4.1.2 利用二分法求方程的近似解 同步练习（含答案）

4.1.2
利用二分法求方程的近似解
同步练习
基础巩固
?1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是(　　)．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数y＝x的零点是(　　)．
A．0
B．(0,0)
C．(1,0)
D．1
3．函数f(x)＝的零点一定位于区间(　　)．
A．
B．(1,2)
C．(2，e)
D．(e,3)
4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)．
5．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是(　　)．
A．f(x)＝3x2－4x＋5
B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝ln
x－3x＋6
D．f(x)＝ex＋3x－6
6．已知函数y＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的范围是(　　)．
A．(－3，－2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(0,1)
7．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是(　　)．
A．(－5，－4]
B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
8．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)．
A．(0,2)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
9．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0，当时，则函数f(x)的零点是(　　)．
A．(a，b)外的点
B．
C．区间或内的任意一个实数
D．a或b
10．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　)．
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
11．方程(x＋1)(x－2)(x＋3)＋x＝0的一个实数解所在的大致区间不可能是(　　)．
A．[－3，－2]
B．[－2，－1]
C．[0,2]
D．[2,4]
能力提升
12．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数是(　　)．
A．4
B．3
C．2
D．1
13．若函数存在零点，则m的取值范围是________．
14．求方程ln
x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精确到0.1)
15．求证：方程在(0,1)内必有一个实数解．
参考答案
1．D　点拨：因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．
2．A　点拨：函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A.
3．C　点拨：∵＝－1－2e＜0，
f(1)＝ln
1－＝－2＜0，
f(2)＝ln
2－＝ln
2－1＝ln
2－ln
e＝＜0，
f(e)＝＝＞0，
∴函数f(x)＝的零点一定位于区间(2，e)内．
4．C　点拨：在选项A，B，D中，找不到闭区间[a，b]，使得函数在区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，故选C.
5．D　点拨：对于A，f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)＞0，无法判断f(x)在[1,2]上是否有零点；对于B，f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)＞0，同选项A一样，无法判断；对于C，f(1)＝3，f(2)＝ln
2，f(1)·f(2)＞0，同选项A，B一样，无法判断；对于D，f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在[1,2]上有零点．
6．B　点拨：Δ＝(1－k)2－4×(－k)＝(1＋k)2.
当Δ＝0时，k＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1在区间(2,3)内无零点；
当Δ＞0时，若函数y＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，所以(k－2)·(k－3)＜0，解得2＜k＜3，因此，实数k的取值范围是(2,3)．
7．A　点拨：考察函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．
由图可知，
即
∴－5＜m≤－4.故选A.
8．C　点拨：考察函数f(x)＝log3x＋x－3，其图像是连续曲线，且f(2)＝log32＋2－3＝＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，所以，方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
9．B
10．B　点拨：∵f(1.25)＜0，f(1.5)＞0，
∴方程的根落在(1.25,1.5)内．
11．D　点拨：设f(x)＝(x＋1)(x－2)(x＋3)＋x，则其图像是连续曲线，又知f(－3)＝－3＜0，f(－2)＝2＞0，所以f(x)在[－3，－2]内有零点，即原方程在[－3，－2]内有实数解．同理原方程在[－2，－1]，[0,2]内也必有实数解，而在[2,4]上恒有f(x)＞0，所以f(x)在[2,4]内没有实数解．
12．A　点拨：由f[f(x)]＋1＝0可得f[f(x)]＝－1，又由f(－2)＝＝－1可得f(x)＝－2或f(x)＝.若f(x)＝－2，则x＝－3或；若f(x)＝，则或.综上可得y＝f[f(x)]＋1有4个零点．
13．[－1,0)　点拨：(方法1)函数的图像可以看作的图像向上或向下平移|m|个单位长度得到的．若函数存在零点，则m的取值范围是[－1,0)．
(方法2)若函数存在零点，则方程，即有实数解．
∵|1－x|≥0，
∴，
∴－1≤m＜0.
14．解：令f(x)＝ln
x＋x－3，
f(2)＝ln
2－1＝＜0，f(3)＝ln
3＞0，
用二分法得方程ln
x＋x－3＝0的有解区间如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
2
－0.306
9
3
1.098
6
1
第2次
2
－0.306
9
2.5
0.416
3
0.5
第3次
2
－0.306
9
2.25
0.060
9
0.25
第4次
2.125
－0.121
2
2.25
0.060
9
0.125
第5次
2.187
5
－0.029
7
2.25
0.060
9
0.062
5
因为区间[2.187
5,2.25]的区间长度为0.062
5，它小于0.1，因此，这一区间内的任意一个数都可以作为方程ln
x＋x－3＝0的近似解，如2.2.
15．证明：考察函数f(x)＝，即f(x)＝，易知函数f(x)在[0,1]上是增函数．
∵f(0)＝30－＝－1＜0，f(1)＝，即f(0)·f(1)＜0，
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，
即方程在(0,1)内必有一个实数解．