§1 指数幂的拓展
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．
1．正分数指数幂的定义是什么？
2．负分数指数幂的定义是什么？
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：②＝．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝＝．
能否将＝－3写成＝－3
[提示] 不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式．
1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；
(2)b-3＝32．
[解] (1)∵b4＝35，∴b＝．
(2)∵b-3＝32，∴b＝．
2．计算：
＝________；
＝________．
(1)2 (2) [(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2．
(2)由负分数指数幂的定义，得．
设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，
所以．]
类型1 根式的化简与求值
【例1】 化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
(2)．
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0．
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π．
综上可知，
(2)
正确区分与
(1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．
(2)运算结果不同
①＝a．②
[跟进训练]
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
B [∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0．
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B．]
2．若，则实数a的取值范围为________．
[＝＝1－2a．因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤．]
类型2 根式与分数指数幂的互化
【例2】 可化为( )
A． B．
C． D．
(2)可化为( )
[思路点拨] 熟练应用是解决该类问题的关键．
(1)D (2)A [．
(2) ．]
根式与分数指数幂的互化规律
(1)关于式子的两点说明
①根指数n即分数指数的分母；
②被开方数的指数m即分数指数的分子．
(2)通常规定中的底数a>0．
[跟进训练]
3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2)．
[解] (1)．
(2)．
类型3 求指数幂的值
【例3】 【链接教材P77例2】
求下列各式的值：
；．
[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．
[解] (1)设＝x，则x3＝642＝4 096，
又∵163＝4 096，∴＝16．
(2)设＝x，则x4＝81-1＝，
又∵，∴．
【教材原题·P77例2】
例2 计算：
； ．
[解] (1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b＞0)，所以＝8．
(2)由负分数指数幂的定义，得．
设b＝，由定义，得b3＝27，b＝3，所以．
(3)由负分数指数幂的定义，得．
设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b＞0)，所以＝64．
解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
[跟进训练]
4．求下列各式的值：
；．
[解] (1)设＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，
∴＝5．
(2)设＝x，则x7＝128-1＝，
又∵，
∴．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
表示个2相乘． ( )
(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ( )
(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．可化为( )
[答案] A
3．计算等于( )
A．9 B．3
C．±3 D．－3
B [由35＝243，得＝3．]
4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________．
[答案]
5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)．
(1)＝________；
(2)＝________．
[(1)．
(2)．]
课时分层作业(二十) 指数幂的拓展
一、选择题
1．下列各式正确的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．＝－2 D．＝2
C [由于＝－2，故选项A，B，D错误，故选C．]
．＝( )
A． B．
C． D．
D [，设b＝，则b4＝，所以b＝(b>0)，所以．
故选D．]
3．下列各式中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
[答案] D
4．若有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a＝2
C．a≠2 D．a≥0且a≠2
D [由题知 得a≥0且a≠2，故选D．]
5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A．－
B．(x≠0)
C．
D．
C [
故选C．]
二、填空题
．中x的取值范围是________．
[要使该式有意义，需3－2x>0，
即x<．]
7．的值为________．
－6 [＝＝4－－4，
所以原式＝－6＋4－－4＝－6．]
8．化简：＝________．
6 [原式＝＝6．]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)；(2) ；(3) ．
[解] (1) ＝－2．
(2) ＝10．
(3)
10．化简：．
[解] 原式＝|x－2|＋|x＋2|．
当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；
当－2当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x．
综上，
11．给出下列4个等式：①＝±2；②；③若a∈R，则＝1；④设，则＝a．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [①中＝2，所以①错误；
②错误；
③因为a2－a＋1>0恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则＝a，若n为偶数，则，所以当n为偶数时，a<0时不成立，所以④错误．故选B．]
12．已知a＜，则化简的结果是( )
A． B．－
C． D．－
C [由a＜知，4a－1＜0，所以，故选C．]
13．当a>0时，等于________．
－x [因为a>0，所以x≤0，．]
14．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＝_____________，a＋b＝________．
±9 －11或7 [因为81的平方根为±9，
所以a＝±9．
又因为－8的立方根为－2，所以b＝－2．
所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
15．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解] ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a＞b＞0，
∴>，
∴．
2 / 2§1 指数幂的拓展
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．
1．正分数指数幂的定义是什么
2．负分数指数幂的定义是什么
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：＝________．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝________＝________．
能否将＝－3写成(－27＝－3
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1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；
(2)b-3＝32．
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2．计算：
(1)＝________；
(2)2＝________．
类型1 根式的化简与求值
【例1】 化简：
(1)(x<π，n∈N*)；
(2)．
[尝试解答] ________________________________________________________
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正确区分
(1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．
(2)运算结果不同
①
[跟进训练]
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0
2．若，则实数a的取值范围为________．
类型2 根式与分数指数幂的互化
【例2】 可化为( )
A． B．
C． D．
(2)可化为( )
A． B．
D．
[思路点拨] 熟练应用是解决该类问题的关键．
[尝试解答] ________________________________________________________
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根式与分数指数幂的互化规律
(1)关于式子的两点说明
①根指数n即分数指数的分母；
②被开方数的指数m即分数指数的分子．
(2)通常规定中的底数a>0．
[跟进训练]
3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2)．
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类型3 求指数幂的值
【例3】 【链接教材P77例2】
求下列各式的值：
(1)6；(2)8．
[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，＝b(m，n∈N+，a，b>0)求解．
[尝试解答] ________________________________________________________
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解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
[跟进训练]
4．求下列各式的值：
(1)12；(2)12．
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 个2相乘． ( )
(2) (a>0，m，n∈N+，且n>1)． ( )
(3) (a>0，m，n∈N+，且n>1)． ( )
2．可化为( )
A． B．
D．
3．计算24等于( )
A．9 B．3
C．±3 D．－3
4．若b-3n＝5m(m，n∈N+)，则b＝________．
5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)．
(1)＝________；
(2)＝________．
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