4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 学案3（含答案）

4.1.1
利用函数性质判定方程解的存在
学案
课标解读
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3．能结合图像求解零点问题．(难点)
知识点
函数的零点及判定定理
【问题导思】　
给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：
1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
【提示】　方程的根为－3,1.
2．函数的图像与x轴的交点是什么？
【提示】　交点为(－3,0)，(1,0)．
3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？
【提示】　相等．
4．通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
【提示】　在每一点两侧函数值符号异号．
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．
2．函数零点的判定定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.
(见学生用书第63页)
类型一
求函数的零点
　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝3x－9；(4)f(x)＝1－log3x.
【思路探究】　求函数y＝f(x)的零点，即求方程f(x)＝0的根．因此令f(x)＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．
【自主解答】　(1)因为方程＝0无实数解，所以函数f(x)＝无零点．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令3x－9＝0，则3x＝9即3x＝32，则x＝2，所以函数f(x)＝3x－9的零点是2.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
1．求函数y＝f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的实数解就是函数f(x)的零点，否则函数f(x)不存在零点．
2．求函数y＝f(x)的零点通常有两种办法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
(1)函数f(x)＝4x－16的零点为________．
(2)函数f(x)＝x－的零点的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【解析】　(1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得
x＝2，所以函数的零点为x＝2.
(2)令f(x)＝0，即x－＝0，
∴x＝±2，故有两个．
【答案】　(1)x＝2　(2)C
类型二
判断零点所在区间
　在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(－，0)　　　　　　B．(0，)
C．(，)
D．(，)
【思路探究】　依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解．
【自主解答】　∵f()＝－2<0，
f()＝－1>0，
∴零点在(，)上．
【答案】　C
1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．
　函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2)　　　　　　　B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e,3)
【解析】　∵f(2)＝ln
2－1<0，
f(3)＝ln
3－>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有零点．
【答案】　B
类型三
函数零点的应用
　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
【思路探究】　分a＝0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．
【自主解答】　(1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
(2)当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴即
解得(3)当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝<0，
x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为(，1)．
解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：
1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
2．结合草图考虑三个方面：
(1)Δ与0的大小；
(2)对称轴与所给端点值的关系；
(3)端点的函数值与零的关系．
3．写出由题意得到的不等式．
4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．
　设函数f(x)＝ax＋3a＋1(a≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围．
【解】　∵f(x)＝ax＋3a＋1(a≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点，
∴f(－2)·f(1)≤0，
即(a＋1)(4a＋1)≤0，即或
∴－1≤a≤－.
因此，实数a的取值范围是[－1，－].
函数与方程的思想在图像交点问题中的应用
　设函数y＝x3与y＝()x－2图像的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
【思路点拨】　首先构造函数f(x)＝x3－()x－2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间．
【规范解答】　令f(x)＝x3－()x－2，由基本初等函数单调性知f(x)在R上是增函数．
∵f(0)＝－4，f(1)＝1－()1－2＝－1，f(2)＝8－1＝7，
∴f(1)·f(2)<0，故函数f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数y＝x3与y＝()x－2图像的交点在区间(1,2)内．
【答案】　B
判断两函数h(x)，g(x)图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f(x)＝h(x)－g(x)的零点所在的区间．
1．判断函数零点个数的方法有以下几种：
(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题；
(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；
(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；
(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．
2．函数的零点的作用：
(1)解决根的分布问题；
(2)已知零点的存在，求字母参数的范围．
(见学生用书第65页)
1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为(　　)
A．3,1；(－1，－4)　　　　　　B．－3，－1；(－1,4)
C．－3,1；(1，－4)
D．－3,1；(－1，－4)
【解析】　令x2＋2x－3＝0，得x＝－3或1，将y＝x2＋2x－3配方可知顶点坐标为(－1，－4)．
【答案】　D
2．若x0是函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点，则x0属于区间(　　)
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
【解析】　由于f(2)＝ln
2－2<0，f(3)＝ln
3>0.且函数f(x)在[2,3]上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)．
【答案】　B
3．函数y＝2x2－4x－3的零点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
【解析】　由于方程2x2－4x－3＝0的Δ＝16＋24＝40>0，所以函数有两个零点．
【答案】　C
4．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．
【解】　(1)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
(2)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．
因为y＝ax2－x－1只有一个零点，
所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即1＋4a＝0，
解得a＝－.
综上所述，a的值为0或－.
(见学生用书第121页)
一、选择题
1．y＝x－1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)
A．1，(1,0)　　　　　　　B．(1,0)，0
C．(1,0)，1
D．1,1
【解析】　由y＝x－1＝0，得x＝1，
故交点坐标为(1,0)，零点是1.
【答案】　C
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1
B．a>1
C．a≤1
D．a≥1
【解析】　由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
【答案】　B
3．(2013·延安高一检测)函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是(　　)
A．(0，)
B．(，1)
C．(1，)
D．(，2)
【解析】　∵f()＝e－2<0，f(1)＝e－1>0，
∴f()·f(1)<0，
∴f(x)＝ex－的零点所在的区间是(，1)．
【答案】　B
4．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　)
A．至少有一实根
B．至多有一实根
C．没有实根
D．必有唯一实根
【解析】　由题意知，函数f(x)在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．
【答案】　D
5．已知函数y＝f(x)的图像是连续的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个　　　B．3个
C．4个　　　D．5个
【解析】　∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
∴f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
【答案】　B
二、填空题
6．(原创题)函数f(x)＝kx－2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】　f(0)＝－1，f(1)＝k－2，由于f(0)·f(1)<0，
则－(k－2)<0.∴k>2.
【答案】　(2，＋∞)
7．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
【解析】　由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax
＝－ax(2x＋1)，
令g(x)＝0得x＝0或x＝－.
【答案】　0，－
8．方程log2x＋2＝x2的实数解的个数为________．
【解析】　方程log2x＋2＝x2可变形为log2x＝x2－2，构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝x2－2，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.
【答案】　2
三、解答题
9．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．
【解】　令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.
当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝时，则由(x－1)(x－2)＝0，
解得x1,2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝或x＝2，则其零点为x＝或x＝2.
10．函数f(x)＝ln
x＋x2－a有一个零点在(1,2)内，求a的取值范围．
【解】　函数f(x)＝ln
x＋x2－a在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f(1)·f(2)＜0，
即(ln
1＋1－a)·(ln
2＋4－a)＜0，
解得1＜a＜4＋ln
2.
故a的取值范围为(1,4＋ln
2)．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
【解】　令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－故实数m的取值范围为(－，0).