4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 同步测试（含答案）

4.1.1
利用函数性质判定方程解的存在
学案
一、选择题
1．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[答案]　C
[解析]　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
2．下列函数中能用二分法求零点的是(　　)
[答案]　C
[解析]　从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不能运用二分法．故选C.
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1(a≠0)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>－9且a≠0
B．a>－9
C．a<－9
D．a>0或a<0
[答案]　A
[解析]　由题意可知f(x)＝0有两个根，
∴，
∴a>－9且a≠0.
4．已知函数f(x)＝2ax＋4，若在区间[－2,1]上存在零点x0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
B．[－1,2]
C．[－1,4]
D．[－2,1]
[答案]　A
[解析]　由题设条件知f(－2)·f(1)≤0，
∴(－4a＋4)(2a＋4)≤0，
即(－a＋1)(a＋2)≤0，
∴a≤－2或a≥1.
5．函数f(x)是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)
A．可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
[答案]　C
[解析]　∵f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－)·f()<0，
∴f(x)＝0在[－，]上有唯一实根，
∴f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实根．
6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是(　　)
A．f(x)＝3x2－4x＋5
B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6
D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案]　D
[解析]　对于A：f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)>0，无法判断f(x)在[1,2]上是否有零点；
对于B：f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)>0，同选项A一样，无法判断；
对于C：f(1)＝3，f(2)＝ln2，f(1)·f(2)>0，同选项A、B一样，无法判断；
对于D：f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在[1,2]上有零点．
二、填空题
7．已知f(x)＝mx2＋(4m＋1)x＋4m－1的图像与x轴没有交点，则m的取值范围为__________．
[答案]　m<－
[解析]　函数f(x)的图像与x轴没有交点，即函数f(x)没有零点，亦即方程f(x)＝0没有实根，显然m≠0，故判别式Δ＝(4m＋1)2－4m(4m－1)<0，解得m<－.
故当m<－时，函数f(x)的图像与x轴无交点．
8．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内的实根情况是________．
[答案]　有唯一实根
[解析]　f(x)＝－x－x3图像在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)<0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．
三、解答题
9．指出方程2x－＝0存在的实数解，并给出一个实数解的存在区间．
[解析]　令f(x)＝2x－，在同一坐标系中，分别作出函数y＝2x及y＝的图像，如图所示，由图可知方程2x＝仅有一个实数解，即f(x)仅有一个零点．
又f()＝－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，
即f()f(1)<0，
∴方程2x－＝0在(，1)内仅有一个实数解.
能
力
提
升
一、选择题
1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，
∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(2，＋∞)
D．(0,1)∪(1,2)
[答案]　A
[解析]　令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．
(1)当a>1时，y1＝ax过(0,1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．
(2)当0∴a的取值范围为a>1.
二、填空题
3．关于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则m的范围为________．
[答案]　m≤1
[解析]　①m＝0时，x＝－适合题意．
②m≠0时，应有m<0或
解得m<0或04．方程lgx＋x＝0的实数解的存在区间为________．
[答案]　(，1)
[解析]　令f(x)＝lgx＋x，则f()＝lg＋＝－<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.
∴f()f(1)<0.而f(x)＝lgx＋x在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)仅有一个零点，且在(，1)内．
三、解答题
5．设函数f(x)＝ax＋2a＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围．
[解析]　因为函数f(x)在[－1,1]上存在零点，
所以或.
即f(－1)·f(1)≤0.
所以(－a＋2a＋1)·(a＋2a＋1)≤0，
即(a＋1)(3a＋1)≤0.解得－1≤a≤－.
6．若二次函数y＝－x2＋mx－1的图像与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
[解析]　线段AB的方程为x＋y＝3(0≤x≤3)，由题意得方程组
，
有两组实解，将①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)有两个实根，
令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，在x∈[0,3]上有两个实根，有
解得3故m的取值范围是(3，]．
7．(1)指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致区间；
(2)求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)．
[分析]　解答本题的关键是寻找合适的a、b使得f(a)·f(b)<0.
[解析]　(1)方程x3－2x－1＝0，即x3＝2x＋1，令F(x)＝x3－2x－1，f(x)＝x3，g(x)＝2x＋1在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)和g(x)的图像如图，显然它们
在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又∵F(1)＝－2<0，F(2)＝3>0，
∴方程的正根在区间(1,2)内．
(2)证明：令G(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，
又G(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，
G(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，
∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证G(0)·G(1)＝1×(－1)＝－1<0，
G(1)·G(2)＝(－1)×3＝－3<0，
∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．