4.1 函数与方程 学案（含答案）
图片预览
文档简介
4.1 函数与方程
学案
1．函数零点的概念
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
谈重点
函数的零点与方程的解的关系
根据函数零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．因此，求函数的零点可以转化为求相应的方程的解；反之，若知道函数的零点，则可以直接写出函数对应的方程的实数解，也就是说，方程f(x)＝0有实数解函数f(x)的图像与x轴有交点函数f(x)有零点．所以，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数解，有几个实数解．以下是几个基本初等函数的零点情况：
(1)正比例函数y＝kx(k≠0)仅有一个零点0；
(2)反比例函数y＝(k≠0)没有零点；
(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)仅有一个零点－；
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＞0时，有两个零点；当Δ＝0时，仅有一个零点－；当Δ＜0时，没有零点；
(5)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)没有零点；
(6)对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)仅有一个零点1；
(7)幂函数y＝xn，当n＞0时，仅有一个零点0，当n≤0时，没有零点．
从上面可以看出，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；并非所有的函数都有零点．
【例1－1】函数f(x)＝x3－x的零点是( )．
A．0 B．0,1 C．0,1，－1 D．无穷多个
解析：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，由x3－x＝0得x(x＋1)(x－1)＝0，故x＝0或x＝－1或x＝1.因此，函数f(x)＝x3－x有3个零点，分别是0，－1,1.
答案：C
解技巧
如何求零点
求函数f(x)的零点时，可考虑解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的零点．方程f(x)＝0有解则函数有零点．方程f(x)＝0无解则函数无零点．
【例1－2】已知函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )．
A．a＜1
B．a＞1
C．a≥1
D．a≤1
解析：由函数的零点与方程的解的关系可知，若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，即Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.
答案：B
【例1－3】函数f(x)＝的零点个数为( )．
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：如图所示，因为函数f(x)＝与x轴有两个交点，所以此函数有两个零点．
答案：B
解技巧
零点个数的判断方法
除了用图像法判断分段函数零点的个数以外，还可通过解方程，根据方程实数解的个数作出判断．当x≤0时，由x2＋2x－3＝0得x＝－3或x＝1(舍去)；当x＞0时，由－2＋ln
x＝0得x＝e2，由此可知，函数f(x)的零点有两个，分别是－3，e2.
2．函数零点的存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
谈重点
如何理解函数零点的存在定理
1．当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0时，才能判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解，这两个条件缺一不可，也就是说，当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点，相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内可能有实数解，也可能没有实数解．例如，二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上图像连续，而f(－2)·f(4)＞0，但是函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]内有两个零点－1和3，相应的方程x2－2x－3＝0有两个实数解x＝－1或x＝3；又如，分段函数f(x)＝在区间[－1,1]上有f(－1)·f(1)＝(－4)×2＜0，但是其图像在区间[－1,1]上不连续，函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．
在这里所说的连续曲线是关于某个区间的，当f(a)f(b)＜0时，只要函数f(x)在[a，b]上的图像是连续曲线，则函数在(a，b)内就存在实数解．也就是说，“连续曲线”只要在区间[a，b]上满足即可．
2．函数零点的存在定理指出了函数零点和相应方程实数解的存在，并不能判断具体有多少个零点，多少个实数解．
【例2－1】函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在的区间为( )．
A．
B．
C．
D．(1,2)
解析：∵，＝－1＋1－1＝－1＜0，
f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1＞0，f(2)＝log22＋2×2－1＝1＋4－1＝4＞0，
∴.
∵f(x)＝log2x＋2x－1在区间上是增加的，
∴函数f(x)的图像在区间上是连续曲线．
∴f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在的区间为.
答案：C
【例2－2】已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内的实根情况是__________．
答案：有唯一实根
点拨：f(x)＝－x－x3的图像在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)＜0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．
解技巧
单调函数的零点
函数在区间[a，b]上的图像是一条连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在(a，b)上有且只有一个零点，方程f(x)＝0在(a，b)上有且只有一个实数解．
【例2－3】(1)指出方程x3－x－1＝0的根所在的大致区间．
(2)求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，一个在区间(1,2)内．
分析：可先画出方程对应函数的图像或通过多次验证区间端点处的函数值符号，或两者结合，寻找到方程的根所在的大致区间．
解：(1)方程x3－x－1＝0，即x3＝x＋1，
令F(x)＝x3－x－1，f(x)＝x3，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图，显然它们只有1个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1＜0，F(2)＝5＞0，
∴方程x3－x－1＝0的根在区间(1,2)内．
(2)令F(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，且与x轴最多有3个交点．
∵F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，
F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，
∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，
F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，
∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．
析规律
判断方程的根所在区间的几种途径
对于如何判断方程的根所在的大致区间问题，常有以下三种思考途径：
途径一：对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值是否反号；若反号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．
途径二：画图法，若F(x)＝0对应函数y＝F(x)比较简单，其图像容易画出，就可以观察图像与x轴相交的点的位置，交点横坐标就是方程F(x)＝0的解，从而得到F(x)＝0的根所在大致区间；若函数y＝F(x)的图像不容易画出，则将F(x)＝0变形为f(x)＝g(x)的形式，且y＝f(x)与y＝g(x)较容易画出图像，它们交点的横坐标就是F(x)＝0的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案．
途径三：将途径二与途径一结合，从形与数两个方面共同完成这一问题，变得轻松容易．
3．利用二分法求方程的近似解
(1)二分法的概念
假设在区间[a，b]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0.通过每次取函数f(x)的零点所在区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
(2)用二分法求方程近似解的步骤
我们知道，绝大部分方程没有求解公式．其实，在许多实际应用中，也不需要求出精确的解，只要满足一定的精度就可以了．设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|＜ε，就称x0是满足精度ε的近似解．为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，使得区间长度b－a≤ε，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．用二分法求方程实数解的过程用自然语言表述如下：
(1)在定义域内取一个闭区间[a，b]，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)并判断：
①如果f(c)＝0，则c就是函数f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a)·f(c)＜0，则零点位于区间(a，c)中；
③如果f(c)·f(b)＜0，则零点位于区间(c，b)中．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－c|＜ε(或|b－c|＜ε)，则得到零点的近似值为区间(a，c)(或(c，b))内的任意一个数，否则继续重复以上(2)～(4)．
按照给定的精度，用二分法求方程近似解的过程也可以用右图表示出来．
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.
谈重点
二分法思想的理解
在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试验估计．初始区间可以选得不同，不影响最终计算结果，只是取不同的初始区间其计算有繁简之分．
二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施，这就需要借助于科学计算器等．另外，为了更清楚地发现方程近似解所在的区间，最好是将各区间的端点、各端点处的函数值以及区间长度列在一个表格中．
【例3－1】给出以下函数的图像，其中不能用二分法求函数零点的是( )．
解析：观察图像可知，在选项B中，不存在一个闭区间[a，b]，使f(a)·f(b)＜0，即f(a)与f(b)异号，所以它不能用二分法求函数零点．
答案：B
解技巧
用二分法求函数零点的依据
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值反号．
【例3－2】用二分法计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值，其参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)＝0.162
f(1.406
25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( )．
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
解析：首先根据函数值的正负，确定方程的一个正实数解x0所在的区间．因为f(1)＜0，f(1.5)＞0，则x0∈(1,1.5)；又f(1.25)＜0，则x0∈(1.25,1.5)；又f(1.375)＜0，则x0∈(1.375，1.5)；又f(1.437
5)＞0，则x0∈(1.375,1.437
5)，此时区间长度为0.062
5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解．所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解为1.4.
答案：C
析规律
终止计算的条件
用二分法求方程的近似解，终止计算的条件是区间(a，b)的长度b－a不大于精度ε.
【例3－3】用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线应填上的内容为( )．
A．(0,0.5) f(0.125)
B．(0,1) f(0.5)
C．(0.5,1) f(0.75)
D．(0,0.5) f(0.25)
解析：由f(0)＜0，f(0.5)＞0可知，函数f(x)＝x2＋3x－1在(0,0.5)内有零点，应用二分法取区间(0,0.5)的中点0.25，再计算f(0.25)，以逐步缩小函数的零点所在的区间，故选D.
答案：D
【例3－4】方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明你的结论吗？如果方程有解，求出它的近似解．(精确度为0.1)
解：考察函数f(x)＝x5＋x－3，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝31＞0，函数f(x)的图像是连续曲线，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)上至少有一个零点．
又∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)内有唯一一个零点，即方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解．
用二分法得到方程x5＋x－3＝0的有解区间如下表．
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
1
－1
2
31
1
第2次
1
－1
1.5
6.093
8
0.5
第3次
1
－1
1.25
1.301
8
0.25
第4次
1.125
－0.073
0
1.25
1.301
8
0.125
第5次
1.125
－0.073
0
1.187
5
0.548
9
0.062
5
至此，我们得到区间[1.125,1.187
5]的区间长度为0.062
5，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x5＋x－3＝0的近似解．例如，我们选取1.15作为方程x5＋x－3＝0的一个近似解．
解技巧
初始区间的选择
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.其次要依据给定的精度，及时检验所得区间长度是否小于或等于精度ε，以决定是停止计算还是继续计算．
4．一元二次方程根的分布问题
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想，一般要考虑四个因素：①二次项的系数；②判别式；③对称轴；④区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解决．
(1)一元二次方程根的零分布
所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2
①x1＞0，x2＞0
②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2＜0.
④x1＝0，x2＞0c＝0，且；x1＜0，x2＝0c＝0，且.
(2)一元二次方程的根的k分布
研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：
①一元二次方程根的判别式．
②对应二次函数区间端点，函数值的正负．
③对应二次函数图像——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论.
根的分布
图像
等价条件
x1≤x2＜k
k＜x1≤x2
x1＜k＜x2
f(k)＜0
x1，x2∈(k1，k2)
x1，x2中有且仅有一个在(k1，k2)内
f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，或f(k2)＝0，
【例4－1】已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1图像的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，
直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．
(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，
∴抛物线过点(0,1)．
若m＜0，f(x)的开口向下，如图①所示．
二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．
若m＞0，f(x)的开口向上，如图②所示．
要使函数的零点在原点右侧，当且仅当0＜m≤1.
综上所述，所求m的取值范围是(－∞，1]．
【例4－2】已知关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)，求实数a的取值范围．
解：∵关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)，
∴函数f(x)＝3x2－5x＋a有两个零点x1，x2，且x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)．
由二次函数f(x)＝3x2－5x＋a的图像可得即
解得－12＜a＜0.∴实数a的取值范围是(－12,0)．
【例4－3】关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时，
(1)方程有一根；
(2)两根都大于1；
(3)一根大于1，一根小于1
解：(1)当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即符合题意；
当a≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，
则Δ＝12a＋4＝0，解得，
综上可知，当a＝0或时，关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有一根．
(2)方程两根都大于1，图像大致如下图，所以必须满足：
或解得a∈.
所以不存在实数a，使方程两根都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图像大致如下图．
所以必须满足或解得a＞0.
5．二分法的实际应用
二分法在实际生活中有非常广泛的应用，它不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询、辨别真伪等．体会理解二分法的思想是本节的重点，也是高考的要求．其基本思想是通过“取中点”的方法即每次“一分为二”地逐步缩小研究的范围，使问题得到解决．
【例5】在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：你最少称________次就一定可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次就一定可以发现这枚假币．
答案：4
学案
1．函数零点的概念
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
谈重点
函数的零点与方程的解的关系
根据函数零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．因此，求函数的零点可以转化为求相应的方程的解；反之，若知道函数的零点，则可以直接写出函数对应的方程的实数解，也就是说，方程f(x)＝0有实数解函数f(x)的图像与x轴有交点函数f(x)有零点．所以，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数解，有几个实数解．以下是几个基本初等函数的零点情况：
(1)正比例函数y＝kx(k≠0)仅有一个零点0；
(2)反比例函数y＝(k≠0)没有零点；
(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)仅有一个零点－；
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＞0时，有两个零点；当Δ＝0时，仅有一个零点－；当Δ＜0时，没有零点；
(5)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)没有零点；
(6)对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)仅有一个零点1；
(7)幂函数y＝xn，当n＞0时，仅有一个零点0，当n≤0时，没有零点．
从上面可以看出，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；并非所有的函数都有零点．
【例1－1】函数f(x)＝x3－x的零点是( )．
A．0 B．0,1 C．0,1，－1 D．无穷多个
解析：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，由x3－x＝0得x(x＋1)(x－1)＝0，故x＝0或x＝－1或x＝1.因此，函数f(x)＝x3－x有3个零点，分别是0，－1,1.
答案：C
解技巧
如何求零点
求函数f(x)的零点时，可考虑解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的零点．方程f(x)＝0有解则函数有零点．方程f(x)＝0无解则函数无零点．
【例1－2】已知函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )．
A．a＜1
B．a＞1
C．a≥1
D．a≤1
解析：由函数的零点与方程的解的关系可知，若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，即Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.
答案：B
【例1－3】函数f(x)＝的零点个数为( )．
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：如图所示，因为函数f(x)＝与x轴有两个交点，所以此函数有两个零点．
答案：B
解技巧
零点个数的判断方法
除了用图像法判断分段函数零点的个数以外，还可通过解方程，根据方程实数解的个数作出判断．当x≤0时，由x2＋2x－3＝0得x＝－3或x＝1(舍去)；当x＞0时，由－2＋ln
x＝0得x＝e2，由此可知，函数f(x)的零点有两个，分别是－3，e2.
2．函数零点的存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
谈重点
如何理解函数零点的存在定理
1．当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0时，才能判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解，这两个条件缺一不可，也就是说，当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点，相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内可能有实数解，也可能没有实数解．例如，二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上图像连续，而f(－2)·f(4)＞0，但是函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]内有两个零点－1和3，相应的方程x2－2x－3＝0有两个实数解x＝－1或x＝3；又如，分段函数f(x)＝在区间[－1,1]上有f(－1)·f(1)＝(－4)×2＜0，但是其图像在区间[－1,1]上不连续，函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．
在这里所说的连续曲线是关于某个区间的，当f(a)f(b)＜0时，只要函数f(x)在[a，b]上的图像是连续曲线，则函数在(a，b)内就存在实数解．也就是说，“连续曲线”只要在区间[a，b]上满足即可．
2．函数零点的存在定理指出了函数零点和相应方程实数解的存在，并不能判断具体有多少个零点，多少个实数解．
【例2－1】函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在的区间为( )．
A．
B．
C．
D．(1,2)
解析：∵，＝－1＋1－1＝－1＜0，
f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1＞0，f(2)＝log22＋2×2－1＝1＋4－1＝4＞0，
∴.
∵f(x)＝log2x＋2x－1在区间上是增加的，
∴函数f(x)的图像在区间上是连续曲线．
∴f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在的区间为.
答案：C
【例2－2】已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内的实根情况是__________．
答案：有唯一实根
点拨：f(x)＝－x－x3的图像在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)＜0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．
解技巧
单调函数的零点
函数在区间[a，b]上的图像是一条连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在(a，b)上有且只有一个零点，方程f(x)＝0在(a，b)上有且只有一个实数解．
【例2－3】(1)指出方程x3－x－1＝0的根所在的大致区间．
(2)求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，一个在区间(1,2)内．
分析：可先画出方程对应函数的图像或通过多次验证区间端点处的函数值符号，或两者结合，寻找到方程的根所在的大致区间．
解：(1)方程x3－x－1＝0，即x3＝x＋1，
令F(x)＝x3－x－1，f(x)＝x3，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图，显然它们只有1个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1＜0，F(2)＝5＞0，
∴方程x3－x－1＝0的根在区间(1,2)内．
(2)令F(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，且与x轴最多有3个交点．
∵F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，
F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，
∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，
F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，
∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．
析规律
判断方程的根所在区间的几种途径
对于如何判断方程的根所在的大致区间问题，常有以下三种思考途径：
途径一：对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值是否反号；若反号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．
途径二：画图法，若F(x)＝0对应函数y＝F(x)比较简单，其图像容易画出，就可以观察图像与x轴相交的点的位置，交点横坐标就是方程F(x)＝0的解，从而得到F(x)＝0的根所在大致区间；若函数y＝F(x)的图像不容易画出，则将F(x)＝0变形为f(x)＝g(x)的形式，且y＝f(x)与y＝g(x)较容易画出图像，它们交点的横坐标就是F(x)＝0的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案．
途径三：将途径二与途径一结合，从形与数两个方面共同完成这一问题，变得轻松容易．
3．利用二分法求方程的近似解
(1)二分法的概念
假设在区间[a，b]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0.通过每次取函数f(x)的零点所在区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
(2)用二分法求方程近似解的步骤
我们知道，绝大部分方程没有求解公式．其实，在许多实际应用中，也不需要求出精确的解，只要满足一定的精度就可以了．设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|＜ε，就称x0是满足精度ε的近似解．为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，使得区间长度b－a≤ε，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．用二分法求方程实数解的过程用自然语言表述如下：
(1)在定义域内取一个闭区间[a，b]，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)并判断：
①如果f(c)＝0，则c就是函数f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a)·f(c)＜0，则零点位于区间(a，c)中；
③如果f(c)·f(b)＜0，则零点位于区间(c，b)中．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－c|＜ε(或|b－c|＜ε)，则得到零点的近似值为区间(a，c)(或(c，b))内的任意一个数，否则继续重复以上(2)～(4)．
按照给定的精度，用二分法求方程近似解的过程也可以用右图表示出来．
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.
谈重点
二分法思想的理解
在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试验估计．初始区间可以选得不同，不影响最终计算结果，只是取不同的初始区间其计算有繁简之分．
二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施，这就需要借助于科学计算器等．另外，为了更清楚地发现方程近似解所在的区间，最好是将各区间的端点、各端点处的函数值以及区间长度列在一个表格中．
【例3－1】给出以下函数的图像，其中不能用二分法求函数零点的是( )．
解析：观察图像可知，在选项B中，不存在一个闭区间[a，b]，使f(a)·f(b)＜0，即f(a)与f(b)异号，所以它不能用二分法求函数零点．
答案：B
解技巧
用二分法求函数零点的依据
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值反号．
【例3－2】用二分法计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值，其参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)＝0.162
f(1.406
25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( )．
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
解析：首先根据函数值的正负，确定方程的一个正实数解x0所在的区间．因为f(1)＜0，f(1.5)＞0，则x0∈(1,1.5)；又f(1.25)＜0，则x0∈(1.25,1.5)；又f(1.375)＜0，则x0∈(1.375，1.5)；又f(1.437
5)＞0，则x0∈(1.375,1.437
5)，此时区间长度为0.062
5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解．所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解为1.4.
答案：C
析规律
终止计算的条件
用二分法求方程的近似解，终止计算的条件是区间(a，b)的长度b－a不大于精度ε.
【例3－3】用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线应填上的内容为( )．
A．(0,0.5) f(0.125)
B．(0,1) f(0.5)
C．(0.5,1) f(0.75)
D．(0,0.5) f(0.25)
解析：由f(0)＜0，f(0.5)＞0可知，函数f(x)＝x2＋3x－1在(0,0.5)内有零点，应用二分法取区间(0,0.5)的中点0.25，再计算f(0.25)，以逐步缩小函数的零点所在的区间，故选D.
答案：D
【例3－4】方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明你的结论吗？如果方程有解，求出它的近似解．(精确度为0.1)
解：考察函数f(x)＝x5＋x－3，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝31＞0，函数f(x)的图像是连续曲线，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)上至少有一个零点．
又∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)内有唯一一个零点，即方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解．
用二分法得到方程x5＋x－3＝0的有解区间如下表．
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
1
－1
2
31
1
第2次
1
－1
1.5
6.093
8
0.5
第3次
1
－1
1.25
1.301
8
0.25
第4次
1.125
－0.073
0
1.25
1.301
8
0.125
第5次
1.125
－0.073
0
1.187
5
0.548
9
0.062
5
至此，我们得到区间[1.125,1.187
5]的区间长度为0.062
5，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x5＋x－3＝0的近似解．例如，我们选取1.15作为方程x5＋x－3＝0的一个近似解．
解技巧
初始区间的选择
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.其次要依据给定的精度，及时检验所得区间长度是否小于或等于精度ε，以决定是停止计算还是继续计算．
4．一元二次方程根的分布问题
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想，一般要考虑四个因素：①二次项的系数；②判别式；③对称轴；④区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解决．
(1)一元二次方程根的零分布
所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2
①x1＞0，x2＞0
②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2＜0.
④x1＝0，x2＞0c＝0，且；x1＜0，x2＝0c＝0，且.
(2)一元二次方程的根的k分布
研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：
①一元二次方程根的判别式．
②对应二次函数区间端点，函数值的正负．
③对应二次函数图像——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论.
根的分布
图像
等价条件
x1≤x2＜k
k＜x1≤x2
x1＜k＜x2
f(k)＜0
x1，x2∈(k1，k2)
x1，x2中有且仅有一个在(k1，k2)内
f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，或f(k2)＝0，
【例4－1】已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1图像的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，
直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．
(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，
∴抛物线过点(0,1)．
若m＜0，f(x)的开口向下，如图①所示．
二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．
若m＞0，f(x)的开口向上，如图②所示．
要使函数的零点在原点右侧，当且仅当0＜m≤1.
综上所述，所求m的取值范围是(－∞，1]．
【例4－2】已知关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)，求实数a的取值范围．
解：∵关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)，
∴函数f(x)＝3x2－5x＋a有两个零点x1，x2，且x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)．
由二次函数f(x)＝3x2－5x＋a的图像可得即
解得－12＜a＜0.∴实数a的取值范围是(－12,0)．
【例4－3】关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时，
(1)方程有一根；
(2)两根都大于1；
(3)一根大于1，一根小于1
解：(1)当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即符合题意；
当a≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，
则Δ＝12a＋4＝0，解得，
综上可知，当a＝0或时，关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有一根．
(2)方程两根都大于1，图像大致如下图，所以必须满足：
或解得a∈.
所以不存在实数a，使方程两根都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图像大致如下图．
所以必须满足或解得a＞0.
5．二分法的实际应用
二分法在实际生活中有非常广泛的应用，它不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询、辨别真伪等．体会理解二分法的思想是本节的重点，也是高考的要求．其基本思想是通过“取中点”的方法即每次“一分为二”地逐步缩小研究的范围，使问题得到解决．
【例5】在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：你最少称________次就一定可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次就一定可以发现这枚假币．
答案：4