(共77张PPT)
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究点二 多面体的识别和判断
探究点三 多面体的表面展开图
【学习目标】
1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
知识点一 空间几何体
1.空间几何体的定义：如果只考虑这些物体的______和______，而不考
虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体.
形状
大小
2.多面体：由若干个____________围成的几何体叫作多面体.围成多
面体的各个多边形叫作多面体的____;两个面的公共边叫作多面体的
____;棱与棱的公共点叫作多面体的______.
平面多边形
面
棱
顶点
3.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线
旋转所形成的曲面叫作________，封闭的旋转面围成的几何体叫作
________.这条定直线叫作旋转体的轴.
旋转面
旋转体
知识点二 棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相______， 其余各面都是 ________，并且相邻两 个四边形的公共边都互 相_______，由这些面 所围成的多面体叫作棱 柱 ______________________________________ 如图，可记作棱 柱 底面：两个互相
平行的面.
侧面：其余各面.
侧棱：相邻侧面
的公共边.
顶点：侧面与底
面的公共顶点
平行
四边形
平行
1.分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.几个特殊的棱柱
（1）直棱柱：________________的棱柱（如图①③）.
（2）斜棱柱：__________________的棱柱（如图②④）.
（3）正棱柱：底面是正多边形的________（如图③）.
（4）平行六面体：底面是____________的四棱柱（如图④）.
侧棱垂直于底面
侧棱不垂直于底面
直棱柱
平行四边形
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面.( )
×
①
[解析] 如图①,正六棱柱的相对侧面 与
平行,但不是底面.
（2）棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形.( )
×
[解析] 如图②,四棱柱的底面 是平行四边形.
②
2.螺栓的头部模型为正六棱柱，如图所示,它有____个顶点，____条
棱，互相平行的面有___对，能作为棱柱底面的有___对.
12
18
4
1
[解析] 因为螺栓的头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,
其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的只有1对.
知识点三 棱锥的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 有一个面是 _________，其 余各面都是有一 个公共顶点的 ________，由这 些面所围成的多 面体叫作棱锥 _______________________________________ 如图，可记作棱锥 底面：多边形面.
侧面：有公共顶点的
各个三角形面.
侧棱：相邻侧面的公
共边.
顶点：各侧面的公共
顶点
多边形
三角形
1.分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中
三棱锥又叫________.
2.正棱锥：底面是__________,并且顶点与底面中心的连线________
底面的棱锥.
四面体
正多边形
垂直于
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）正四面体是四棱锥.( )
×
[解析] 正四面体是三棱锥.
（2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥.( )
×
[解析] 底面是正多边形的棱锥不一定是正棱锥，
因为不能保证顶点与底面中心的连线垂直于底面.
（3）正棱锥的侧面是等腰三角形.( )
√
（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥.
( )
×
[解析] 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥
是错误的，因为缺少条件：这些三角形有一个公共顶点.反例如图.
2.正五棱锥有___个顶点，____条棱，___个面，___个侧面.
6
10
6
5
知识点四 棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱台 用一个______ 于棱锥底面的 平面去截棱 锥，我们把底 面和截面之间 那部分多面体 叫作棱台 ______________________________________________ 如图，可记作棱 台 上底面：原棱锥的截面.
下底面：原棱锥的底面.
侧面：其余各面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与上（下）底
面的公共顶点
平行
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、
四棱台、五棱台……
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）棱台的各侧棱的延长线必定交于一点.( )
√
[解析] 棱台是由棱锥截得的，所以各侧棱的延长线必定交于一点.
（2）棱台的侧棱长必相等.( )
×
[解析] 棱台的侧棱长不一定相等.
2.面数最少的棱台为____棱台，共由___个面围成，若过此棱台上底
面一个顶点与下底面上不在同一侧棱上的两个顶点作截面，则将此
棱台分为两部分，分别为一个________，一个________.
三
5
三棱锥
四棱锥
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1（1） 关于棱台，下列说法正确的是( )
A.两底面可以不相似 B.侧面都是全等的梯形
C.侧棱长一定相等 D.侧棱延长后交于一点
[解析] 只有D符合棱台的特征．
√
（2）给出下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平行于底面的平面截成的两部分都是棱柱；
⑤棱长都相等的直四棱柱是正方体.
其中正确说法的序号是______.
③④
[解析] ①错误，底面可以不是平行四边形；
②错误，底面可以是三角形；
由棱柱的定义可知③正确；
④正确，被平行于底面的平面截成的两部分都是棱柱；
⑤错误，当直四棱柱的底面是菱形时，也满足条件，但不是正方体.
故填③④.
（3）如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么下列三角形中可
能成为这个四面体的第四个面的是__________.（填序号）
①直角三角形；②锐角三角形；③等腰三角形；④等腰直角三角形.
①②③④
[解析] 如图所示，在正方体
中，几何体 是有
三个面是直角三角形的四面体，可知
为等边三角形，所以②③正确.
几何体 是有四个面是直角三角形的
四面体，且 为等腰直角三角形，
所以①④正确.故填①②③④.
变式 [2024·广东佛山高一期中] 下列说法不正确的是( )
A.正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B.棱台的各侧棱延长线必交于一点
C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
√
[解析] 对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，
故A中说法正确；
对于B，根据棱台的定义可得，棱台的各侧棱延长线必交于一点，故
B中说法正确；
对于C，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的
部分是棱台，故C中说法不正确；
对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D中说法正确.
故选C.
［素养小结］
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面：（1）底
面的形状，底面间的平行关系；（2）侧棱的相等关系、侧棱间的平
行关系；（3）侧面的形状，侧面间的平行关系、相等关系等.
探究点二 多面体的识别和判断
例2 如图，已知长方体 .用
平面 把这个长方体分成两部分后，各部
分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱
柱？如果不是，说明理由.
解：截面上方的部分是三棱柱，其中 和
是底面.截面下方的部分是四棱柱 ，其
中四边形和四边形 是底面.
变式 （多选题）[2024·江苏无锡高一期中] 在正方体
中，为的中点，为上靠近 的三等分
点，过，的平面将正方体 截成两部分，则所得
几何体可能是( )
A.三棱锥 B.直三棱柱 C.三棱台 D.四棱柱
√
√
√
[解析] 如图①，连接,，则平面 截正方体
可得三棱锥，故A正确；
如图②，过 作，垂足为，过作，垂足为，
连接 ，则平面截正方体可得直三棱柱
，故B正确；
如图③，延长至，连接,，分别与,交于 ,
，连接，则平面截正方体 可得三棱台
，故C正确；
将正方形 分成一个三角形和
一个五边形，所以不可能得到四棱柱.故选 .
［素养小结］
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征，在
利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系
与区别.不要认为底面就一定是所给图中位于上下位置的面.
探究点三 多面体的表面展开图
例3 请画出如图所示的几何体的表面展开图.
解：展开图如图所示.（答案不唯一）
例4 如图是两个几何体的表面展开图，请问对应的各是什么几何体？
解：根据表面展开图a, ，可得两个几何体分别如图①②所示，其中
①为五棱柱，②为三棱台.
变式（1） 如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的
展开图的是( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
[解析] 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面
体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.
√
（2）如图，,, 是一个无盖的正方体盒子展开后的
平面图上的点，则在正方体盒子中， ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据展开图复原几何体，易知,, 分别
为三个全等的正方形的对角线，所以，所以 是等
边三角形，所以 ，故选C.
√
［素养小结］
（1）绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间
想象能力或者亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的
顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，再依次画出各侧面，便
可得到其表面展开图.
（2）由展开图复原几何体：通常给出多面体的表面展开图来判断是
由哪一个多面体展开得到的，求解时可把上述过程逆推.同一个几何
体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个
表面展开图.
1.关于棱柱的辨析
棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面（底面）互
相平行；②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互
相平行.求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为
底面，再看是否满足其他特征.
2.棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的
某些说法不正确.
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此 面即为底面 两个互相平行的面，即为
底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
3.对于多面体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握.棱柱、棱
锥、棱台是不同的多面体，但它们之间也有联系，棱柱可以看成是上、
下底面全等的棱台，棱锥又可以看成是一个底面缩为一点的棱台，即：
因此，解决棱台问题的一种方法是：将有关棱台的问题转化为棱锥
的问题解决（即“还台为锥”）.
4.正棱锥的性质
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边
上的高相等，叫做正棱锥的斜高.
（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个
直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影
也组成一个直角三角形.（如图所示）
1.掌握多面体中棱柱、棱锥、棱台的空间结构特征，关键是弄清底面
形状与侧棱的特点.棱柱的侧棱相互平行；棱锥的侧棱交于一点；棱
台的侧棱的延长线交于一点.
例1 写出集合｛四棱柱｝｛正四棱柱｝｛平行六面体｝｛直平行六
面体｝｛长方体｝｛正方体｝之间的关系.
解：｛四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体} {正四
棱柱} {正方体｝.
例2 斜四棱柱的侧面中矩形的个数最多为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为在斜四棱柱的底面中最多有一组对边和侧棱垂直，所以
斜四棱柱的侧面中最多有2个侧面为矩形，且这两个侧面为相对的面，
故选B.
√
2.空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常转化为求平面上两点
间的最短距离问题，先把侧面展开成平面图形，再用平面几何的知
识来解决.
例3 在长方体中，，， ，
则从点出发沿表面运动到点 的最短路线长是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从A沿长方体的表面到 是一条折线，如果将折线变为直线，
最短路线就容易求出.
解题思路就是沿长方体的棱剪开，使得点A，展开后在同一个平面
上，连接，求出 即可.
至于如何剪，从 点出发，有如图（图①，图②，图③均为简图）所
示的三种情况. 在图①中， ；在图②中，
；在图③中，
.故选C.
练习册
一、选择题
1.棱锥的侧面和底面可以都是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
[解析] 由棱锥的定义可知，三棱锥的侧面和底面均是三角形.故选A.
√
2.[2024·大同一中高一期中]斜四棱柱的侧面中矩形最多可有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 由于在斜四棱柱的底面中最多有两条平行的对边和侧棱垂直，
其余一组对边不和侧棱垂直，
故此时四棱柱的侧面中最多有2个为矩形，且这两个侧面为相对的面，
其余一组相对的侧面不可能为矩形，故选B.
√
3.下列说法中正确的是( )
A.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体
的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
√
[解析] 对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱
的底面，故A错误；
对于B，平行六面体任意两个相对的面一定可当作它的底面，故B错误；
对于C，平行六面体的侧面是平行四边形，底面也是平行四边形，故
C错误；
对于D，棱柱的底面互相平行，故在棱柱的所有面中，至少有两个面
互相平行，故D正确.故选D.
4.下列几何体中是棱台的是( )
A. B. C. D.
[解析] A中的几何体是棱柱；
B中的几何体是棱锥；
D中的几何体的棱，，， 延长后没有交于一点，故D中
的几何体不是棱台；
C中的几何体是一个棱锥被平行于底面的平面截去一个棱锥后
剩余的部分，符合棱台的定义，故C中的几何体是棱台.故选C.
√
5.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“九”
在正方体中的对面是( )
A.县 B.市 C.联 D.考
√
[解析] 把正方体还原，如图所示，则上面是九，下面是市，左面是
县，右面是联，前面是考，后面是区.故选B.
6.在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连
线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线条数为( )
A.20 B.15 C.12 D.10
[解析] 如图，在五棱柱 中，
从顶点A出发的对角线有2条，为， .
同理从点B，C，D， 出发的对角线均有2条，
则共有 （条）对角线.
√
7.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.，，，
B.，，， ，
，
C.，，， ，
，
D.,，
√
[解析] 根据棱台是由棱锥截成的进行判断.
选项A中， ，故A不可能是三棱台；
选项B中， ，故B不可能是三棱台；
选项C中， ，故C可能是三棱台；
选项D中，满足条件的可能是三棱柱，不可能是三棱台.故选C.
8.有一个长方体木块，过同一个顶点的三个面的面积分别为8，12，2
4，现将其削成一个正四面体，则该正四面体的棱长的最大值为
( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 设长方体中过同一个顶点的三条棱的长分别为，， ，则
，，，可得，，， 长方体
的最短棱的长为2，则长方体可削成最大的正方体的棱长为2，
正四面体的棱长的最大值为正方体的面对角线的长，其长度为 .
故选B.
√
9.（多选题）下列几何体是六面体的有( )
A.四棱柱 B.四棱台 C.五棱锥 D.六棱锥
[解析] 对于A，B，四棱柱、四棱台都有2个底面，4个侧面，共6个
面，它们都是六面体，A，B正确；
对于C，五棱锥有1个底面，5个侧面，共6个面，是六面体，C正确；
对于D，六棱锥有1个底面，6个侧面，共7个面，不是六面体，
D不正确.故选 .
√
√
√
二、填空题
10.一个棱柱有10个顶点，其所有侧棱的长之和为 ，则该棱柱
是____棱柱，每条侧棱的长为____ .
五
12
[解析] 因为棱柱有10个顶点，所以此棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，
又所有侧棱的长之和为，所以每条侧棱的长为 .
11.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以恰好把一个三棱台分
成___个三棱锥.
3
[解析] 如图，三棱台可分割成三棱锥 、三棱
锥和三棱锥 ，共3个三棱锥.
12.一个正三棱锥的底面边长为3，高为 ，则它的侧棱长为___.
3
[解析] 如图所示，在正三棱锥 中，点
为的中心，连接,，则 为正三
棱锥的高，则,.
易知 ，
故在中， .
三、解答题
13.如图，试从正方体 的八个顶点中任取若干，连
接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
解：如图①所示，三棱锥 符合题意（答案不唯一）.
①
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解：如图②所示，三棱锥 符合题意（答案不唯一）.
②
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
解：如图③所示，三棱柱 符合题意（答案不唯一）.
③
（3）三棱柱.
14.如图所示，在一个长方体的容器中装有少量水，现
将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中.
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成
不是矩形的平行四边形，对吗？
解：不对.水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行
的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他
非矩形的平行四边形.
（2）水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变
成棱台或棱锥，对吗？
解：不对.水的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不
动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余
部分的几何体，此几何体是棱柱，不可能是棱台或
棱锥.
15.如图是一个简单多面体的表面展开图
（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体
的顶点个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
√
[解析] 还原该多面体，如图.由图可知，该多面体有7个顶点.故选B.
16.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 、面数
、棱数() 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请
你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面的多面体模型，求表格中，的值,并写出顶点数 、
面数、棱数 之间存在的关系式；
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
解：根据题意得，四面体的棱数，正八面体的顶点数 .
，，，，
顶点数 、面数、棱数之间存在的关系式是 .
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体
的顶点数；
解：由（1）可知，，
一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
，解得 ，故这个多面体的顶点数为20.
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和
八边形两种多边形拼接而成的，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，
设该多面体表面三角形的个数为，八边形的个数为，求 的值．
解： 有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
共有（条）棱.
设该多面体的面数为 ，则，解得，
．第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
【课前预习】
知识点一
1.形状 大小 2.平面多边形 面 棱 顶点
3.旋转面 旋转体
知识点二
平行 四边形 平行
2.(1)侧棱垂直于底面 (2)侧棱不垂直于底面 (3)直棱柱
(4)平行四边形
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)如图①,正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是底面.
①
(2)如图②,四棱柱的底面ABCD是平行四边形.
②
2.12 18 4 1 [解析] 因为螺栓的头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的只有1对.
知识点三
多边形 三角形
1.四面体 2.正多边形 垂直于
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)正四面体是三棱锥.
(2)底面是正多边形的棱锥不一定是正棱锥,因为不能保证顶点与底面中心的连线垂直于底面.
(4)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥是错误的,因为缺少条件:这些三角形有一个公共顶点.反例如图.
2.6 10 6 5
知识点四
平行
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1) 棱台是由棱锥截得的,所以各侧棱的延长线必定交于一点.
(2)棱台的侧棱长不一定相等.
2.三 5 三棱锥 四棱锥
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)③④ (3)①②③④ [解析] (1)只有D符合棱台的特征.
(2)①错误,底面可以不是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;由棱柱的定义可知③正确;④正确,被平行于底面的平面截成的两部分都是棱柱;⑤错误,当直四棱柱的底面是菱形时,也满足条件,但不是正方体.故填③④.
(3)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,几何体D1-ADC是有三个面是直角三角形的四面体,可知△ACD1为等边三角形,所以②③正确.几何体D1-ABD是有四个面是直角三角形的四面体,且△ADD1为等腰直角三角形,所以①④正确.故填①②③④.
变式 C [解析] 对于A,正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形,故A中说法正确;对于B,根据棱台的定义可得,棱台的各侧棱延长线必交于一点,故B中说法正确;对于C,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台,故C中说法不正确;对于D,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,故D中说法正确.故选C.
探究点二
例2 解:截面BCFE上方的部分是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.截面BCFE下方的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.
变式 ABC [解析] 如图①, 连接DE,DF,则平面DEF截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱锥D-D1EF,故A正确; 如图②,过E作EG⊥AD,垂足为G,过F作FH⊥CD,垂足为H,连接GH,则平面EFHG截正方体ABCD-A1B1C1D1可得直三棱柱D1EF-DGH,故B正确;如图③,延长D1D至P,连接PE,PF,分别与AD,CD交于M,N,连接MN,则平面EFNM截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱台DMN-D1EF,故C正确; EF将正方形A1B1C1D1分成一个三角形和一个五边形,所以不可能得到四棱柱.故选ABC.
探究点三
例3 解:展开图如图所示.(答案不唯一)
例4 解:根据表面展开图a,b,可得两个几何体分别如图①②所示,其中①为五棱柱,②为三棱台.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.
(2)根据展开图复原几何体,易知AB,BC,CA分别为三个全等的正方形的对角线,所以AB=BC=CA,所以△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°,故选C.第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
【学习目标】
1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
◆ 知识点一 空间几何体
1.空间几何体的定义:如果只考虑这些物体的 和 ,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体.
2.多面体:由若干个 围成的几何体叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的 ;两个面的公共边叫作多面体的 ;棱与棱的公共点叫作多面体的 .
3.旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作 ,封闭的旋转面围成的几何体叫作 .这条定直线叫作旋转体的轴.
◆ 知识点二 棱柱的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念
棱 柱 有两个面互相 ,其余各面都是 ,并且相邻两个四边形的公共边都互相 ,由这些面所围成的多面体叫作棱柱 如图,可记作棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面:两个互相平行的面. 侧面:其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与底面的公共顶点
1.分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱: 的棱柱(如图①③).
(2)斜棱柱: 的棱柱(如图②④).
(3)正棱柱:底面是正多边形的 (如图③).
(4)平行六面体:底面是 的四棱柱(如图④).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面.( )
(2)棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形. ( )
2.螺栓的头部模型为正六棱柱,如图所示,它有 个顶点, 条棱,互相平行的面有 对,能作为棱柱底面的有 对.
◆ 知识点三 棱锥的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念
棱 锥 有一个面是 ,其余各面都是有一个公共顶点的 ,由这些面所围成的多面体叫作棱锥 如图,可记作棱锥S-ABCD 底面:多边形面. 侧面:有公共顶点的各个三角形面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:各侧面的公共顶点
1.分类:按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫 .
2.正棱锥:底面是 ,并且顶点与底面中心的连线 底面的棱锥.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正四面体是四棱锥. ( )
(2)底面是正多边形的棱锥是正棱锥. ( )
(3)正棱锥的侧面是等腰三角形. ( )
(4)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥. ( )
2.正五棱锥有 个顶点, 条棱, 个面, 个侧面.
◆ 知识点四 棱台的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念
棱 台 用一个 于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫作棱台 如图,可记作棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面:原棱锥的截面. 下底面:原棱锥的底面. 侧面:其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类:由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱台的各侧棱的延长线必定交于一点. ( )
(2)棱台的侧棱长必相等. ( )
2.面数最少的棱台为 棱台,共由 个面围成,若过此棱台上底面一个顶点与下底面上不在同一侧棱上的两个顶点作截面,则将此棱台分为两部分,分别为一个 ,一个 .
◆ 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1 (1)关于棱台,下列说法正确的是 ( )
A.两底面可以不相似
B.侧面都是全等的梯形
C.侧棱长一定相等
D.侧棱延长后交于一点
(2)给出下列关于棱柱的说法:
①所有的面都是平行四边形;
②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行;
④被平行于底面的平面截成的两部分都是棱柱;
⑤棱长都相等的直四棱柱是正方体.
其中正确说法的序号是 .
(3)如果一个四面体的三个面是直角三角形,那么下列三角形中可能成为这个四面体的第四个面的是 .(填序号)
①直角三角形;②锐角三角形;③等腰三角形;④等腰直角三角形.
变式 [2024·广东佛山高一期中] 下列说法不正确的是 ( )
A.正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形
B.棱台的各侧棱延长线必交于一点
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台
D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形
[素养小结]
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面:(1)底面的形状,底面间的平行关系;(2)侧棱的相等关系、侧棱间的平行关系;(3)侧面的形状,侧面间的平行关系、相等关系等.
◆ 探究点二 多面体的识别和判断
例2 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱 如果不是,说明理由.
变式 (多选题)[2024·江苏无锡高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,F为C1D1上靠近D1的三等分点,过E,F的平面将正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分,则所得几何体可能是 ( )
A.三棱锥 B.直三棱柱
C.三棱台 D.四棱柱
[素养小结]
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征,在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别.不要认为底面就一定是所给图中位于上下位置的面.
◆ 探究点三 多面体的表面展开图
例3 请画出如图所示的几何体的表面展开图.
例4 如图是两个几何体的表面展开图,请问对应的各是什么几何体
变式 (1)如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是 ( )
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
(2)如图,A,B,C是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图上的点,则在正方体盒子中,∠ABC= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[素养小结]
(1)绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体:通常给出多面体的表面展开图来判断是由哪一个多面体展开得到的,求解时可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
一、选择题
1.棱锥的侧面和底面可以都是 ( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
2.[2024·大同一中高一期中] 斜四棱柱的侧面中矩形最多可有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列说法中正确的是 ( )
A.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B.在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
D.在棱柱的所有面中,至少有两个面互相平行
4.下列几何体中是棱台的是 ( )
A B C D
5.如图是一个正方体的表面展开图,则图中“九”在正方体中的对面是 ( )
A.县 B.市
C.联 D.考
6.在五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线条数为 ( )
A.20 B.15
C.12 D.10
7.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是 ( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
8.有一个长方体木块,过同一个顶点的三个面的面积分别为8,12,24,现将其削成一个正四面体,则该正四面体的棱长的最大值为 ( )
A.2 B.2
C.4 D.4
9.(多选题)下列几何体是六面体的有 ( )
A.四棱柱 B.四棱台
C.五棱锥 D.六棱锥
二、填空题
10.一个棱柱有10个顶点,其所有侧棱的长之和为60 cm,则该棱柱是 棱柱,每条侧棱的长为 cm.
11.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以恰好把一个三棱台分成 个三棱锥.
12.一个正三棱锥的底面边长为3,高为,则它的侧棱长为 .
三、解答题
13.如图,试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
14.如图所示,在一个长方体的容器中装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗
(2)水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变成棱台或棱锥,对吗
15.如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点个数为 ( )
A.6
B.7
C.8
D.9
16.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1)根据上面的多面体模型,求表格中a,b的值,并写出顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式;
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 a
长方体 8 6 12
正八面体 b 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,求这个多面体的顶点数;
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,且有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体表面三角形的个数为x,八边形的个数为y,求x+y的值.第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
1.A [解析] 由棱锥的定义可知,三棱锥的侧面和底面均是三角形.故选A.
2.B [解析] 由于在斜四棱柱的底面中最多有两条平行的对边和侧棱垂直,其余一组对边不和侧棱垂直,故此时四棱柱的侧面中最多有2个为矩形,且这两个侧面为相对的面,其余一组相对的侧面不可能为矩形,故选B.
3.D [解析] 对于A,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,故A错误;对于B,平行六面体任意两个相对的面一定可当作它的底面,故B错误;对于C,平行六面体的侧面是平行四边形,底面也是平行四边形,故C错误;对于D,棱柱的底面互相平行,故在棱柱的所有面中,至少有两个面互相平行,故D正确.故选D.
4.C [解析] A中的几何体是棱柱;B中的几何体是棱锥;D中的几何体的棱AA',BB',CC',DD'延长后没有交于一点,故D中的几何体不是棱台;C中的几何体是一个棱锥被平行于底面的平面截去一个棱锥后剩余的部分,符合棱台的定义,故C中的几何体是棱台.故选C.
5.B [解析] 把正方体还原,如图所示,则上面是九,下面是市,左面是县,右面是联,前面是考,后面是区.故选B.
6.D [解析] 如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有2条,为AC1,AD1.同理从点B,C,D,E出发的对角线均有2条,则共有2×5=10(条)对角线.
7.C [解析] 根据棱台是由棱锥截成的进行判断.选项A中,≠,故A不可能是三棱台;选项B中,≠,故B不可能是三棱台;选项C中,==,故C可能是三棱台;选项D中,满足条件的可能是三棱柱,不可能是三棱台.故选C.
8.B [解析] 设长方体中过同一个顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=8,bc=12,ac=24,可得a=4,b=2,c=6,∴长方体的最短棱的长为2,则长方体可削成最大的正方体的棱长为2,∴正四面体的棱长的最大值为正方体的面对角线的长,其长度为2.故选B.
9.ABC [解析] 对于A,B,四棱柱、四棱台都有2个底面,4个侧面,共6个面,它们都是六面体,A,B正确;对于C,五棱锥有1个底面,5个侧面,共6个面,是六面体,C正确;对于D,六棱锥有1个底面,6个侧面,共7个面,不是六面体,D不正确.故选ABC.
10.五 12 [解析] 因为棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,又所有侧棱的长之和为60 cm,所以每条侧棱的长为12 cm.
11.3 [解析] 如图,三棱台ABC-A1B1C1可分割成三棱锥A1-ABC、三棱锥B-A1CC1和三棱锥C1-A1B1B,共3个三棱锥.
12.3 [解析] 如图所示,在正三棱锥S-ABC中,点O为△ABC的中心,连接OA,SO,则SO为正三棱锥的高,则SO=,AB=3.易知OA=,故在Rt△SOA中,SA==3.
13.解:(1)如图①所示,三棱锥A1-AB1D1符合题意(答案不唯一).
①
(2)如图②所示,三棱锥B1-ACD1符合题意(答案不唯一).
②
(3)如图③所示,三棱柱A1B1D1-ABD符合题意(答案不唯一).
③
14.解:(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对.水的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,不可能是棱台或棱锥.
15.B [解析] 还原该多面体,如图.由图可知,该多面体有7个顶点.故选B.
16.解:(1)根据题意得,四面体的棱数a=6,正八面体的顶点数b=6.
∵4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是V+F-E=2.
(2)由(1)可知,V+F-E=2,∵一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,∴V+V-8-30=2,解得V=20,故这个多面体的顶点数为20.
(3)∵有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,∴共有48×3÷2=72(条)棱.设该多面体的面数为F,则48+F-72=2,解得F=26,∴x+y=26.
