【学霸笔记：同步精讲】第一章 §1 1.3 第2课时 全集与补集 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共48张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　预备知识
§1　集合
1.3　集合的基本运算
第2课时　全集与补集
学习任务 核心素养
1．了解全集的含义及符号表示．(重点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(重点、难点) 3．会用Venn图、数轴进行集合的运算． (重点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养．
2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
1．全集的含义是什么？
2．补集的含义是什么？
3．如何理解“ UA”的含义？
4．如何用Venn图表示 UA？
必备知识·情境导学探新知
1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作_____，常用符号__表示．全集包含所要研究的这些集合．
思考1．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
[提示]　全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
全集　
　U
2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中___________ A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作 UA．
(2)符号： UA＝________________．
(3)Venn图
所有不属于　
{x|x∈U，且x A}　
(4)补集的性质
①A∪( UA)＝__．
②A∩( UA)＝___．
③ UU＝___， U ＝U， U( UA)＝__．
④( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
⑤( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
思考2． UA，A，U三者之间有什么关系？
[提示]　A U， UA U，A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ ．
U　


A　
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R． (　　)
(2)集合 BC与 AC相等． (　　)
(3)A∩ UA＝ ． (　　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)
×
×
√　
×
体验2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则 UM＝____________．
{2，4，6}　[因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以 UM＝{2，4，6}．]
{2，4，6}　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　补集运算
【例1】　【链接教材P10例7】
已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求 UB．
[解]　因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪( UA)＝{x|x>2}，
所以 UB＝{x|2【教材原题·P10例7】
例7　设全集U＝{x|x是小于10的正整数}，A＝{2，4，6，8}，B＝
{2，3，5，7}，求 UA， UB．
[解]　依题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为A＝
{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，所以 UA＝{1，3，5，7，9}， UB＝{1，4，6，8，9}．
反思领悟　求集合补集的两种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[跟进训练]
1．(1)设集合A＝，B＝{2，4}，则 AB＝(　　)
A．{2，4} 　 B．{0，1，3，5}
C．{1，3，5，6} 　 D．{0，1，3，5，6}
(2)设全集U＝{1，2，6，8，9}，集合A＝{1，|a－6|，9}， UA＝{6，8}，则a的值是(　　)
A．4 　 B．8
C．－4或8 　 D．4或8
√
√
(1)C　(2)D　[(1)因为A＝{1，2，3，4，5，6}，所以 AB＝{1，3，5，6}，故选C．
(2)A＝ U( UA)＝{1，2，9}＝{1，|a－6|，9}，
∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．]
类型2　交、并、补的综合运算
【例2】　【链接教材P10例8】
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解]　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，
∵ RA＝{x|x<3，或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2【教材原题·P10例8】
例8　设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}，求：
(1) R(A∩B)；
(2) R(A∪B)；
(3)( RA)∩( RB)；
(4)( RA)∪( RB)．
[解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(如图1-12)，则

A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x＞3}＝{x|3＜x＜5}，所以
R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}；
(2)由图1-12可知A∪B＝{x|x＜5}∪{x|x＞3}＝R，所以 R(A∪B)＝ ；
(3)在数轴上表示出集合 RA， RB(如图1-13)，即 RA＝{x|x≥5}， RB＝{x|x≤3}，所以( RA)∩( RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝ ；
(4)由图1-13可知
( RA)∪( RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或x≥5}．
反思领悟　解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界是否能够取到．
[跟进训练]
2．(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝
{2，4，5}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{6，8} 　 B．{5，7}
C．{4，6，7} 　 D．{1，3，5，6，8}
(2)设集合A＝{x|1A．(1，4) 　 B．(3，4)
C．(1，3) 　 D．(1，2)∪(3，4)
√
√
(1)A　(2)B　[(1)∵A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，
∴ U(A∪B)＝{6，8}．
(2)∵ RB＝ (－∞，－1)∪ (3，＋∞)，∴A∩( RB)＝(3，4)．]
类型3　与补集有关的参数值(范围)的求解
【例3】　设全集U＝R，A＝，B＝{x|－2[解]　法一： UA＝＝，
∵ ( UA)∩B＝ ，
∴－m≤－2，∴m≥2．
法二：A＝，由( UA)∩B＝ ，得A B，
∴－m≤－2，∴m≥2．
[母题探究]
1．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，求实数m的取值范围．
[解]　由已知得 UA＝， UA B，所以－m≥4，解得m≤－4．
[解]　由已知得，A＝，A B，所以－m≤－2，解得m≥2．
2．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，求实数m的取值范围．
3．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，求实数m的取值范围．
[解]　由例3知，当( UA)∩B＝ 时，m≥2，所以当( UA)∩B≠ 时，m<2．
反思领悟　1．要注意下面五个关系式A∩B＝A，A∪B＝B， UA UB，A∩( UB)＝ ，( UA)∪B＝U都与A B等价．
2．解决此类问题时，可根据集合运算结果，利用Venn图或数轴直观展示各集合之间的关系，进而列出方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．(教材P11练习T1改编)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝(　　)
A．U 　 B．{1，3，5}
C．{3，5，6} 　 D．{2，4，6}
C　[∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴ UM＝{3，5，6}．]
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)
A．{3，4，5} 　 B．{1，3，4}
C．{1，2，5} 　 D．{3，4}
√
D　[由题图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N)．
∵M∪N＝{1，2，5}，
又U＝{1，2，3，4，5}，
∴ U(M∪N)＝{3，4}．]
3．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝(　　)
A．{2，3，5} 　 B．{1，3，4}
C．{1，2，4，5} 　 D．{2，3，4，5}
√
A　[由题意知， UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪ UM＝
{2，3，5}，故选A．]
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1{x|x<1，或x≥2}　[∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1{x|x<1，或x≥2}
5．已知全集U＝{2，0，3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}， UP＝{－1}，则a＝________．
2　[由题意知，－1∈U，－1 P．
∴
解得a＝2．]
2　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(五)　全集与补集
一、选择题
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9} 　 B．{3，4，9}
C．{1，2，3} 　 D．{2，3，5}
D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，
所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D．]
题号
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2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)

A．A∩( UB) 　 B．B∩( UA)
C． U(A∩B) 　 D． U(A∪B)
√
B　[阴影部分表示A以外的部分与B的交集，故阴影部分表示的集合为B∩( UA)．故选B．]
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3．(教材P11练习T2改编)已知集合P＝{x|x>0}，Q＝{x|－1A．{x|x>－1} 　 B．{x|0C．{x|－1√
C　[因为P＝{x|x>0}，
所以 RP＝{x|x≤0}，
因为Q＝{x|－1所以( RP)∩Q＝{x|－1题号
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4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A．0或2 　 B．0
C．1或2 　 D．2
√
D　[由题意，知则a＝2．]
题号
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5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} 　 B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} 　 D．{a|a>2}
√
C　[ RB＝{x|x≤1，或x≥2}，如图所示．

∵A∪( RB)＝R，∴a≥2．]
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二、填空题
6．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则 ( UA)∪B为__________．
{0，2，4}　[∵ UA＝{0，4}，∴( UA)∪B＝{0，2，4}．]
{0，2，4}
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7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x2　[∵A∪( UA)＝U，
∴A＝{x|1≤x<2}．
∴a＝2．]
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8．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
－3　[∵ UA＝{1，2}，
∴A＝{0，3}，
∴9＋3m＝0，∴m＝－3．]
－3　
题号
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三、解答题
9．(源自人教B版教材)已知U＝{x∈N|x≤7}，A＝{x∈U|x2≤7}，B＝{x∈U|0<2x≤7}，求 UA， UB，( UA)∪( UB)， U(A∩B)．
[解]　不难看出
U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}．
因此 UA＝{3，4，5，6，7}， UB＝{0，4，5，6，7}，
( UA)∪( UB)＝{0，3，4，5，6，7}，
U(A∩B)＝{0，3，4，5，6，7}．
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10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
[解]　∵( UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0． ①
又∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0． ②
联立①②，解得
√
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11．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}， UA＝{5，7}，则a的值是(　　)
A．2 　 B．－2
C．8 　 D．－8
AC　[∵A∪( UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8．]
√
题号
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12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩ IM＝ ，则M∪N等于(　　)
A．M 　 B．N
C．I 　 D．
√
A　[因为N∩ IM＝ ，所以N M(如图)，所以M∪N＝M．]
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13．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩( UB)＝________，( UA)∩( UB)＝________．
{2，4}　{6}　[∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，
∴ UA＝{1，3，6，7}， UB＝{2，4，6}．
∴A∩( UB)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，
( UA)∩( UB)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}．]
{2，4}　
　{6}　
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14．已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩( UN)＝{3，5}，( UM)∩N＝{7，19}，( UM)∩( UN)＝{2，17}，则M＝______________，N＝_________________．
{3，5，11，13}　{7，11，13，19}　[法一：U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．
法二：因为M∩( UN)＝{3，5}，
所以3∈M，5∈M且3 N，5 N．
{3，5，11，13}
{7，11，13，19}
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又因为( UM)∩N＝{7，19}，
所以7∈N，19∈N且7 M，19 M．
又因为( UM)∩( UN)＝{2，17}，
所以 U(M∪N)＝{2，17}，
所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．]
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15．我们知道，如果集合A U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫作A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}．
据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在右列各图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，那么A与B之间具有怎样的关系？
[解]　(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，
UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}．
(2)阴影部分如图所示．
(3)若A－B＝ ，则A B．
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