4.1.1 方程的根与函数的零点 学案2（含答案）

4.1.1方程的根与函数的零点
学案
1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.
2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围问题.
一个小朋友画了两幅图:
图1
图2
问题1:　　　　说明此小朋友曾经渡过河;但应注意对于　　　　,无法判断此小朋友是否渡过河.
问题2:(1)对于函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数,不是点.
(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当　　　　时,有两个零点;当Δ=0时,有　　　　零点;当　　　　时,没有零点.
问题3:(1)函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标之间的关系:函数y=f(x)的　　　　就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的　　　　;
(2)方程f(x)=0根的情况可以用函数的图像来讨论,事实上,方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
问题4:(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是　　　　　　　　,并且有　　　　　　,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
(2)当函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件时,存在零点,至少有一个.
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)f(b)与0的关系是怎样的 请举例说明.
①②③如下图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.
1.函数y=x2-2x-3的零点是(　　).
A.(-1,0),(3,0)
　　　　　B.x=-1　　　　　　C.x=3　　　　　　D.-1和3
2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(　　).
A.a<1
B.a>1
C.a≤1
D.a≥1
3.观察函数y=f(x)的图像,则f(x)在区间[a,b]上　　　　(填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)　　　　0(填“<”或“>”),在区间[b,c]上　　　　(填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c)　　　　0(填“<”或“>”),在区间[c,d]上　　　　(填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d)　　　　0(填“<”或“>”).

4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么
利用零点的概念求零点
判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=x2+2x+4;
(3)f(x)=2x-3;
(4)f(x)=1-log3x.
零点个数的判断
判断函数f(x)=ln
x+x2-3的零点的个数.
零点所在区间的判断
函数f(x)=lg
x-的零点所在的大致区间是(　　).
A.(6,7)　　
B.(7,8)
C.(8,9)
D.(9,10)
下列函数中存在两个零点的是(　　).
A.f(x)=2x-2
B.f(x)=lg(x2-2)
C.f(x)=x2-2x+1
D.f(x)=ex-1-2
判断函数f(x)=x2-的零点的个数.
方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根(　　).
A.(-2,-1)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(-1,0)
1.下列图像表示的函数中没有零点的是(　　).
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
123.56
21.45
-7.82
11.57
-53.76
-126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　).
A.2个　
B.3个
C.4个
D.5个
3.函数f(x)为偶函数,其图像与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为　　　　.
4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.
(2013年·重庆卷)若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
考题变式(我来改编):




答案
第四章　函数与方程
4.1.1　方程的根与函数的零点
知识体系梳理
问题1:图1　图2
问题2:(1)f(x)=0　(2)Δ>0　一个　Δ<0
问题3:(1)零点　横坐标
问题4:(1)连续不断的一条曲线　f(a)·f(b)<0
基础学习交流
1.D　由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.
2.C　函数f(x)=x2+2x+a没有零点,即方程x2+2x+a=0没有实数根,所以Δ=4-4a≥0,得a≤1.
3.有　<　有　<　有　<　根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,c也就是这个方程f(x)=0的根”来解答.
4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-<0,
f(0)=20-02=1>0,
而函数f(x)=2x-x2的图像是连续曲线,
所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3.
(2)令x2+2x+4=0,由于Δ=22-4×1×4=-12<0,
所以方程x2+2x+4=0无实数根,
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(3)令2x-3=0,解得x=log23,
所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
(4)令1-log3x=0,解得x=3,
所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.
探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln
x+x2-3=0,即为函数y=ln
x与y=3-x2的图像交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图像.如图,两函数图像有一个交点.从而ln
x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln
x+x2-3有一个零点.
(法二)由于f(1)=ln
1+12-3=-2<0,
f(2)=ln
2+22-3=ln
2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln
x+x2-3在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴零点只有一个.
【小结】判断函数零点个数的主要方法:
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点;
(2)画出函数y=f(x)的图像,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;
(3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;
(4)转化成两个函数图像的交点问题.
　　探究三:【解析】∵f(6)=lg
6-=lg
6-<0,f(7)=lg
7-<0,f(8)=lg
8-<0,
f(9)=lg
9-1<0,f(10)=lg
10->0,
∴f(9)·f(10)<0,
∴f(x)=lg
x-的零点所在的大致区间为(9,10).
【答案】D
【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤:
(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.
(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点;若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
思维拓展应用
应用一:B　A中零点为1;B中零点为±;C中零点为1;D中零点为1+ln
2,故选B.
应用二:
由x2-=0,得x2=.
令h(x)=x2(x≠0),g(x)=,
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图像,由图可知两函数图像只有一个交点.
故函数f(x)=x2-只有一个零点.
应用三:D　令f(x)=2x+x,∵f(-1)·f(0)=(-)×1<0,∴f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根.
基础智能检测
1.A　观察图像可知A中图像表示的函数没有零点.
2.B　∵f(2)·f(3)<0,∴f(x)在[2,3]上至少有一个零点,同理f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故在[3,4],[4,5]上都存在零点,∴f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个,故选B.
3.0　因为f(x)为偶函数,所以其零点互为相反数,故四个零点之和为0.
4.解:由题意,设f(x)=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,
则解得
令f(x)=0,即(x-1)(x2-x-6)=0 (x-1)(x-3)(x+2)=0,解得x=-2,1,3.
∴函数f(x)的其他零点是-2,3.
全新视角拓展
A　因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.
思维导图构建
实数x　x轴　零点　连续不间断　f(a)·f(b)<0