3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学案5（含答案）

3．6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学案
课标解读
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．(重点)
2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)
知识点
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【问题导思】　
指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例探究一下它们的差异．
1．这三种函数在(0，＋∞)上的单调性怎样？
【提示】　都是单调递增．
2．右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x【提示】　23．当log2x【提示】　04.
4．从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？
【提示】　y＝2x的增长速度越来越快，会超过y＝x2的增长速度，而y＝log2x的增长速度越来越慢．
1．三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．
2．三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax.
(见学生用书第57页)
类型1
指数函数、对数函数、幂函数的图像
　四个函数在第一象限中的图像如图3－6－1所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　)
图3－6－1
A．a：y＝2x　b：y＝x2　c：y＝　
d：y＝2－x
B．a：y＝x2　b：y＝2x　c：y＝2－x　d：y＝
C．a：y＝x2　b：y＝2x　c：y＝　
d：y＝2－x
D．a：y＝ax　b：y＝x2　c：y＝2－x　d：y＝
【思路探究】　解答本题可先由图像看出单调性，再结合这几个常见函数的图像作出判定．
【自主解答】　根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图像的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数．b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．
【答案】　C
1．注意三种函数特有的性质，指数函数过(0,1)；对数函数过(1,0)；幂函数，当n＞0时，过(0,0)，(1,1)，n＜0时，不过(0,0)，过(1,1)．
2．还要注意结合单调性进行判断．
如图3－6－2，函数f(x)＝的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是(　　)
图3－6－2
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
【解析】　在同一坐标系中画出函数
f(x)＝和g(x)＝log2x的图像，由图像知，有3个交点．
【答案】　B
类型2
指数函数、对数函数、幂函数增长比较
　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【思路探究】　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加(减少)值，哪个变量的增加(减少)值最大，则该变量是关于x呈指数型函数变化．
【自主解答】　以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；
而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】　y2
三种递增函数中，由于指数函数增长得最快，因此，当自变量充分大时，指数函数值最大，但必须是达到一定程度．因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增大到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数有可能是指数型函数．
　当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)
A．y＝100x　　　　　　　B．y＝100ln
x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
【解析】　由于指数型函数的增长是爆炸式增长，当x越大时，y＝100·2x的增长速度最快，故选D.
【答案】　D
类型3
指数、对数、幂函数增长比较的应用
　某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
【思路探究】　奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1
000]时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
【自主解答】　借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如图所示：
观察图像发现，在区间[10,1
000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上是单调递增的，当x∈(20,1
000]时，y>5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1
000]时，y>5，因此，也不符合题意．
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1
000]上单调递增且当x＝1
000时，y＝log71
000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1
000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)7<0，即log7x＋1<0.25x.所以当x∈[10,1
000]时，y<0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1能符合公司要求．
1．本题还可以画散点图得出结论．
2．直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)．
　某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【解】　(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，
故只能选择Q＝at2＋bt＋c，
即
解得Q＝t2－t＋.
(2)Q＝(t－150)2＋－
＝(t－150)2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102
kg.
(见学生用书第58页)
因增长率公式理解不透致误
　某工厂转换机制，两年内生产产值的月增长率都是a，则这两年的年增长率是多少？
【错解】　设第一年年末的产值为b，
则第二年年末的产值是b(1＋a)11，
依题意得所求增长率是＝(1＋a)11－1.
【错因分析】　本题错解的原因是对增长率问题的公式y＝N(1＋p)x未能理解透彻而造成指数写错，或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．
【防范措施】　在实际生活中经常遇到的与指数函数有关的函数模型有：
1．指数增长模型，在y＝N(1＋p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间．
2．复利计算公式y＝a(1＋r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算．
【正解】　不妨设第一年一月份产值为b，则二月份产值为b(1＋a)，…，十二月份产值为b(1＋a)11，年产值总量M1＝b[1＋(1＋a)＋…＋(1＋a)11]，第二年一月份产值为b(1＋a)12，二月份产值为b(1＋a)13，…，十二月份产值为b(1＋a)23，年产值总量M2＝b(1＋a)12·[1＋(1＋a)＋…＋(1＋a)11]，所以这两年的年增长率为＝(1＋a)12－1.
1．正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数增长的差异．
直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上．
2．实际问题中对几种增长模型的选择：
(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；
(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(3)而幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律.
(见学生用书第59页)
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝log1
000x　　　　B．y＝1
000x
C．y＝x1
000
D．y＝ex
【解析】　由指数函数、幂函数、对数函数增长的规律知，增长最快的是指数型函数y＝ex.
【答案】　D
2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
【解析】　当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.
【答案】　C
3．某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图3－6－3所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是________(填写序号)．
①y＝2t；②y＝2t2；③y＝t3；④y＝log2t.
图3－6－3
【解析】　由散点图知，当t＝2时，y＝1，且图像增长缓慢，因此只有④最接近．
【答案】　④
4．某工厂利润数据如下表：
月份
1
2
3
利润(万元)
2
5
6
现有两个函数模型刻画该厂的月利润y(万元)与月份x的函数关系：指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab≠0，且b≠1)
【解】　先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，
得
解得
∴y＝－·()x＋.
把x＝4代入得y≈6.33.
再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，
得
解得
∴y＝－x2＋6x－3.
把x＝4代入得y＝5.0.
∵|5.0－5.1|<|6.33－5.1|，
∴选模型y＝－x2＋6x－3较好.
(见学生用书第119页)
一、选择题
1．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．一定存在x0，使x＞x0，总有ax＞xn＞logax
【解析】　对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．
【答案】　D
2．当0＜x＜1时，x2，log2x,2x的大小关系是(　　)
A．2x＞x2＞log2x　　　　B．2x＞log2x＞x2
C．x2＞2x＞log2x
D．x2＞log2x＞2x
【解析】　当0＜x＜1时，0＜x2＜1,1＜2x＜2，log2x＜0，所以大小关系为2x＞x2＞log2x.
【答案】　A
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，根据三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
【解析】　可用特殊值法，取x＝8，知g(8)>f(8)>h(8)．
【答案】　B
4．今有一组实验数据如下：
t
2
3
4
5
6
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v＝
D．v＝2t－2
【解析】　由表中数据可知，当t增大时，v也随着增大，所以B不正确．又当t＝2时，v＝1.5，所以A、D不正确，C符合要求．
【答案】　C
5．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝()x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
【解析】　函数f(x)＝logx，g(x)＝()x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图像如图所示．
观察图像可知，函数f(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘．
【解析】　设第一天生长a，则第二天有浮萍2a，第三天4a，…第14天213a，第15天214a.
因214a＝2×213a，
∴14天长满半池塘．
【答案】　14
7．已知元素“碳14”每经过5
730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg
2＝0.301
0，lg
4.1＝0.613)
【解析】　设距现在为x年，则有()＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7
400.
【答案】　7
400
8．已知函数f(x)＝若它与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是__________(用区间形式表示)．
【解析】　在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝m的图像如图所示，易知当m>1时，y＝f(x)与y＝m有两个不同的交点．
【答案】　(1，＋∞)
三、解答题
9．函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图像如图3－6－4所示．
图3－6－4
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)．
10．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg
3＝0.477，lg
2＝0.301)
【解】　现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数：
1小时后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100.
可见，细胞总数y(个)与时间x(小时)之间的函数关系为
y＝100×()x，x∈N＋.
由100×()x>1010，得()x>108，
两边同时取以10为底的对数，
得xlg>8，
∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46小时，细胞总数超过1010个．
11．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图3－6－5所示，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)．(注：利润与投资的单位：万元)
图3－6－5
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产．
问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．(精确到1万元)
【解】　(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
则f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，由题图形知f(1)＝，
g(4)＝，
∴k1＝，k2＝，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝x(x≥0)．
(2)设投入A产品x万元，则投入B产品(10－x)万元，设企业利润为y万元，则有
y＝f(x)＋g(10－x)
＝＋(10－x)(0≤x≤10)．
令(10－x)＝t，
则y＝＋t
＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝时，ymax＝≈4，此时x＝10－＝3.75，
故当投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，企业获得利润最大且最大利润约为4万元．