3.5.3 对数函数的图像和性质 教案3

3.5.3
　对数函数的图像和性质
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质．
(2)能初步运用对数的性质解决问题．
2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
(2)培养学生严谨的科学态度．
●重点难点
重点：掌握对数函数的图像和性质．
难点：利用对数函数的图像和性质解决问题．
本节课重点的突破方法是让学生认识底数对函数值变化的影响，借助于信息技术，调动学生积极主动地参与获得性质的过程；在利用图像和性质解决问题时，尤其是比较大小时，对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性，教师应调整角色，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．
(教师用书独具)
●教学建议
新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，在教育方式上，以学生为中心，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．基于此，本节课重点采用问题探究和启发引导式的教学方法．从预习交流心得出发，到探索新问题，再到题后的回顾总结，一切以学生为中心，处处体现学生的主体地位，让学生多讨论、多分析、多思考、多总结，引导学生运用自己的语言阐述观点，加强理解，在生生合作、师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下基础．本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性．
●教学流程
复习函数y＝log2x和y＝logx的图像和性质，引出底数为a时函数图像问题 通过几何画板作出函数的图像，当底数变化时，直观感受图像的变化情况 归纳出对数函数的性质，借助性质解决比较大小问题，完成例1及其变式训练 根据函数的单调性解决解不等式问题，尤其对于底数含参数的情况进行分类讨论问题，完成例2及其变式训练
结合对数函数的性质，研究和对数函数有关的奇偶性和单调性问题，完成例3及其变式训练 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第54页)
课标解读
1.掌握对数函数的图像和性质．(重点)2．掌握对数函数的图像和性质的应用．(难点)3．体会数形结合的思想方法.
知识点
对数函数的图像和性质
【问题导思】　
作出函数y＝log2x和y＝logx的图像如下：
1．函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？
【提示】　定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)．
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0；
0单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
2．函数y＝logx的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？
【提示】　定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)，
函数值变化情况：x>1时，y<0；x＝1时，y＝0；
00.
单调性：在(0，＋∞)上是减函数．
3．它们的图像有什么关系？
【提示】　关于x轴对称．
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图像过定点(1,0)
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
增区间：(0，＋∞)
减区间：(0，＋∞)
奇偶性：非奇非偶函数
(见学生用书第54页)
类型1
比较大小
　比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76,0.76与60.7.
【思路探究】　(1)利用对数函数的单调性；
(2)寻求中间量或利用函数图像；
(3)一般先看正负，再利用中间量．
【自主解答】　(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log2π>log20.9.
(2)∵log20.3log0.21＝0，
∴log20.3(3)∵60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1，
log0.76∴60.7>0.76>log0.76.
1．比较两个对数值大小的方法：
(1)单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)；
(2)中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；
(3)分组法：当三个(或以上)数式比较大小时，可先据其正、负，大于1或小于1分为两组，然后再用单调性或图像或中间差法比较大小，如本题(3)．
2．必要时，还可通过作差法、作商法对两式进行大小比较．
(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a>b>c　　　　　　　B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>a>b
(2)如果logxA．yB．xC．1D．1【解析】　(1)a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，且3.62>3.6>3.2，故选B.
(2)∵logxy>1.故选D.
【答案】　(1)B　(2)D
类型2
解对数不等式
　(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.72x【思路探究】　(1)把1变为对数的形式，利用对数的单调性求解；(2)求解过程中注意真数的范围．
【自主解答】　(1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x1.
解对数不等式应把握以下几点：
1．方法：利用对数函数的单调性，将问题转化为一般不等式(组)求解．
2．要遵循“定义域”优先的原则．解对数不等式要注意防止定义域的扩大．解题有两个途径，一是在变形过程中定义域发生变化，最后一定要验根；二是解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后不用验根．
3．当底数是字母时，需要分类讨论底数的取值范围
　(1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为________．
(2)若loga<1，则a的取值范围为________．
【解析】　(1)因为log3x<1＝log33，
所以0因此x的取值集合为{x|0(2)loga<1，即loga当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
所以a>，即a>1时，原不等式总成立；
当0由loga因此，a>1或0【答案】　(1){x|0(2){a|a>1或0类型3
对数函数性质的综合应用
　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
【思路探究】　先求函数的定义域，再利用有关定义去讨论其他性质．
【自主解答】　(1)要使此函数有意义，则有或解得x>1或x<－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．
任设x10.
令t1＝，t2＝.
则t2－t1＝－＝.
∵x2－1>0，x1－1>0，x1－x2<0，
∴t2－t1<0，即t2当0logat1，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)单调递增．
当a>1时，logat2∴f(x)在(1，＋∞)单调递减．
∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴当0当a>1时，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减．
1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
2．判断函数的单调性利用单调性的定义．
3．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相反．
　求函数y＝log(6＋x＋2x2)的单调增区间．
【解】　由6＋x＋2x2>0得2(x＋)2＋>0，即函数定义域是R.
令u(x)＝2x2＋x＋6，则函数u(x)＝2x2＋x＋6的单调增区间为(－，＋∞)，单调减区间为(－∞，－]．
又∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴函数y＝log(6＋x＋2x2)的单调增区间为(－∞，－).
分类讨论思想在对数函数中的应用
　(12分)设00且a≠1，比较|loga(1－x)|和|loga(1＋x)|的大小．
【思路点拨】　所比较数的大小与对数有关，因此可利用对数的运算性质和对数函数的单调性求解．
【规范解答】　法一　当a>1时，∵0∴1＋x>1,0<1－x<1.
∴|loga(1－x)|＝－loga(1－x)，
|loga(1＋x)|＝loga(1＋x).2分
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－loga(1－x2).4分
∵a>1,0<1－x2<1，
∴－loga(1－x2)>0.
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|；6分
当0∴1＋x>1,0<1－x<1.
∴|loga(1－x)|＝loga(1－x)，
|loga(1＋x)|＝－loga(1＋x).8分
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2).10分
∵0∴loga(1－x2)>0.
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
综上可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.12分
法二　＝|log(1＋x)(1－x)|.4分
∵1＋x>1,0<1－x<1，
∴原式＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)6分
＝log(1＋x)
＝1－log(1＋x)(1－x2)>110分
又|loga(1－x)|和|loga(1＋x)|均大于零，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.12分
1．分类讨论思想就是“化整为零，各个击破”，应用时要做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论．
2．比较两个数或两个式子的大小时，常用的方法是作差法，用作差法比较大小时，若数或式子含有绝对值需先去掉绝对值符号．
1．对数值比较大小常用的方法：
(1)直接法：利用对数函数的单调性比较大小；
(2)作商法：将同号的两数相除，其商再与1比较大小；
(3)作差法：可利用对数的运算，比较其差与1的大小；
(4)搭桥法：主要根据对数函数值分析．借助于“0”和“1”比较大小；
(5)图像法：主要利用不同底数在同一坐标系下的图像位置关系；
(6)转化法：主要利用指数或对数的有关性质，将两数作合理变形，转化为两个新数进行大小比较．
2．数形结合是重要的数学思想方法之一，因此解决对数函数问题时，心中要时刻装有图像，对数函数图像是解决相关问题的基础．
3．解决对数的综合问题时，要遵循“定义域优先”的原则.
(见学生用书第56页)
1．已知函数f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　B．(1，＋∞)
C．(－1,0)
D．(0，＋∞)
【解析】　由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以a＋1>1，即a>0.
【答案】　D
2．设a＝log0.34，b＝log43，c＝0.3－2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aB．aC．cD．b【解析】　由于y＝log0.3x在(0，＋∞)上是减函数，所以a＝log0.34且log43>log41＝0，即0又c＝0.3－2＝()2>1，所以a【答案】　A
3．已知log0.45(x－2)>log0.45(1＋2x)，则实数x的取值范围是________．
【解析】　原不等式等价于
解得x>2.
【答案】　(2，＋∞)
4．如图3－5－1所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与0,1的大小关系是________．
图3－5－1
【解析】　画一条直线y＝1，与图像的四个交点横坐标从左到右依次是c【答案】　0(见学生用书第117页)
一、选择题
1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∩B＝(　　)
A．{y|0C．{y|D．
【解析】　∵A＝{y|y>0}，B＝{y|0∴A∩B＝{y|0【答案】　A
2．(2013·咸阳高一检测)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(1,2]
【解析】　由题意有解得1【答案】　D
3．若log3a<0，()b>1，则(　　)
A．a>1，b>0
B．00
C．a>1，b<0
D．0【解析】　由函数y＝log3x，y＝()x的图像知，0【答案】　D
4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图像可能是(　　)
【解析】　a>1时，y＝a－x＝()x是减函数，y＝loga(－x)是减函数，且其图像位于y轴左侧；
当0【答案】　C
5．(2013·兰州高一检测)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B．(0，)
C．[，)
D．[，1)
【解析】　∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，
∴0＜a＜1且f(1)＝0.
∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x＜1)为减函数，
∴3a－1＜0.∴a＜.
又∵f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴(3a－1)×1＋4a≥0.∴a≥.
∴a∈[，)．
【答案】　C
二、填空题
6．设0【解析】　由于y＝logax(0∴2ax－2>1，即ax>.
由于0【答案】　(－∞，loga)
7．函数y＝log(1－2x)的单调递增区间为________．
【解析】　令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间(－∞，)内递减，而y＝logu是减函数，
故函数y＝log(1－2x)在(－∞，)内递增．
【答案】　(－∞，)
8．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
【解析】　由题意可知，f(log4x)<0 －【答案】　{x|三、解答题
9．解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．
【解】　(1)当a＞1时，原不等式等价于无解；
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得x＞4.
∴当a＞1时，原不等式的解集为空集；当0＜a＜1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．
10．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
【解】　由y＝logx在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥logx≥log4，即－2≤logx≤－1.
若设t＝logx，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图像的对称轴为t＝.
且在区间(－∞，]上为减函数，
而[－2，－1] (－∞，]，
所以当t＝－2，即x＝4时，
此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，
此函数取得最小值，最小值为.
11．已知a>0且a≠1，f(logax)＝(x－)．
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．
【解】　(1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝(at－)，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a>1时，ax－a－x为增函数，并且注意到>0，所以这时f(x)为增函数．
当0所以f(x)在R上为增函数．
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，
所以f(1－m)因为f(x)在(－1,1)上为增函数．
所以
解之，得即m的取值范围是(，1).
(教师用书独具)
　已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x＋1)．
(1)当a＝0,2时，分别求函数的定义域和值域；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
【思路探究】　(1)由真数为正数解不等式求定义域．
(2)转化为不等式恒成立问题求解．
【自主解答】　(1)当a＝0时，f(x)＝log2(2x＋1)．
由2x＋1>0，得x>－，此时f(x)∈R.
当a＝2时，f(x)＝log2(2x2＋2x＋1)
＝log2[2(x＋)2＋]，
∵2(x＋)2＋≥对一切x∈R都成立，
故f(x)≥－1.
故当a＝0时，f(x)的定义域为(－，＋∞)，值域为R；
当a＝2时，f(x)的定义域为R，值域为[－1，＋∞)．
(2)f(x)定义域为R
ax2＋2x＋1>0对任意x∈R恒成立．
由上述可知a≠0，依题意，得
解得a>1.
∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)的定义域为R.
1．对(2)应注意，其定义域为R，表明真数大于零恒成立；若f(x)∈R，则与前者不同，此时，要求真数必须取遍所有正实数．
2．对数函数的简单综合类问题，常以对数函数为依托，考查对数运算、对数函数的图像和性质、函数的单调性、函数的值域等，熟悉常见函数的图像和性质即可获解．
　已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)，
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)判断f(x)的单调性，并证明．
【解】　(1)为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a，
又∵a＞1，
∴x＜1，故定义域为(－∞，1)．
又∵loga(a－ax)＜logaa＝1，
∴f(x)＜1，即函数值域为(－∞，1)．
(2)证明　在(－∞，1)上任取x1，x2，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝loga，
∵a＞1，x1＜x2＜1，
∴ax1＜ax2＜a，
∴0＜a－ax2＜a－ax1，
∴＞1，∴loga＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，1)上为减函数．
数学漫游
“血浓于水”多少倍？
基于“血浓于水”的观念，人们对有血统关系的亲人(以至推广到其他同胞)给予更多关爱．那么“血浓于水”的倍数是多少？这里我们可以通过对数把血比水浓的程度计算出来．
液体的酸碱浓度可以用化学上的pH来表示：pH＝－lg[H＋]．由于纯水中氢离子的浓度[H＋]是1×10－7
mol/L(浓度单位)，所以纯水的pH＝－lg[H＋]＝7.0，与纯水相比，愈高的pH会有愈高的碱浓度；愈低的pH则表示愈高的酸浓度．
血液的pH约为7.4(若高过7.5或低于7.3，人就会昏迷，甚至有死亡的危险！)．利用这些资料，便可以找到血比水浓的程度．血液的pH—纯水的pH＝lg[H＋]－lg[H＋]＝7.4－7.0＝0.4，＝100.4≈2.5，由此可见，血液的碱浓度是纯水的2.5倍．
除血液外，日常生活中还有很多液体用品和食品，可与纯水比较其相对酸碱浓度．比方说，我们洗澡时是否留意沐浴露的pH？与纯水相比，它的相对浓度又是其多少倍？