a，
则由f (1)＝21＋a＝4，
得a＝2，即f (x)＝2x＋2，
此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f (x)＝lox＋a，
则f (x)是减函数，与已知不符合．
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由已知得
所以 f (x)＝，x∈N．
故最适合的函数模型解析式为f (x)＝，x∈N．
(2)2025年预计年产量为f (9)＝＝16，
2025年实际年产量为16×(1－30%)＝11.2．
2025年的年产量为11.2万件．
谢 谢！