4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 学案4（含答案）

4.1.1
利用函数性质判定方程解的存在
学案
1．了解函数的零点与方程的根的关系．
2．掌握函数零点存在性的判定方法．
3．探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法．
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的______称为这个函数的零点．
(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程______的解．
①方程f(x)＝0有解函数f(x)的图像与x轴有交点函数f(x)有零点．
②并非所有的函数都有零点．例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，则该函数无零点．
【做一做1－1】
函数y＝x的零点是(
)．
A．(0,0)
B．0
C．1
D．不存在
【做一做1－2】
函数f(x)＝x2－2x的零点个数是(
)．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数零点的判定定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是____曲线，并且在区间端点的函数值符号______，即______＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有____零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．
当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如：①二次函数f x ＝x2－2x－3在区间[3，4]上有f 3 ＝0，f 4 ＞0，所以有f 3 ·f 4 ＝0，但3是函数f x 的一个零点.
②函数f x ＝x2在区间[－1，1]上，f －1 ·f 1 ＝1＞0，但是它存在零点0.
③函数f x ＝在区间[－1，1]上有f －1 ·f 1 ＜0，但是由其图像知函数f x 在区间 －1，1 内无零点.
【做一做2－1】
已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(
)．
A．(3,4)
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(0,
1)
【做一做2－2】
函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是__________．
答案：1．(1)横坐标　(2)f(x)＝0
【做一做1－1】
B
【做一做1－2】
C
2．连续　相反　f(a)·f(b)　一个
【做一做2－1】
C　利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间．由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，f(3)＝23＞0，f(4)＝59＞0，根据选项，只有区间(1,2)满足．
【做一做2－2】
(1，＋∞)　由f(0)·f(1)＜0得(－1)·(m－1)＜0.∴m＞1.
函数的零点是点吗？
剖析：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其对应函数值为零．方程f(x)＝0解的个数等于函数f(x)零点的个数．
函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1.由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点(－1,0)．
题型一
求函数的零点
【例1】
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16；
(4)f(x)＝.
分析：可通过解方程求得函数的零点．
反思：求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0无实根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．
本题(4)中解方程容易错写成函数的零点是－6和2，其原因是没有验根．避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．
题型二
判断函数零点的个数
【例2】
求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
分析：思路一，借助函数f(x)的单调性确定；思路二，借助图像确定．
反思：判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
题型三
判断函数零点所在大致区间
【例3】
求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
分析：证明方程5x2－7x－1＝0的两根分别位于(－1,0)和(1,2)上，即证在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点．
反思：判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点，除验算f(x1)·f(x2)＜0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．
题型四
由函数的零点求参数的取值范围
【例4】
若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
分析：由于函数y＝ax2－x－1中x2前面的系数a不确定，故需分a＝0和a≠0两种情况讨论．
反思：解决本题时易忽略a＝0的情形，因为题目中并没有说明所给函数是二次函数．
题型五
易错辨析
易错点
因函数的图像不是连续不断的而造成判断错误
【例5】
函数f(x)＝x＋的零点个数为__________．
错解：因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x＜0时，f(x)＜0；x＞0时，f(x)＞0，所以y＝f(x)有一个零点．故填1.
错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域．通过作图可知函数f(x)＝x＋的图像不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用．
答案：【例1】
解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝，
所以函数的零点为.
(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，所以函数的零点为2.
(4)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
【例2】
解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，
∴f(x)＝0在(0,2)上必定存在实根．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个实根．
解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图像．
由图像知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
【例3】
解：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15＜0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，
所以f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间
(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
【例4】
解：(1)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
(2)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．
因为y＝ax2－x－1只有一个零点，
所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即1＋4a＝0，解得a＝－.
综上所述，a的值为0或－.
【例5】
正解：函数的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，所以函数没有零点．故填0.
1
下列函数存在零点的是(
)．
A．y＝
B．y＝log3x
C．y＝x2＋x＋1
D．y＝3x
2
若函数f(x)在区间[－2,2]上的图像是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值
(
)．
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不能确定
3
函数f(x)＝的零点所在的大致区间是(
)．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2，e)
D．(3,4)
4
函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在区间为________．
5
已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
答案：1．B
2．D　函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则可能f(－2)·f(2)＜0，可能f(－2)·f(2)＞0.
3．B　f(1)＝ln2－2＜0，f(2)＝ln3－1＞0，则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1,2)．
4．(1,2)　∵f(0)＝5＞0，f(1)＝1＞0，f(2)＝－9＜0，
∴零点所在区间为(1,2)．
5．分析：要判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]上有没有实数解，只需看f(－1)，f(0)是否反号即可．
解：∵f(－1)＝，f(0)＝1＞0，
又∵函数f(x)＝2x－3x2的图像是连续曲线，
∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．