§2 指数幂的运算性质
学习任务 核心素养
1．掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点) 通过指数幂的运算，培养数学运算素养．
指数幂的运算性质有哪些？
指数幂的运算性质
已知a>0，b>0，α∈R，β∈R，
1．aα·aβ＝aα＋β；
2．(aα)β＝aαβ；
3．(ab)α＝aα·bα．
以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算？
＝－2．
[提示] 错误，＝21＝2．
1．计算：×2-2＝________．
[原式＝．]
2．计算：＝________．
[答案]
类型1 指数幂的运算
【例1】 【链接教材P80例1】
计算下列各式：
－0.010.5；
＋16-0.75；
(a>0，b>0)．
[解] (1)原式＝
＝1＋．
(2)原式＝0.4-1－1＋(－2)-4＋2-3＝．
(3)原式＝．
【教材原题·P80例1】
例1 计算：
-2； 3；
．
[解] -2＝；
3＝×23＝2-2×23＝2-2+3＝2；
．
在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．
[跟进训练]
1．计算：
－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2．
[解] (1)原式＝＋1＝0.3－．
(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝a-3-(-4)b-2-(-2)c-1＝－．
(3)原式＝＝．
类型2 对指数幂的运算性质的理解
【例2】 (1)下列函数中，满足f 的是( )
A．f ＝4x B．f ＝4－x
C．f ＝2x D．f ＝2－x
＝( )
(1)D (2)A [(1)对于A项，f (x＋1)＝4x+1＝4×4x＝4f (x)，故A项错误；对于B项，f (x＋1)＝4－(x+1)＝f (x)，故B项错误；对于C项，f (x＋1)＝2x+1＝2×2x＝2f (x)，故C项错误；对于D项，f (x＋1)＝2－(x+1)＝f (x)，故D项正确．故选D．]
．]
1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．
2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为．
[跟进训练]
2．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．
C．＝a5 D．＝－a6
D [a2·a3＝a5，A错；
(－a2)3＝(－1)3×a2×3＝－a6，(－a3)2＝(－1)2×a3×2＝a6，B错；
＝a6，C错，故选D．]
类型3 根据条件求值
【例3】 【链接教材P81例4】
已知，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；
(2)a2＋a-2．
[解] (1)将两边平方，得a＋a-1＋2＝5，所以a＋a-1＝3．
(2)由(1)知a＋a-1＝3，两边平方，得a2＋a-2＋2＝9，所以a2＋a-2＝7．
[母题探究]
在本例条件不变的情况下，则a2－a-2＝______．
±3 [令y＝a2－a-2，两边平方，得y2＝a4＋a-4－2＝(a2＋a-2)2－4＝72－4＝45，
∴y＝±3，即a2－a-2＝±3．]
【教材原题·P81例4】
例4 已知10α＝3，10β＝4，求的值．
[解] 10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；
10α－β＝10α×10－β＝；
10-2α＝(10α)-2＝3-2＝；
．
条件求值的步骤
[跟进训练]
3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 的值．
[解]
＝．①
∵a＋b＝12，ab＝9，②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108．
∵a＜b，∴a－b＝－6．③
将②③代入①，
得．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意实数a，am＋n＝aman． ( )
(2)当a>0时，＝amn． ( )
(3)当a≠0时，＝am－n． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
＝( )
C．310 D．7
B []
3．已知＝5，则的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
B [∵＝5，
∴x＋2＋x-1＝25，
∴x＋x-1＝23．
∴＝x＋x-1＝23．]
4．－的值为________．
[原式＝．]
＝________．
110 [原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110．]
课时分层作业(二十一) 指数幂的运算性质
一、选择题
1．将化为分数指数幂为( )
B []
．的值为( )
A．－ B．
C． D．
D [原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×．故选D．]
3．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．
C [＝a2·．]
4．计算(n∈N*)的结果为( )
A． B．22n+5
C．2n2－2n＋6 D．
D [原式＝．]
5．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A． B．2或－2
C．－2 D．2
D [因为a>1，b>0，所以ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝2－4＝4，
所以ab－a－b＝2．故选D．]
二、填空题
6．若＝0，则(x2 024)y＝________．
1 [因为＋＝0，
所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，所以x＝－1，y＝－3．
所以(x2 024)y＝[(－1)2 024]-3＝1-3＝1．]
7．已知，则y的最小值是________．
－ [由已知得，，所以y＝(x2－x)
＝，所以y的最小值是－．]
8．如果a＝3，b＝384，那么n-3＝________．
3×2n-3 [＝3×2n-3．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)化简下列各式：
(1)；
．
[解] (1)原式＝．
(2)原式＝
＝．
10．化简求值：
－3π0＋；
．
[解] (1)原式＝＝100．
(2)原式＝＝4．
11．(多选)下列各式中一定成立的有( )
A． B．
C． D．
BD [A中应为＝n7m-7；；D正确．故选BD．]
12．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A． B．
C．1 D．
B [∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x．
∴x8＝9．∴x＝．]
13．已知2m＋2－m＝5，则4m＋4－m的值为________．
23 [∵2m＋2－m＝5，∴(2m＋2－m)2＝25，
即4m＋2＋4－m＝25，∴4m＋4－m＝23．]
14．已知实数x满足x2－3x＋1＝0，则x＋x-1＝________，x2＋x-2＝________．
3 7 [因为x2－3x＋1＝0，则x2＋1＝3x，即x＋x-1＝3，
两边平方，得x2＋x-2＋2＝9，
所以x2＋x-2＝7．]
15．已知a＝3，求的值．
[解]
＝
＝
＝
＝＝－1．
1 / 1§2 指数幂的运算性质
学习任务 核心素养
1．掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点) 通过指数幂的运算，培养数学运算素养．
指数幂的运算性质有哪些
指数幂的运算性质
已知a>0，b>0，α∈R，β∈R，
1．aα·aβ＝__________；
2．(aα)β＝__________；
3．(ab)α＝__________．
以下计算正确吗 若计算错误，应该如何计算
＝－2．
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1．计算：23××2-2＝________．
2．计算：(x2y-1z3＝________．
类型1 指数幂的运算
【例1】 【链接教材P80例1】
计算下列各式：
(1)＋2-2×－0.010.5；
(2)0.06＋[(－2)3＋16-0.75；
(3)(a>0，b>0)．
[尝试解答] ________________________________________________________
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在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．
[跟进训练]
1．计算：
(1)0.02＋25＋(2－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2÷4·3．
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类型2 对指数幂的运算性质的理解
【例2】 (1)下列函数中，满足f 的是( )
A．f ＝4x B．f ＝4-x
C．f ＝2x D．f ＝2-x
(2)＝( )
A．2 B．2
C．1 D．1
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．
2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如．
[跟进训练]
2．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．
C．＝a5 D．＝－a6
类型3 根据条件求值
【例3】 【链接教材P81例4】
已知，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；
(2)a2＋a-2．
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
在本例条件不变的情况下，则a2－a-2＝________．
条件求值的步骤
[跟进训练]
3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a___________________________________________________________________
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意实数a，am+n＝aman． ( )
(2)当a>0时，＝amn． ( )
(3)当a≠0时，＝am-n． ( )
2．＝( )
A．103 B．1
C．310 D．7
3．已知＝5，则的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
4． 的值为________．
5．＝________．
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