章末综合测评(二) 函数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是( )
A．
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
B．
C．y＝x2
D．(x＋y)(x－y)＝0
2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( )
A．f (x)＝，g(x)＝x－1
B．f (x)＝，g(x)＝()2
C．f (x)＝x2－2，g(t)＝t2－2
D．f (x)＝·，g(x)＝
3．函数f (x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
C．[1，3]
D．(1，3)
4．已知函数f (x)＝则f (2)的值等于( )
A．4 B．3
C．2 D．无意义
5．已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (－1)＋g(1)＝2，f (1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．已知f (x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是单调递减的，则a的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，1]
C．(－1，0)∪(0，1) D．[－1，0)∪(0，1]
7．已知定义域为R的函数f (x)在区间(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则( )
A．f (2)>f (3) B．f (2)>f (5)
C．f (3)>f (5) D．f (3)>f (6)
8．设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的值域是[－2，2]，则函数f (x＋1)的值域为[－3，1]
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．定义域和值域分别相同的两个函数为同一个函数
D．函数f (x)的定义域是[－2，2]，则函数f (x＋1)的定义域为[－3，1]
10．有下列几个命题，其中正确的是( )
A．函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增
B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上单调递减
C．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f (x)＝2x＋3
11．定义在R上的奇函数f (x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式正确的是( )
A．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
B．f (b)－f (－a)
C．f (a)－f (－b)>g(b)－g(－a)
D．f (a)－f (－b)三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________．
13．若函数f (x)＝x3＋(b－1)x2＋x是定义在[2a，1－a]上的奇函数，则a＋b＝________．
14．已知函数f (x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R．
(1)若函数f (x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f (x)在[－1，1]上与x轴有交点，则实数a的取值范围为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f (x)＝x＋，且f (1)＝3．
(1)求m的值；
(2)判断函数f (x)的奇偶性．
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝1－．
(1)若g(x)＝f (x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
17．(本小题满分15分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f (f (4))的值及f (x)的解析式；
(2)若f (x)＝，求自变量x的值．
18．(本小题满分17分)已知函数f (x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，求f (x)的定义域；
(2)若f (x)在区间(0，1]上单调递减，求实数a的取值范围．
19．(本小题满分17分)已知函数y＝x＋有如下性质：若常数t>0，则该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
(1)已知f (x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f (x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f (x1)成立，求实数a的值．
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1．D [A、B、C符合函数的定义，能表示y是x的函数，而D中x，y满足y2＝x2，对于一个x值，有两个y值和其对应，因此，不能表示y是x的函数，故选D．]
2．C [对于A，f(x)＝，g(x)＝x－1的定义域不同，化简后对应关系相同，不是同一个函数；
对于B，f(x)＝，g(x)＝()2的定义域不同，对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，f(x)＝x2－2，g(t)＝t2－2的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数；
对于D，f(x)＝·，g(x)＝的定义域不同，化简后对应关系相同，不是同一个函数．故选C．]
3．C [由－x2＋4x－3≥0得x2－4x＋3≤0，
解得1≤x≤3，故选C．]
4．C [∵f(x)＝
∴f(2)＝f(5)＝＝2．故选C．]
5．B [∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2． ①
∵f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4． ②
由①②，得g(1)＝3．]
6．B [f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
其单调递减区间为[a，＋∞)，f(x)在区间[1，2]上单调递减，则a≤1．
又g(x)＝在区间[1，2]上单调递减，则a>0．
综上可得，07．D [∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)．令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，
同理，f(3)＝f(5)．又知f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
∵5<6，∴f(5)>f(6)，∴f(2)f(6)．故选D．]
8．B [法一：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝，f(x＋1)＝．
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称．故选B．
法二：f(x)＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B．]
9．BD [由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，A错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，B正确；如果两个函数的对应关系不相同，则不为同一个函数，C错误；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选BD．]
10．AD [由y＝2x2＋x＋1＝2＋在上单调递增知，函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是单调递减的，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是单调递减的，如－2<0，但<，故B错误；y＝在[－2，－1)上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，因为g(x)为奇函数，所以f (x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．故选AD．]
11．AC [∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)．∵a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，g(a)>g(b)>g(0)＝0，且f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴A正确，B不正确；又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)<0，而f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)>0，∴C正确，D不正确．故选AC．]
12．－4 [∵y＝在区间[2，4]上单调递减，y＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴f(x)最大值＝f(2)＝－3×2＝－4．]
13．0 [由题意知
∴a＋b＝0．]
14．(1)(1，＋∞) (2)[－8，0] [(1)∵f(x)的图象与x轴无交点，
∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)∵函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∴f(x)在[－1，1]上为减函数，
∴要使f(x)在[－1，1]上与x轴有交点，
需满足
∴－8≤a≤0，即实数a的取值范围为[－8，0]．]
15．解：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2．
(2)由(1)知，f (x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，又∵f (－x)＝－x－
＝－＝－f (x)，∴此函数是奇函数．
16．解：(1)由已知g(x)＝f (x)－a，得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1．
(2)函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
任取0＝1－＝．
因为00，
从而<0，即f (x1)所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
17．解：(1)根据图象可知f(4)＝0，
则f(f(4))＝f(0)＝1．
设直线段对应的方程为y＝kx＋b，－1≤x≤0．
将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，
即y＝x＋1，－1≤x≤0．
当x>0时，设y＝ax2＋bx＋c．
由图象得
解得
所以y＝x2－x．
所以f(x)＝
(2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意；
当x2－x＝时，解得x＝2＋或x＝2－(舍去)．
故x的值为－或2＋．
18．解：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f (x)的定义域是．
(2)当a－1>0，即a>1时，要使f (x)在(0，1]上单调递减，则需3－a×1≥0，此时1当a－1<0，即a<1时，要使f (x)在(0，1]上单调递减，则需－a>0，且3－a×1≥0，此时a<0．
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，3]．
19．解：(1)y＝f (x)＝＝2x＋1＋－8．设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f (x)为减函数，所以f (x)的单调递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f (x)为增函数，所以f (x)的单调递增区间为．
由f (0)＝－3，f ＝－4，f (1)＝－，得f (x)的值域为[－4，－3]．
(2)因为g(x)＝－x－2a在[0，1]上单调递减，
所以g(x)∈[－1－2a，－2a]．
由题意，得f (x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以解得a＝．
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