【学霸笔记：同步精讲】第一章 §2 2.1 必要条件与充分条件 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共53张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
学习任务 核心素养
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养．
1．什么是必要条件？
2．什么是充分条件？
3．什么是充要条件？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称__是__的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即__对于__的成立是必要的．
知识点2　充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称__是__的充分条件．
综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的_____条件，也称p是q的_____条件．
q　
p　
q　
p
p　
q　
必要　
充分
思考1．(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示]　(1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件．
(2)这五种表述形式是等价的．
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　)
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　)
(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立． (　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　)
体验2．设集合M＝{x|0×
×
√　
√　
必要
知识点3　充要条件
(1)一般地，如果_____，且_____，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作_____．
(2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q_____”．
(3)当p是q的充要条件时，q也是p的_____条件．
p q　
q p　
p q　
等价　
充要
思考2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
体验3．“x<2”是“<0”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
√
体验4．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
体验5．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
√
充要
关键能力·合作探究释疑难
类型1　充分、必要、充要条件的判断
【例1】　【链接教材P17例3】
下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1) p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(3) p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解]　(1)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p q．反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p．
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0．
故p q，但q p．
所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
【教材原题·P17例3】
例3　在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1) p：A B，q：A∩B＝A；
(2) p：a＝b，q：|a|＝|b|；
(3) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解]　(1)因为命题“若A B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A B”也为真命题，所以p是q的充要条件；
(2)因为“a＝b” “|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分条件，但不是必要条件；
(3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
反思领悟　充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法
若p q，q p，则p是q的充分不必要条件；
若p q，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要不充分条件．
[跟进训练]
1．(1)已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列选项中，是“a＞1”的充分不必要条件的是(　　)
A．a＞2 　 B．a＞3
C．a＜2 　 D．a＜3
√
√
√
(1)A　(2)AB　[(1)由－1＝0可得到m－n＝0，但m－n＝0成立，－1＝0不一定成立，如m＝n＝0时，－1＝0不成立，因此“－1＝0”是“m－n＝0”的充分不必要条件．故选A．
(2)对于A，{a|a＞2}是{a|a＞1}的真子集，故“a＞2”是“a＞1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，{a|a＞3}是{a|a＞1}的真子集，故“a＞3”是“a＞1”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，a＜2不能推出a＞1，a＞1也不能推出a＜2，故“a＜2”是“a＞1”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，同理可知“a＜3”是“a＞1”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选AB．]
类型2　必要条件、充分条件的应用
【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解]　由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，
所以或
解得m≥9．
所以实数m的取值范围是m≥9．
[母题探究]
1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
[解]　由p是q的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，
当＝ ，即m<0时，符合题意；
当≠ ，即m≥0时，
可得
或
解得0≤m≤3．
综上得，实数m的取值范围是m≤3．
2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解]　若p是q的充要条件，
则＝，
即
由于该方程组无解，所以实数m不存在．
反思领悟　利用必要条件与充分条件求参数的取值范围的步骤
(1)化简p与q；
(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；
(3)利用集合之间的关系建立不等式；
(4)解不等式求出参数的取值范围．
类型3　充要条件的探求与证明
【例3】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0．
[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即<0．
②充分性：由<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝<0，所以两根异号．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0．
反思领悟　充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0．
[证明]　充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，
故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．
必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，
∴a＋b＋c＋d＝0．
综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件　　 B．充分不必要条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
B　[“12．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　)
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
√
B　[由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B．]
3．(教材P23习题1—2A组T2(2)改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
√
D　[若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．]
4．在判定定理中，条件是结论的________条件．
5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是__________．
{a|a<－1}　[若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a} {x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是{a|a<－1}．]
充分
{a|a<－1}　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(六)　必要条件与充分条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[若x>0，则x≠0．
若x≠0，则x＞0或x＜0，
所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(教材P18练习T2(1)改编)若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
√
B　[由>1，得01”的必要不充分条件，故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．(多选)x2＝1的充分不必要条件是(　　)
A．x＝±1 　 B．x＝1
C．x＝－1 　 D．x≠1且x≠－1
√
BC　[解方程x2＝1，得x＝±1，所以x＝1是x2＝1的充分不必要条件，x＝－1也是x2＝1的充分不必要条件．故选BC．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．设a∈R，则a＞4的一个必要不充分条件是(　　)
A．a＞1 　 B．a＜1
C．a＞5 　 D．a＜5
√
A　[由a＞4可得a＞1，但a＞1成立，a＞4不一定成立，
因此“a＞1”是“a＞4”的必要不充分条件．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝
－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2 a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的_____________条件．
充分不必要
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
a≤1　[由题意得， ，故a≤1．]
a≤1　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．在下列四个结论中，正确的是________．(填序号)
①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；
②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；
③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件．
①③　[对于①，当x<0时，x＋|x|＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①正确；
对于②，当ab＝0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，故②错误；
只有①③正确．]
①③　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．(源自人教B版教材)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
(1)p：x∈Z，q：x∈R；
(2)p：x是矩形，q：x是正方形．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)因为矩形不一定是正方形，即p q，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2．
[证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有两个实根，设两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2＝1>0，
所以x1，x2同号；
又因为x1＋x2＝－m≤－2，
所以x1，x2同为负根．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2＝＝－
≥0，所以m≥2，
综合(1)，(2)知命题得证．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．关于x的方程x2－4x＋a＝0没有实数根的一个充分不必要条件是(　　)
A．a＞4 　 B．a＜4
C．a＞5 　 D．a＜5
C　[方程x2－4x＋a＝0没有实数根的充要条件是Δ＝16－4a＜0，即a＞4．又a＞4的一个充分不必要条件是a＞5，故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
√
A　　　　B　　　　C　 　　　D
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
a<5　[由题意得，A是B的真子集，故a<5．]
a<5　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．下列不等式：①x<1；②0－1．其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________．
②③　①⑤　[由x2<1，得－1－1－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．]
②③
①⑤
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？
[证明]　∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，
则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2．
设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1，x2，
则＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2＞3．
∴|a|＞>．
∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；
但a＝2时＝2＜3．因此这个条件不是其充分条件．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！