3.5.3 对数函数的图像和性质 学案2（含答案）

3.5.3
对数函数的图像和性质
学案
1．理解并掌握对数函数的概念，会画对数函数的图像．
2．根据图像掌握对数函数的性质．
3．能利用对数函数的图像和性质来比较大小、求定义域和值域、确定单调区间等．
对数函数的图像和性质
如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
(1)定义域：______
(1)定义域：______
(2)值域：______
(2)值域：______
(3)过定点______，即当x＝1时，y＝0
(3)过定点______，即当x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0，0＜x＜1时，y＜0
(4)当x＞1时，y＜0，0＜x＜1时，y＞0
(5)是(0，＋∞)上的______
(5)是(0，＋∞)上的______
①对数logax的符号(x＞0，a＞0，a≠1)：
当x＜1，a＜1或x＞1，a＞1时，logax＞0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax＞0，也就是为正数，简称为“同正”；
当x＜1，a＞1或x＞1，a＜1时，logax＜0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax＜0，即为负数，简称为“异负”．
因此对数的符号简称为“同正异负”．
②助记口诀：
对数增减有思路，函数图像看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行．
底数若是大于1，图像从下往上增，
底数0到1之间，图像从上往下减．
无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
【做一做1－1】
函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像过定点(
)．
A．(1,1)
B．(1,0)
C．(0,1)
D．(0,0)
【做一做1－2】
函数y＝的定义域是(
)．
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
【做一做1－3】
函数y＝的值域是________．
答案：(1)(0，＋∞)　(1)(0，＋∞)　(2)R　(2)R　(3)(1,0)　(3)(1,0)　(5)增函数　(5)减函数
【做一做1－1】
B
【做一做1－2】
D　使函数有意义，需log2x－2≥0，
即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
【做一做1－3】
[－2，＋∞)　∵4x－x2≤4，
∴(4x－x2)≥4＝－2.
1．函数y＝logax(a＞0，a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
剖析：观察图像，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较：(比较图像与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
画对数函数y＝logax的图像时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，.
2．对数函数和指数函数的性质有什么区别和联系？
剖析：将对数函数和指数函数的性质对比列成表，如下表所示：
名称
指数函数
对数函数
解析式
y＝ax(a＞0，a≠1)
y＝logax(a＞0，a≠1)
定义域
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
单调性
当a＞1时为增函数，当0＜a＜1时为减函数
函数值变化情况
当a＞1时：若x＞0，则y＞1；若x＝0，则y＝1；若x＜0，则0＜y＜1
当a＞1时：若x＞1，则y＞0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y＜0
当0＜a＜1时：若x＞0，则0＜y＜1；若x＝0，则y＝1；若x＜0，则y＞1
当0＜a＜1时：若x＞1，则y＜0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y＞0
图像
y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像关于直线y＝x对称
通过将对数函数与指数函数的性质进行对比，可以发现：当a＞1或0＜a＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的；定义域和值域恰好相反；对数函数的反函数是指数函数，所以可以利用指数函数的性质来研究对数函数．应该注意到：这两种函数都要求底数a＞0，a≠1.
题型一
求定义域
【例1】
求函数f(x)＝的定义域．
分析：x取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．
反思：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：(1)要特别注意真数大于零；(2)要注意对数的底数；(3)按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
题型二
比较大小
【例2】
比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，
log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141.
分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；
(2)分别比较与0的大小；
(3)分类讨论底数a的取值范围．
反思：比较两个对数值大小的方法：①单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)；②中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；③分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1的大小分类讨论，如本题(3)．
题型三
对数函数的图像
【例3】
作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
分析：
反思：(1)掌握对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像．
(2)由y＝logax到y＝loga(x＋h)是平移变换，由y＝logax到y＝loga|x|是对称变换，有对称又有平移时，先对称再平移．
(3)图像与性质是对应的，由图像得性质较直观、形象．
题型四
求单调区间
【例4】
求下列函数的单调区间：
(1)y＝；
(2)y＝.
分析：复合函数的单调性的判断仍然用复合函数判断法，即“同增异减”，但要考虑函数的定义域．
反思：有关对数函数的复合函数的单调性问题，仍然用“同增异减”来处理，但要注意对数函数的定义域，即真数必须大于零．
答案：【例1】
解：要使函数有意义，需有
即解得＜x≤1.
∴函数f(x)的定义域为.
【例2】
解：(1)(单调性法)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
【例3】
解：作出函数y＝log2x的图像，将其关于y轴对称得到图像y＝log2|x|的另一分支曲线．再将整个图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像．如图所示．
由图可得函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．
【例4】
解：(1)令t＝x2－2x－3，则y＝在(0，＋∞)上递减．
而t＝x2－2x－3在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，但t＝x2－2x－3＞0，
∴x＞3或x＜－1.
故函数f(x)＝(x2－2x－3)的递增区间为
(－∞，－1)，递减区间为(3，＋∞)．
(2)令t＝
x，则t＝x在(0，＋∞)上递减，而y＝t2－6t＋2在(－∞，3]上递减，在[3，＋∞)上递增，
∴t＝≤3，即x≥时，y＝()2－6＋2递增；当t＝≥3，即0＜x≤时，函数递减．故函数y＝()2－6＋2的递增区间为，递减区间为.
1
(2010广东高考，文2)函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是(
)．
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
2
已知函数f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(
)．
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,0)
D．(0，＋∞)
3
若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(
)．
A．log2x
B.
C．
D．2x－2
4
(2011浙江台州高一期末)设f(x)＝则＝__________.
5
比较loga2与loga3的大小(a＞0，a≠1)．
答案：1．B　由x－1＞0，得x＞1，
所以定义域为(1，＋∞)．
2．D　由题意得a＋1＞1，解得a＞0.
3．A　由题意，知f(x)＝logax，∵f(2)＝1，
∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.故选A.
4．0　，
＝f(0)＝20－1＝0.
5．解：设f(x)＝logax，
当0＜a＜1时，f(x)＝logax是减函数，
则f(2)＞f(3)，即loga2＞loga3；
当a＞1时，f(x)＝logax是增函数，
则f(2)＜f(3)，即loga2＜loga3.
综上可得，当0＜a＜1时，loga2＞loga3；
当a＞1时，loga2＜loga3.