4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 学案2（无答案）

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
学案
自学导引
给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？
问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？
问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
新知自解
1．函数的零点
(1)函数的零点：函数y＝f(x)的
与
称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程
的解．
2．零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是
，并且在区间端点的函数值
，即
，则在(a，b)内，函数y＝f(x)
零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．
1．方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2．f(a)·f(b)<0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2)．
分别有4个零点和1个零点．
3．函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，却不一定推出f(a)·f(b)<0如图．
把握热点考向
高频考点题组化
考点一
求函数的零点
[例1]　求下列函数的零点．
(1)y＝－x2－x＋20；
(2)f(x)＝x4－1.
[思路点拨]　先因式分解，再确定函数的零点．
[一点通]　
求函数的零点常用方法是解方程：
(1)一元二次方程可用求根公式求解．
(2)高次方程可用因式分解法求根．
题组集训
1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
2．讨论函数y＝－(ax＋3)(x－1)的零点．
考点二
零点个数的判断
[例2]　判断下列函数有几个零点？
(1)y＝ex＋2x－6；
(2)y＝log2x－x＋2.
[思路点拨]　借助函数的单调性和图像解答．
[一点通]　
判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
题组集训
3．函数f(x)＝x－的零点有(　　)
A．0个　　　　　　　　　
B．1个
C．2个
D．无数个
4．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)
A．可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
5．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，且f(6)<1，则f(x)＝1的根的个数为________．
答案：1
考点三
函数零点的应用
[例3]　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？
[思路点拨]　当a＝0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．
[一点通]　
解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
(2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系．
(3)写出由题意得到的不等式．
(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意．这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．
如f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)，且k1则
题组集训
6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
7．若把例题改为“方程的所有根为正数，求a的取值范围”应如何处理？
1．判断函数零点个数的方法有以下几种
(1)转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次函数零点问题．
(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点．
(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定．
(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．
2．函数的零点的作用
(1)解决根的分布问题．
(2)已知零点的存在，求字母的范围．
3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑
(1)二次函数的开口方向．
(2)判别式．
(3)对称轴．
(4)特殊点对应的函数值．