【学霸笔记：同步精讲】第一章 §1 1.2 集合的基本关系 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共63张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　预备知识
§1　集合
1.2　集合的基本关系
学习任务 核心素养
1．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别集合的子集．(重点) 2．能用Venn图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．
1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？
2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
必备知识·情境导学探新知
1．Venn图
用平面上_________的内部表示集合，称为Venn图．
封闭曲线　
2．子集、集合相等、真子集
子集 集合相等 真子集
概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的________元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作____(或B A)，读作“A_______B”(或“B_____A”) 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的____，且集合B也是集合A的_____，那么称集合A与集合B相等，记作_____ 对于两个集合A与B，如果____，且_____，那么称集合A是集合B的真子集，记作____________，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
任何一个　
　A B　
包含于　
包含　
子集　
子集　
A＝B　
　A B　
A≠B　
A B(或B A)　
子集 集合相等 真子集
图示
子集 集合相等 真子集
结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即_____ (2)空集是任何集合的子集，即 A (3)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C 若A＝B，且B＝C，则A＝C (1)若A B，且B C，则A C
(2)若A B，且A≠B，则A B
A A　
思考(1)任何一个集合都有真子集吗？
(2) 与0，{0}，{ }有何区别？
[提示]　(1)不是，空集没有真子集．
(2)
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素；
{ }含一个元素，
该元素是空集
关系 0 {0} { }或 ∈{ }
体验1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　)
A．P∈Q 　 B．P Q
C．Q P 　 D．Q∈P
C　[集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P．]
√
√
体验2．已知集合A＝{x|－1A．B A 　 B．A B
C．BA　[由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，B A．]
体验3．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．
－1　[因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1．]
－1
关键能力·合作探究释疑难
类型1　集合间的关系的判断
【例1】　【链接教材P7例3】
判断下列各组中集合间的关系：
(1)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}；
(2)A＝，B＝；
(3) A＝，B＝；
(4)A＝{x| y＝}，B＝{y|y＝}．
[解]　(1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A．
(2)把集合A与B在数轴(图略)上表示出来，根据定义易得A B．
(3)集合B中，当n＝2k－1，k∈Z时，x＝k＋，当n＝2k，k∈Z时，x＝k＋1，因此A B．
(4)由x＋1≥0得x≥－1，即A＝{x|x≥－1}，
由≥0得y≥0，即B＝{y|y≥0}，
∴A B．
【教材原题·P7例3】
例3　某造纸厂生产练习本用纸，当纸的白度和不透明度都合格时，该产品才合格．若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合，B表示纸的白度合格的产品组成的集合，C表示纸的不透明度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
A B，　B A，　A C，　C A．
试用Venn图表示这三个集合的关系．
[解]　由题意知，A B，A C成立，它们的关系可用Venn图(如图1-6)表示．
反思领悟　判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法
利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．
[跟进训练]
1．(多选)下列关系中，正确的有(　　)
A．0∈{0} 　 B． {0}
C．{0，1} {(0，1)} 　 D．{(1，2)}＝{(2，1)}
√
√
AB　[对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
√
A　　　 　B　　　　　C　　　　　D
B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．]
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈R}，则下列关系正确的是(　　)
A．M＝P 　 B．M P
C．P M 　 D．M与P没有公共元素
A　[由a2＋1≥1得M＝{x|x≥1}，由b2－4b＋5＝(b－2)2＋1≥1得P＝{y|y≥1}，因此M＝P，故选A．]
√
类型2　子集个数问题
【例2】　【链接教材P7例4】
已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，试写出满足条件的所有集合M．
[解]　集合M含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M共有上述7个集合．
【教材原题·P7例4】
例4　写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[解]　由子集的定义知，集合{0，1，2}的子集的元素个数最少为0个，最多为3个．按照子集中元素的个数，由少到多依次写出集合{0，1，2}的所有子集，得 ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}．
显然，上述8个子集除了集合{0，1，2}以外，其余7个集合都是它的真子集．
反思领悟　求集合子集、真子集个数的3个步骤
[跟进训练]
4．已知集合A＝{－1，0，1}，满足{0} P A的集合P的个数为(　　)
A．2 　 B．4
C．6 　 D．8
√
B　[根据题意，集合P可以为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个．]
5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}．
类型3　集合间的关系的应用
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B A，求实数m的取值范围．
[解]　当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，
当B≠ 时，有解得2＜m≤4．
综上得m≤4．
[母题探究]
1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A B
[解]　若A B，则该不等式组无解，故实数m不存在．
2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝
”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解]　当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，
当B≠ 时，有或解得m≥6，综上得m≤2或m≥6．
反思领悟　由集合的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注意：(1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．
[跟进训练]
6．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B A，求m的值．
[解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为B A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ ．
当B＝{－3}时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝．
当B＝{2}时，由m·2＋1＝0，得m＝－．
当B＝ 时，m＝0．
综上所述，m＝或m＝－或m＝0．
阅读材料·拓展数学大视野
子集个数的探究
观察下表并回答后面的问题．
集合B 集合A 关系 集合C 的所有子集 集合C 的个数
{a} {a，b} B C A {a}，{a，b} 2
集合B 集合A 关系 集合C 的所有子集 集合C 的个数
{a} {a，b，c} B C A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c} 4
{a} {a，b，c，d} B C A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d} 8
问题探究
1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？
[提示]　若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个．
2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)．
(1)当B C A时，满足条件的C有多少个？
(2)如果集合C分别满足如下条件：B C A，B C A，B C A，那么C的个数为多少？
[提示]　(1)由表格中的集合可知，若B C A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个．
(2)①当B C A时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
②当B C A时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
③当B C A时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有2n－m－2个．
学习效果·课堂评估夯基础
1．下列命题中正确的是(　　)
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B A，那么，若x A，则x B
√
D　[空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．]
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　)
A．A B 　 B．A B
C．A B 　 D．A B
√
D　[集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B A．]
3．集合A＝{ ∈ |0≤ <3}真子集的个数是(　　)
A．3 　 B．4
C．7 　 D．8
√
C　[因为A＝{0，1，2}，所以其真子集的个数是23－1＝7．]
4．已知集合A {0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
6　[集合{0，1，2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．]
6　
5．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B A，则a的值为________．
－1或　[由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝．
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．
当a＝时，A＝，B＝，符合条件．
所以a的值为－1或．]
－1或　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(三)　集合的基本关系
一、选择题
1．下列各式：①1 {0，1，2}，②{1}∈{0，1，2}，③{0，1，2} {0，1，2}，④ {0，1，2}，⑤{2，1，0}＝{0，1，2}，其中错误的个数是(　　)
A．1 　B．2 　C．3 　D．4
B　[只有①②错误，故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
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15
2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　)

A．{2，4，5} 　 B．{1，2，5}
C．{1，6} 　 D．{1，3}
√
D　[由题图知B A，且A＝{1，2，3}，故选D．]
题号
2
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4
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3．集合A＝{1，2}的非空子集个数为(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．1
√
B　[集合A的子集为： ，{1}，{2}，{1，2}，则非空子集有3个，故选B．]
题号
2
1
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4
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4．已知集合A＝{0}，集合B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤0} 　 B．{a|a≥0}
C．{a|a＜0} 　 D．{a|a＞0}
√
D　[由A B知，0∈B，则a＞0，故选D．]
题号
2
1
3
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5．已知A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　　)
A．0 　B．1 C．2 　D．－1
√
C　[由A＝B得
解得经检验不合题意．
符合题意，从而2x＋y＝2，故选C．]
题号
2
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3
4
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二、填空题
6．集合{a，b，c}的子集的个数是______，真子集个数是______．
8　
　7
题号
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7．已知A＝{ | ＝2 ， ∈ }，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}，则集合
A，B的关系是_______．
相等
题号
2
1
3
4
5
6
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8．已知集合{3，4} {－1，3，m}，则实数m的值是_____．
4　[由题意知，4∈{－1，3，m}，所以m＝4．]
4　
题号
2
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三、解答题
9．(源自人教B版教材)写出下列每对集合之间的关系：
(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5}；
(2)C＝{x|x2＝1}，D＝{x||x|＝1}；
(3)E＝(－∞，3)，F＝(－1，2]；
(4)G＝{x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H＝{x|x是有一个内角为直角的平行四边形}．
题号
2
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15
[解]　(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4 B，
所以B A．
(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，
所以C＝D．
(3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示．
由图可知F E．
题号
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(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G H．
反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，
因此H G．
综上可知，G＝H．
题号
2
1
3
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15
10．已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：
(1)当A＝{2，3，4}时，x的值；
(2)当2∈B，B A时，a，x的值；
(3)当B＝C时，a，x的值．
[解]　(1)因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，所以x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3．
(2)因为2∈B且B A，
所以
解得均符合题意．
所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3．
题号
2
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15
(3)因为B＝C，
所以　　
①－②并整理得a＝x－5，　　 ③
③代入①并化简得x2－2x－3＝0，
所以x＝3或x＝－1．
所以a＝－2或a＝－6．
经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意．
所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1．
题号
2
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15
①
②
√
题号
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15
11．集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　)
A．S P M 　 B．S＝P M
C．S P＝M 　 D．P＝M S
题号
2
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15
C　[对于集合M，当k＝n＋1，n∈Z时，x＝5(n＋1)－2＝5n＋3，因此M＝P；
对于集合P，当n＝2m，m∈Z时，x＝10m＋3，
当n＝2m＋1，m∈Z时，x＝10m＋8，因此S P．故选C．]
题号
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12．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 　B．1 C． 　D．－1
√
B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B，所以a＝1．故选B．]
题号
2
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13．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B A，则实数a的取值范围为_____________．
{a|a<1或a>3}　[∵B A，
∴B的可能情况有B≠ 和B＝ 两种．
①当B≠ 时，∵B A，
∴成立，解得a>3；
②当B＝ 时，由a>2a－1，得a<1．
综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．]
{a|a<1或a>3}　
题号
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14．已知集合A＝{x| x2－3x ＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为________，满足条件A C B的集合C的个数为________．
4　3　[A＝{1，2}，B＝{x|0因为A C B，所以集合C必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{3，4}的子集个数，即有22＝4个，满足A C B有3个．]
4　
3　
题号
2
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15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
[解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)·[x－(a－1)]＝0}，
∴1∈B．又B A，∴a－1＝1，即a＝2．
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C A，
∴C＝ 或{1}或{2}或{1，2}．
题号
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当C＝{1，2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；
当C＝ 时，Δ＝b2－8<0，
即－2综上可知，存在a＝2，b＝3或－2题号
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谢 谢！