3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学案7（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学案7（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-14 15:06:13 | ||
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文档简介
3.6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学案
1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件
当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x＞0，n＞0时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．
(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)
在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．
从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．
由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．
(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn；
同样的，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
综上所述，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(x＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.
由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．
析规律
三种函数模型的性质
【例1－1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是__________．
解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．
答案：y2
析规律
函数值的增加量
在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．
【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．
A．y＝3x B．y＝3x
C．y＝x3
D．y＝log3x
解析：随着x的增大，函数y＝ax(a＞1)的增速会远远超过y＝xn(n＞0)的增速，而函数y＝logax(a＞1)的增长速度最慢．故选B.
答案：B
2．增长型函数模型在实际问题中的应用
根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．
例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．
A．一次函数 B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.
【例2】某公司为了实现1
000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1
000]时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.
25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：
观察图像发现，在区间[10,1
000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上是单调递增的，当x∈(20,1
000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1
000]时，y＞5，因此，也不符合题意．
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1
000]上单调递增且当x＝1
000时，y＝log71
000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1
000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316
7＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1
000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．
析规律
不同函数类型增长的含义
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．
3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题
利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．
例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．
A．0 B．1
C．2
D．
3
我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y＝log2(x＋4)和指数函数y＝3x的图像(其中，y＝log2(x＋4)的图像由y＝log2x的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．
由图像可以看出，它们有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，即方程log2(x＋4)＝3x的解为x＝x1或x＝x2，因此，方程的解有两个．
又如，若x满足－3＋log2x＝－x，则x属于区间( )．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．[2,3)
D．(3,4)
由－3＋log2x＝－x，得log2x＝3－x，在同一坐标系中作出对数函数y＝log2x和一次函数y＝3－x的图像，如图所示．
观察图像可知，若log2x＝3－x，则x的取值在1与3之间，又知log22＝1,3－2＝1，故选C.
【例3－1】已知x1是方程x＋lg
x＝3的解，x2是方程x＋10x＝3的解，则x1＋x2＝( )．
A．6
B．3
C．2
D．1
解析：方程x＋lg
x＝3可化为lg
x＝3－x，方程x＋10x＝3可化为10x＝3－x.在同一直角坐标系中画出函数y＝lg
x，y＝10x和y＝3－x的图像，由于y＝lg
x与y＝10x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称．
又因为直线y＝3－x与y＝x垂直，由得，两直线的交点P的坐标为.由题意知，y＝lg
x与y＝3－x交点A的横坐标为x1，y＝10x与y＝3－x交点B的横坐标为x2.因为点A，B关于P对称，所以，由线段的中点坐标公式得，即x＋x2＝3.
答案：B
谈重点
线段AB的中点坐标公式
在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为.
【例3－2】若x2＜logmx在x∈内恒成立，求实数m的取值范围．
解：设y1＝x2，y2＝logmx.若x2＜logmx在x∈内恒成立，则0＜m＜1.两个函数的图像如图所示．
当时，.若两函数图像在处相交，则，
由得，即.
又x2＜logmx在x∈内恒成立，根据底数m对函数y＝logmx图像的影响可知，实数m的取值范围为.
【例3－3】方程2x＝x2有多少个实数根？
解：在同一直角坐标系中画出函数y＝2x和y＝x2的图像．
可以看出，在y轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x＞4时，指数函数y＝2x的增长快于幂函数y＝x2的增长，这就是说在x＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学案
1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件
当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x＞0，n＞0时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．
(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)
在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．
从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．
由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．
(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn；
同样的，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
综上所述，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(x＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.
由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．
析规律
三种函数模型的性质
【例1－1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是__________．
解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．
答案：y2
析规律
函数值的增加量
在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．
【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．
A．y＝3x B．y＝3x
C．y＝x3
D．y＝log3x
解析：随着x的增大，函数y＝ax(a＞1)的增速会远远超过y＝xn(n＞0)的增速，而函数y＝logax(a＞1)的增长速度最慢．故选B.
答案：B
2．增长型函数模型在实际问题中的应用
根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．
例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．
A．一次函数 B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.
【例2】某公司为了实现1
000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1
000]时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.
25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：
观察图像发现，在区间[10,1
000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上是单调递增的，当x∈(20,1
000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1
000]时，y＞5，因此，也不符合题意．
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1
000]上单调递增且当x＝1
000时，y＝log71
000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1
000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316
7＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1
000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．
析规律
不同函数类型增长的含义
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．
3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题
利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．
例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．
A．0 B．1
C．2
D．
3
我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y＝log2(x＋4)和指数函数y＝3x的图像(其中，y＝log2(x＋4)的图像由y＝log2x的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．
由图像可以看出，它们有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，即方程log2(x＋4)＝3x的解为x＝x1或x＝x2，因此，方程的解有两个．
又如，若x满足－3＋log2x＝－x，则x属于区间( )．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．[2,3)
D．(3,4)
由－3＋log2x＝－x，得log2x＝3－x，在同一坐标系中作出对数函数y＝log2x和一次函数y＝3－x的图像，如图所示．
观察图像可知，若log2x＝3－x，则x的取值在1与3之间，又知log22＝1,3－2＝1，故选C.
【例3－1】已知x1是方程x＋lg
x＝3的解，x2是方程x＋10x＝3的解，则x1＋x2＝( )．
A．6
B．3
C．2
D．1
解析：方程x＋lg
x＝3可化为lg
x＝3－x，方程x＋10x＝3可化为10x＝3－x.在同一直角坐标系中画出函数y＝lg
x，y＝10x和y＝3－x的图像，由于y＝lg
x与y＝10x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称．
又因为直线y＝3－x与y＝x垂直，由得，两直线的交点P的坐标为.由题意知，y＝lg
x与y＝3－x交点A的横坐标为x1，y＝10x与y＝3－x交点B的横坐标为x2.因为点A，B关于P对称，所以，由线段的中点坐标公式得，即x＋x2＝3.
答案：B
谈重点
线段AB的中点坐标公式
在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为.
【例3－2】若x2＜logmx在x∈内恒成立，求实数m的取值范围．
解：设y1＝x2，y2＝logmx.若x2＜logmx在x∈内恒成立，则0＜m＜1.两个函数的图像如图所示．
当时，.若两函数图像在处相交，则，
由得，即.
又x2＜logmx在x∈内恒成立，根据底数m对函数y＝logmx图像的影响可知，实数m的取值范围为.
【例3－3】方程2x＝x2有多少个实数根？
解：在同一直角坐标系中画出函数y＝2x和y＝x2的图像．
可以看出，在y轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x＞4时，指数函数y＝2x的增长快于幂函数y＝x2的增长，这就是说在x＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．