3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学案1（含答案）

3.6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学案
1．了解指数增长、幂增长、对数增长的意义．
2．能够解决相应的实际问题．
三种增长函数模型的比较
在区间(0，＋∞)上尽管y＝ax(a＞1)，y＝xn(x＞0，n＞1)和y＝logax(a＞1)都是________，但它们增长的速度不同，而且不在一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会越来越____，会超过并远远大于y＝xn(x＞0，n＞0)和y＝logax(a＞1)的增长速度．由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“________”．
【做一做1－1】
当a＞1时，下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是(
)．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【做一做1－2】
当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(
)．
A．y＝2x
B．y＝x10
C．y＝lg
x
D．y＝10x2
【做一做1－3】
当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是________函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就________．
答案：增函数　快　指数爆炸
【做一做1－1】
B
【做一做1－2】
A
【做一做1－3】
增　越快
如何选择增长型函数描述实际问题？
剖析：选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．
题型一
比较函数增长的差异
【例1】
分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．
分析：解答本题时，应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．
反思：在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况．如图所示：
题型二
比较大小问题
【例2】
比较下列各组数的大小．
(1)，；(2)0.32，log20.3,20.3.
分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用函数的性质或图像进行求解．
反思：解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．
题型三
实际应用
【例3】
某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
分析：奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1
000]时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
反思：从这个例题可以看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长要快，从而我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义．
答案：【例1】
解：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，Δy＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，而Δy＝log23－log21≈1.585
0.
由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
【例2】
解：(1)函数y1＝x为减函数，又＞，
∴.
又函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
∴.∴.
(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log20.3＜0.32＜20.3.
【例3】
解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如图所示：
观察图像发现，在区间[10,1
000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上是单调递增的，当x∈(20,1
000]时，y＞5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806，1
000]时，y＞5，因此，也不符合题意．
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1
000]上单调递增且当x＝1
000时，y＝log71
000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1
000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316
7＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1
000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．
1
下列所给函数，增长最快的是(
)．
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝log5x
D．y＝5x
2函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是(
)．
A．0
B．1
C．2
D．3
3当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(
)．
A．2x＞x2＞log2x
B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2
D．x2＞log2x＞2x
4若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
5汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车制动后，还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速为100
km/h的高速公路上，甲车的刹车距离y(m)与刹车速度x(km/h)的关系可用模型y＝ax2来描述，在限速为100
km/h的高速公路上，甲车在速度为50km/h时，刹车距离为10
m，则甲车刹车距离为多少米时，交通部门可以判定此车超速？
答案：1．D　2.D
3．B　思路一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
思路二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验容易知道选B.
4．ax　由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax＞xn＞logax.
5．解：本题函数模型已经给出，但是a的值需要先求出，利用给定的速度为50
km/h时，刹车距离为10
m这一条件，把数值代入y＝ax2，即10＝502a，就可以求出参数a＝；交通部门判定此车超速的依据是此车车速超过100
km/h的限速，因为函数y＝ax2在x＞0时是单调递增的，所以可以把x＝100代入确定的解析式，求出刹车距离y＝×1002＝40(米)．
故当刹车距离超过40米时，可以判定此车超速．