【学霸笔记：同步精讲】第一章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(共51张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
学习任务 核心素养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点) 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点) 1．通过对一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养．
2．借助一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力．
1．一元二次不等式的概念是什么？
2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　一元二次不等式的概念
1．定义：一般地，只含有____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式叫作一元二次不等式．
2．一般表达式：______________，或______________，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0)．
3．解集：使一元二次不等式成立的___________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
一个　
2　
ax2＋bx＋c>0　
ax2＋bx＋c<0　
所有未知数　
思考1．(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
[提示]　(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．
体验1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0．其中一定为一元二次不等式的有_____．
(填序号)
②④
知识点2　一元二次不等式的求解方法
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系：
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 无实
数根
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 函数y＝ax2＋bx＋c的图象
不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|xx2} R
不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1思考2．(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，a，b，c满足的条件是什么？
[提示]　(1)或
(2)或
体验2．不等式x(x－2)>0的解集为_____________，不等式x(x－2)<0的解集为____________．
体验3．不等式3x2－2x＋1>0的解集是______．
R　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．]
{x|x<0，或x>2}
　{x|0R　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　一元二次不等式的解法
角度1　二次项系数大于0
【例1】　【链接教材P37例2】
解不等式x2－5x－6＞0．
[解]　方程x2－5x－6＝0的解为x1＝－1，x2＝6，根据y＝x2－5x－6的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|x＞6，或x＜－1}．
【教材原题·P37例2】
例2　求不等式9x2－6x＋1＞0的解集．
[解]　因为方程9x2－6x＋1＝0的Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，所以该方程有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．
画出一元二次函数y＝9x2－6x＋1的图象(如图1-22)，
可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴
仅有一个交点．
观察图象可得原不等式的解集为．
角度2　二次项系数小于0
【例2】　解不等式－2x2＋3x＋2≤0．
[解]　原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵方程2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是．即原不等式的解集是．
反思领悟　一元二次不等式的一般解题步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；
(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．
[跟进训练]
1．解不等式x2>2x－1．
[解]　原不等式化为x2－2x＋1>0．
∵Δ＝0，∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1．
函数y＝x2－2x＋1的图象是开口向上的抛物线，如图，
观察图象可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
类型2　含参数的一元二次不等式的解法
【例3】　【链接教材P38例4】
解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0．
[解]　(1)当a＝0时，不等式的解集为，
(2)当a>0时，Δ＝4－4a，
①Δ>0即0②Δ≤0即a≥1时，不等式的解集为 ．
(3)当a<0时，Δ＝4－4a>0，
不等式的解集为
【教材原题·P38例4】
例4　求关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0的解集，其中a是常数．
[解]　依题意知方程x2＋(1－a)x－a＝0的实数根为x1＝－1，x2＝a，且一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象是开口向上的抛物线．
(1)当a＜－1时，如图1-24，一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象与x轴从左至右有两个交点(a，0)与(－1，0)．所以原不等式的解集为(a，－1)．
(2)当a＝－1时，如图1-25，一元二次函数
y＝x2＋(1－a)x－a的图象与x轴只有一个交
点(－1，0)．所以原不等式的解集为 ．
(3)当a＞－1时，如图1-26，一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象与x轴从左至右有两个交点(－1，0)与(a，0)．所以原不等式的解集为(－1，a)．
综上所述，当a＜－1时，原不等式的解集为(a，－1)；
当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a＞－1时，原不等式的解集为(－1，a)．
反思领悟　解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”．
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0．
[解]　原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0．
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 ．
类型3　三个“二次”关系的应用
【例4】　(1)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝(　　)
A．－28 　 B．－26
C．28 　 D．26
(2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________．
√
2　
2　
(1)C　(2)2　2　[(1)由题意可知－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴
∴a＝4，b＝7．∴ab＝28．
(2)由题意可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a>0，所以解得]
反思领悟　一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，
从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b．
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用c表示a，b→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．
[跟进训练]
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)
A．(2，3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，)
D．(－∞，)∪(，＋∞)
√
A　[依题意，－ 与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
则即
又a＜0，不等式x2－bx－a＜0可化为x2－x－1＞0，即－x2＋x－1＞0，
解得2＜x＜3．]
学习效果·课堂评估夯基础
1．(教材P38练习T1(1)改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1，2)
D　[∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2．
故原不等式的解集为(1，2)．]
√
2．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1．其中解集为R的是(　　)
A．① 　 B．②
C．③ 　 D．④
√
C　[①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C．]
3．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝(　　)
A．{x|－7B．{x|3C．{x|－5D．{x|－7√
C　[S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－54．不等式2x2＋x－15<0的解集为_______________．
　[由2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)<0，得－3∴原不等式的解集为．]
　
5．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝________，c＝________．
－6　－1　[由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1．]
－6　
－1　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(十一)　一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．(教材P41习题1—4A组T3(2)改编)不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A． 　B．x＝－} C． 　 D．R
B　[∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，
∴9x2＋6x＋1≤0的解集为．]
题号
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2．不等式x(2－x)＞3的解集是(　　)
A．{x|－1＜x＜3} 　 B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3，或x＞1} 　 D．
√
D　[将不等式化为x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为 ．]
题号
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3．若集合A＝，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
B　[由题意可得A＝，B＝{1，2，3，4，5}，所以A∩B＝．]
题号
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4．若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝，则 U(A∩B)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
√
D　[由题意可得A＝{x|－4所以 U(A∩B)＝．]
题号
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5．若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则一元二次不等式cx2＋bx＋a>0的解集是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
C　[由题意得，a<0，－＝1，＝－2，所以cx2＋bx＋a>0可化为x2＋x＋1<0，即－2x2－x＋1<0，解得x＜－1，或x＞．]
题号
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二、填空题
6．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________．
{－1，0}　[{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－2{－1，0}　
题号
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7．当a<0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集是____________
_________．
{x|x<5a，或x>－a}　[∵a<0，∴5a<－a，
由(x－5a)(x＋a)>0，得x<5a，或x>－a．]
{x|x<5a，
或x>－a}　
题号
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8．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，对于a，b，c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0．其中正确结论的序号是________．
③⑤　[由于ax2－bx＋c＞0的解集为，
可知a＜0，且－＋2＝，－×2＝，∴b＜0，c＞0．
又x＝－1时不等式不成立，∴a＋b＋c＞0不成立．
x＝1时，不等式成立，∴a－b＋c＞0成立．故选③⑤．]
③⑤　
题号
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三、解答题
9．在①{1，a} {a2－2a＋2，a－1，0}，②关于x的不等式1＜ax＋b≤3的解集为{x|3＜x≤4}，③一次函数y＝ax＋b的图象过A(－1，1)，B(2，7)两点，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知________，求关于x的不等式ax2－5x＋a＞0的解集．
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[解]　选①：若1＝a2－2a＋2，解得a＝1，不符合条件；
若1＝a－1，解得a＝2，则a2－2a＋2＝2，符合条件．
将a＝2代入不等式整理得(x－2)(2x－1)＞0，
解得x＞2或x＜，故原不等式的解集为∪(2，＋∞)．
选②：因为不等式1＜ax＋b≤3的解集为{x|3＜x≤4}，
所以解得a＝2，b＝－5，
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将a＝2代入所要求不等式整理得(x－2)(2x－1)＞0，
解得x＞2或x＜，
所以不等式的解集为∪(2，＋∞)．
选③：由题意得解得a＝2，b＝3，
将a＝2代入所要求不等式整理得(x－2)(2x－1)＞0，解得x＞2或x＜，
所以不等式的解集为∪(2，＋∞)．
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10．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0．
[解]　不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1)．
(1)当Δ>0，即m>或m<时，
由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，
所以不等式的解集是{x|xm＋}；
(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
(3)当Δ<0，即√
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11．若0A．{x|3a2≤x≤3a} 　 B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2，或x≥3a} 　 D．{x|x≤3a，或x≥3a2}
A　[因为0题号
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12．不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A． 　 B．(－∞，0)
C． 　 D．
√
B　[原不等式可变形为
解得0所以原不等式的解集为(－∞，0)．故选B．]
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13．在R上定义运算：≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
　[原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，因为x2－x－1＝－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤．
所以a的最大值为．]
　
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14．对于实数x，当且仅当n≤x{x|2≤x<8}　[由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x{x|2≤x<8}
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15．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
[解]　∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，
则
解得0综上，0≤a≤1．
由x2－x－a2＋a<0，
得(x－a)[x－(1－a)]<0．
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，
即0≤a<时，a题号
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②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a题号
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谢 谢！