4.1.2 利用二分法求方程的近似解 教案1

4.1.2
利用二分法求方程的近似解
教案
一、教学目标
知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、
教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a
－
b
︳＜
便可判断零点的近似值为a(或b)
自学导引
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10
km长，大约有200多根电线杆子(如图)：
问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.
问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．
提示：能．
新知自解
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
二分法就是通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示零点．如图．
把握热点考向
高频考点题组化
考点一
方程近似解的求法
[例1]　利用计算器，求方程lg
x＝2－x的近似解．(精确到0.1)
[思路点拨]　解答本题可首先确定lg
x＝2－x的根的大致区间，y＝lg
x，y＝2－x的图像可以作出，由图像确定根的大致区间，再用二分法求解．
[精解详析]　作出y＝lg
x，y＝2－x的图像，可以发现，方程lg
x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间[1,2]内．
设f(x)＝lg
x＋x－2，用计算器计算得
f(1)<0，f(2)>0 x∈[1,2]；
f(1.5)<0，f(2)>0 x∈[1.5,2]；
f(1.75)<0，f(2)>0 x∈[1.75,2]；
f(1.75)<0，f(1.875)>0 x∈[1.75,1.875]；
f(1.75)<0，f(1.812
5)>0 x∈[1.75,1.812
5]．
在区间[1.75，1.812
5]中的值精确到0.1均为1.8.
∴近似解为1.8.
[一点通]　用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算．
题组集训
1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25)内　　　　　　　
B．(1.25,1.5)内
C．(1.5,2)内
D．不能确定
解析：由题意知f(x)在(1,2)内连续且f(1.25)<0，f(1.5)>0，所以方程的根在(1.25,1.5)内．
答案：B
2．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－x－1，
∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，
∴方程在[1,1.5]内有实数解，用二分法逐次计算，列表如下：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
1
－1
1.5
0.875
第2次
1.25
－0.296
875
1.5
0.875
第3次
1.25
－0.296
875
1.375
0.224
609
375
第4次
1.312
5
－0.051
513
671
88
1.375
0.224
609
375
第5次
1.312
5
－0.051
513
671
88
1.343
75
0.082
611
083
98
至此，可以看出[1.312
5,1.343
75]内的所有值，若精确到0.1都是1.3，∴方程在区间[1,1.5]的实数解精确到0.1的近似解是1.3.
考点二
求函数的一个近似零点
[例2]　用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
[思路点拨]　→→
→
[精解详析]　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
1
－2
2
5
第2次
1
－2
1.5
0.375
第3次
1.25
－1.046
9
1.5
0.375
第4次
1.375
－0.400
4
1.5
0.375
第5次
1.437
5
－0.029
5
1.5
0.375
第6次
1.437
5
－0.029
5
1.468
75
0.168
4
第7次
1.437
5
－0.029
5
1.453
125
0.068
38
第8次
1.437
5
－0.029
5
1.445
312
5
0.019
2
第9次
1.441
406
25
－0.005
3
1.445
312
5
0.019
2
第10次
1.441
406
25
－0.005
3
1.443
359
375
0.006
931
因为区间[1.441
406
25,1.443
359
375]内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值．
[一点通]　
二分法求解步骤：
(1)确定区间[a，b]．验证f(a)·f(b)<0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数．
(2)求区间[a，b]的中点c.
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点．
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈[a，c])．
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈[c，b])．
(4)判断a，b的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．
题组集训
3．为求函数f(x)＝ln
x＋2x－6在(2,3)内的零点的近似值(精确到0.1)，已得到数据如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
2
－1.306
9
3
1.098
6
第2次
2.5
－0.083
709
268
3
1.098
6
第3次
2.5
－0.083
709
268
2.75
0.511
600
912
第4次
2.5
－0.083
709
268
2.625
0.215
080
896
第5次
2.5
－0.083
709
268
2.562
5
0.065
983
344
第6次
2.531
25
－0.008
786
748
127
2.562
5
0.065
983
344
第7次
2.531
25
－0.008
786
748
127
2.546
875
0.028
617
117
根据以上数据确定f(x)取(2,3)内的近似零点．
解：由表中数据可知区间[2.531
25,2.546
875]内的所有值若精确到0.1，都是2.5，所以2.5是函数f(x)＝ln
x＋2x－6精确到0.1的零点近似值．
4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
计算次数
左端点
右端点
1
1
2
2
1.5
2
3
1.5
1.75
4
1.625
1.75
5
1.687
5
1.75
6
1.718
75
1.75
7
1.718
75
1.734
375
由上表可知，区间[1.718
75,1.734
375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点.
考点三
二分法的实际应用
[例3]　如图，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x
cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确到0.1
cm)．
[思路点拨]　先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．
[精解详析]　(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.
令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．
由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程的近似解．
取区间[0,1]的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52.
因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈[0.5,1]．
再取[0.5,1]的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈－13.31.
因为f(0.75)·f(1)<0，所以x0∈[0.75,1]．
同理可得x0∈[0.75,0.875]；x0∈[0.812
5,0.875]；x0∈[0.843
75，0.875]；x0∈[0.843
75,0.859
375]；x0∈[0.843
75，0.851
562
5]；x0∈[0.843
75,0.847
656
25]，因为区间[0.843
75,0.847
656
25]内的所有值，若精确到0.1都是0.8，所以0.8就是所求函数的近似解．
同理可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7.
答：如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8
cm或4.7
cm.
[一点通]　二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题中，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．
题组集训
5．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1
000元之间．选手开始报价：1
000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解：取价格区间[500,1
000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1
000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．
6．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
解：先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4球中．
再取此4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏球”为4球中未取到的那个球．将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边较重．
从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重；
②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点(所谓变号零点即变量在零点两侧取值时函数值符号相反)．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，当达到一定精确度要求时，所得区间内的任意一点就是零点的近似值，在计算时要注意以下两点：
(1)选好计算的初始区间，保证所选区间既要符合条件，又要使其长度尽量小．
(2)计算时要注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足这一精确度．
二分法的思想虽然简单，但是在具体使用时，有一定的局限性．①函数y＝f(x)在区间(a，b)内有几个零点时，使用二分法只能一次求得一个零点；②即使y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，f(a)·f(b)<0也未必成立．