(共64张PPT)
8.1 基本立体图形
第2课时 旋转体、组合体
探究点一 旋转体的结构特征
探究点二 简单组合体的结构特征
探究点三 空间几何体的表面展开与折叠
【学习目标】
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.
2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.
3.了解简单组合体及其结构特征,能根据条件判断几何体的类型.
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
定义及相关概念 图形及表示
圆柱 1.定义：以____________所在直线为旋 转轴，其余三边旋转一周形成的面所围 成的旋转体叫作圆柱 ______________________________________________________
图中的圆柱记作圆柱
矩形的一边
定义及相关概念 图形及表示
圆柱 2.相关概念： 圆柱的轴：______轴. 圆柱的底面：__________的边旋转而成 的圆面. 圆柱的侧面：__________的边旋转而成 的曲面. 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位 置，__________的边 ______________________________________________________
图中的圆柱记作圆柱
旋转
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
续表
定义及相关概念 图形及表示
圆锥 3.定义：以直角三角形的____________ 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周 形成的面所围成的旋转体叫作圆锥 ______________________________
图中的圆锥记作圆锥
一条直角边
续表
定义及相关概念 图形及表示
圆锥 4.相关概念： 圆锥的轴：旋转轴. 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的 圆面. 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的 ____面. 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的边 ______________________________
图中的圆锥记作圆锥
曲
续表
定义及相关概念 图形及表示
圆台 5.定义：用________________的平面去 截圆锥，____________之间的部分叫作 圆台
图中的圆台记作圆台
平行于圆锥底面
底面与截面
续表
定义及相关概念 图形及表示
圆台 6.相关概念： 圆台的轴：旋转轴. 圆台的底面：垂直于轴的边旋转而成的 圆面. 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转而成 的曲面. 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的边 ______________________________
图中的圆台记作圆台
续表
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在圆柱的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆
柱的母线.( )
×
[解析] 根据圆柱母线的定义可知错误.
（2）以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥.
( )
×
[解析] 以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周才能得到圆锥.
（3）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆.( )
√
[解析] 圆柱、圆锥、圆台的底面都是由线段绕一端点旋转一周得到
的,都是圆.
（4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的
底面半径.( )
×
[解析] 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥
的母线长，大于圆锥的底面半径.
2.图中的物体叫作圆台，除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以
怎样得到呢？
解：类比棱台的定义，圆台还可以是用平行于圆锥底面的平面去截
圆锥，底面和截面之间的部分.
知识点二 球的结构特征
球 图形及表示
定义：半圆以__________所在直线为旋转轴，旋 转一周形成的曲面叫作______，球面所围成的旋 转体叫作______，简称球 ______________________________________________
图中的球表示为
球
相关概念： 球心：半圆的圆心. 半径：连接球心和球面上任意一点的线段. 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段
它的直径
球面
球体
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）球是以任意一条直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的几何体.
( )
×
[解析] 根据球的定义可知，半圆以它的直径所在的直线为旋转轴，
旋转一周形成的曲面叫作球面，球面所围成的旋转体叫球.
（2）连接球面上两点的线段叫作球的直径.( )
×
[解析] 连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
（3）过球的球心作球的截面，所得截面的半径与球的半径相等.( )
√
[解析] 连接球心（即为截面圆圆心）和球面上任意一点（取截面圆上
一点）的线段叫作半径，由此可知所得截面的半径与球的半径相等.
知识点三 简单组合体
1.概念：由____________组合而成，这些几何体称作简单组合体.现
实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的
物体组合而成.
简单几何体
2.两种基本形式：一种是由简单几何体______而成；一种是由简单几
何体______或______一部分而成.
拼接
截去
挖去
【诊断分析】 请指出如图所示的几何体是由哪些简单几何体组合而
成的
解：图①是一个四棱锥和一个长方体构成的,这是多面体与多面体的
组合体;
图②是一个圆台挖去一个圆锥构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;
图③是一个球挖去一个长方体构成的,这是旋转体与多面体的组合体.
探究点一 旋转体的结构特征
例1 [2024·哈尔滨九中高一期中]下列说法正确的是( )
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高
√
[解析] 对于A，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的旋
转体是两个圆锥的组合体，A错误；
对于B，以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周形成的
旋转体不是圆台，B错误；
对于C，圆锥只有一个底面，C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线
长，大于圆锥的高，D正确.故选D.
变式 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
B.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形
[解析] 对于A，如图，经过圆柱任意两条母线的截面
是一个矩形面，故A正确；
对于B，由圆台的定义得，圆台的任意两条母线的延
长线交于一点，故B错误；
显然，C，D均正确.故选 .
√
√
√
［素养小结］
（1）判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
（2）简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体
结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的
化归与转化思想.
探究点二 简单组合体的结构特征
例2 观察图中的几何体，分析它们是由哪些简单几何体组成的.
解：图①是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何体.
图②是由一个四棱柱和一个圆柱拼接而成的几何体.
图③是由一个四棱柱与一个半圆柱拼接，并在相接处挖去一个圆柱
组成的几何体.
变式1 （多选题）对于如图所示的几何体，以下说法正确的是
( )
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱和5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
√
√
[解析] 对于A，由多面体的定义可知该几何体是一
个多面体，故A正确；
对于B，由题图易知该几何体有9条棱和5个顶点，
故B正确；
对于C，该几何体有6个面，故C错误；
对于D，该几何体是多面体，不是旋转体，故D错误.故选 .
变式2 如图所示，在平面曲边图形
中，曲边 为四分之一圆周，且圆心在
上，，，为线段， ，
解：线段，，及曲线绕 所在的直线旋转一周，分别形
成圆锥、圆台和圆柱的侧面和半球面，如图所示.
故得到的几何体由圆锥、圆台、圆柱和半球组成.
该曲边图形绕 所在的直线旋转一周，得到的几何体是由哪些简单几
何体组成的？
探究点三 空间几何体的表面展开与折叠
例3 [2024·安徽淮南二中高一期中] 如图，底
面为正方形的四棱锥 中，四条侧棱
相等，且，，分别为棱和
上的点，，， 处有只蚂蚁欲
沿该四棱锥的侧面爬行到 处，求蚂蚁爬行的最短距离.
解：因为底面为正方形的四棱锥 中，四条侧棱相等，且
，
所以四棱锥 是正四棱锥且所有的棱都相等.
将侧面与侧面 展开到同一平面内，
如图所示，连接 .
在中，， ， ，
由余弦定理得
，可得 ，
所以蚂蚁爬行的最短距离为 .
变式 如图，在圆锥中，底面半径，母线长， 为
母线的中点.从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 .
（1）求绳子的最短长度；
解：将圆锥的侧面展开，如图所示，
则的长 ,
.
连接，由题意知，绳长的最小值为展开图中线段 的长，
可得 .
（2）绳子长度最短时，求顶点 到绳子的最短距离.
解： 当绳长最短时，在展开图中，过点作的垂线，垂足为 ，
则的长即为顶点 到绳子的最短距离.
由三角形的等面积法得 .
［素养小结］
在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题,常转化为求其展
开图中相应的线段长,即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.
拓展 如图，在直三棱柱 中，
，，， 分别是棱
，上的动点，则 的最小值
是( )
A. B.5 C.7 D.
√
[解析] 将直三棱柱 的侧面展开，如图所示.
易知当A，D，，四点共线时， 取得最小值，
最小值为 .故选D.
1.旋转体的结构特征
（1）圆柱的侧面展开图为矩形.
（2）圆锥的侧面展开图为扇形.
（3）圆台的侧面展开图为扇环.
2.圆柱、圆锥、圆台间的关系: 圆台的上底扩大到与下底相等，变为
圆柱, 圆台的上底缩小为一点,变为圆锥.
3.旋转体的轴截面的特征:
（1）圆柱的轴截面为矩形,且一边为圆柱的底面直径,另一边为圆柱
的高.
（2）圆锥的轴截面为等腰三角形,腰为圆锥的母线,底为圆锥的底面
直径.
（3）圆台的轴截面为等腰梯形,腰为圆台的母线,上、下底分别为圆
台上、下底面的直径.
1.求解旋转体问题时要弄清圆柱、圆锥、圆台是由什么样的平面图形
旋转形成的,还有轴截面中的边长与旋转体中母线与半径的关系.用平
行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质
（与底面全等或相似），同时结合旋转体中经过旋转轴的截面
（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构造相关几何变
量的方程组而得解.
例1 请解决下列问题：
（1）已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形，
求圆台的高.
解：如图①所示，过作于 ，由题
意知， ，
， 圆台的
高为 .
（2）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底
面半径的比是 ，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.
解：如图②所示，由题意知 ，
，， ，
因此，圆台的母线长为9.
2.将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、
常用的方法.在求空间图形表面两点间的最短距离时，常运用“展开”
变换，化曲（折）为直，从而把“折线拉成直线，曲面展成平面”，
使问题得以巧妙解决.
例2 圆台的上、下底面半径分别为5，10，母线长 ，从圆台
母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点（ 在下底面）.
（1）求绳子的最短长度；
解：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的
扇形，且设扇形的圆心为 ，如图.
连接，则所求的最短距离是，设 ，
圆心角是 ，则由题意知， ，
，解得，，， ,
，故绳子的最短长度为50.
（2）当绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
解：作垂直于，垂足为，
记与弧的交点为，
则 是顶点到 的最短距离，
则是与弧 的最短距离，
可得 ，
故当绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子的最短距离是4.
练习册
一、选择题
1.以下说法正确的是( )
A.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的
旋转体是圆锥
B.以直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体
是圆锥
C.以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转
体是圆锥
D.将直角三角形旋转一周所得的旋转体是圆锥
[解析] 由圆锥的定义可知A正确.故选A.
√
2.如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( )
A.①是圆台 B.②是圆台 C.③是圆锥 D.④是圆台
[解析] 由圆柱、圆锥、圆台的定义可知，①是圆柱，②不是圆台，
③是圆锥，④是圆锥与圆台的组合体．故选C.
√
3.如图所示的螺母可以看成一个组合体，则对其结构特征最接近的表
述是( )
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
[解析] 螺母这个组合体的外部轮廓是六棱柱，因为螺母是旋拧在螺
杆上的，所以挖去的部分近似是圆柱，故选C.
√
4.已知等腰梯形，现绕着它的较长底边 所在的直线旋转一周，
所得的几何体为( )
A.一个圆台和两个圆锥的组合体 B.一个圆柱和两个圆锥的组合体
C.两个圆台和一个圆柱的组合体 D.两个圆柱和一个圆台的组合体
[解析] 将等腰梯形绕着它的较长底边 所在的直线旋转一周，
易知所得的几何体为一个圆柱和两个圆锥的组合体．故选B．
√
5.如图,该几何体是由正方体截去八个相同的正
三棱锥后得到的,则下列结论不正确的是( )
A.该几何体的面是等边三角形或正方形
B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱
D.该几何体恰有12个顶点
[解析] 由图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形,A中结论正确;
该几何体恰有14个面,B中结论不正确;
该几何体恰有24条棱,C中结论正确;
该几何体恰有12个顶点,D中结论正确.故选B.
√
6.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底
面半径是( )
A.2 B. C.或 D.或
[解析] 设底面半径为 .若矩形的长为卷成圆柱底面的周长，则
，解得 ；
若矩形的宽为卷成圆柱底面的周长，则，解得 .故选C.
√
7.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上
底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个
平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面（且与底面
不重合）,则截面图形为( )
A. B. C. D.
[解析] 截面图形应为选项C中的图形.
√
8.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是
下图中的( )
A. B. C. D.
[解析] 由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，
故选B.
√
9.（多选题）下列说法正确的是( )
A.一个八棱柱有10个面
B.任意四面体都可以割成4个棱锥
C.过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱
[解析] 一个八棱柱有10个面，A正确；
在四面体内部选一点，与四个顶点连线，则可以割成4个棱锥，B正确；
只有过圆锥的顶点才有无数条母线，C不正确；
矩形绕其一边所在直线旋转一周一定形成一个圆柱，D不正确.故选 .
√
√
二、填空题
10.若正五边形的中心为，以 所在的直线为轴，其余五边
旋转半周形成的面围成一个几何体，则几何体是_________________
_________________________.
由一个圆台和一个圆锥组合而成的简单组合体
[解析] 由题意可知形成如图所示的几何体，该几何体
是由一个圆台和一个圆锥组合而成的简单组合体.
11.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几
何体可能是____________________________（填一种）.
圆柱（圆锥、球、圆台均可）
[解析] 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这
个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球，也可能是圆台.
12.如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶
点出发沿着长方体的外表面爬到顶点 ，则它爬行的最短路程是
_____.
[解析] 如图①，将面 和面
沿 展开到同一平面内，
此时, 之间的距离为
.
如图②，将面和面沿 展开
到同一平面内，此时,之间的距离为 .
如图③，将面和面沿展开到同一平面内，此时
， 之间的距离为. ，
小虫爬行的最短路程是 .
三、解答题
13.描述图中各几何体的结构特征.
解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；
图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；
图③所示的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱得到的组合体.
14.如图所示,四边形绕边所在的直线 旋转,其
中,.当点选在射线 上的不同位置时,
形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
解：当时,四边形绕直线 旋转一周所得几何体是由底
面半径为的圆柱和底面半径为 的圆锥拼接而成的组合体;
当时,四边形 绕直线 旋转一周所得几何体是圆柱;
当时,四边形绕直线 旋转一周所得几何体是从圆柱中
挖去一个同底的圆锥而得到的.
15.为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了 打印中心.
一名同学在 打印中心用橡胶打印了如图（1）所示的模具，该模具
是棱长为2的正方体截去两个三棱锥后剩下的部分.用一个平面截该模
具，截面图形可能为________（写出
所有满足条件的图的编号）.
①②⑤
图（1）
图（2）
[解析] 如图（a）所示的截面中， ，所对应的图形为题图①；
过棱的中点，作平行于底面的截面，如图（b）所示，则
， ，所对应的图形为题图②；
连接正方体三条面对角线的中点与底面的一个顶点，
得到如图（c）所示的截面，则
，所对应的图形为题图⑤；
对于题图③，它是边长为 的正方形，正方体的面对角线长为 ，显然在图中找不到边长为 的正方形截面，故题图③不符合题意；
对于题图④，两腰长为 ，为正方体的面对角线长，过正方体的两条面对角线的截面与几何体的另一条交线也为面对角线，即长度也为 ，故题图④也不符合题意.
16.在如图所示的几何体中，四边形 为
矩形，，， ，
，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，
指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点 的截面，截去一部分，使
剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
解：因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不
是棱柱.
如图，在上取一点，使，在 上
取一点，使，连接，， ，
则过点，， 的截面将原几何体分成两部分.
其中一部分是三棱柱 ，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥
，即截去的几何体是四棱锥.第2课时 旋转体、组合体
【课前预习】
知识点一
1.矩形的一边
2.旋转 垂直于轴 平行于轴 平行于轴
3.一条直角边 4.曲
5.平行于圆锥底面 底面与截面
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)根据圆柱母线的定义可知错误.
(2)以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周才能得到圆锥.
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是由线段绕一端点旋转一周得到的,都是圆.
(4)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,大于圆锥的底面半径.
2.解:类比棱台的定义,圆台还可以是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.
知识点二
它的直径 球面 球体
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)根据球的定义可知,半圆以它的直径所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫作球面,球面所围成的旋转体叫球.
(2)连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(3)连接球心(即为截面圆圆心)和球面上任意一点(取截面圆上一点)的线段叫作半径,由此可知所得截面的半径与球的半径相等.
知识点三
1.简单几何体 2.拼接 截去 挖去
诊断分析
解:图①是一个四棱锥和一个长方体构成的,这是多面体与多面体的组合体;图②是一个圆台挖去一个圆锥构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;图③是一个球挖去一个长方体构成的,这是旋转体与多面体的组合体.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] 对于A,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是两个圆锥的组合体,A错误;对于B,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台,B错误;对于C,圆锥只有一个底面,C错误;对于D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,大于圆锥的高,D正确.故选D.
变式 ACD [解析] 对于A,如图,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面,故A正确;对于B,由圆台的定义得,圆台的任意两条母线的延长线交于一点,故B错误;显然,C,D均正确.故选ACD.
探究点二
例2 解:图①是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何体.图②是由一个四棱柱和一个圆柱拼接而成的几何体.图③是由一个四棱柱与一个半圆柱拼接,并在相接处挖去一个圆柱组成的几何体.
变式1 AB [解析] 对于A,由多面体的定义可知该几何体是一个多面体,故A正确;对于B,由题图易知该几何体有9条棱和5个顶点,故B正确;对于C,该几何体有6个面,故C错误;对于D,该几何体是多面体,不是旋转体,故D错误.故选AB.
变式2 解:线段AB,BC,CD及曲线DE绕AE所在的直线旋转一周,分别形成圆锥、圆台和圆柱的侧面和半球面,如图所示.故得到的几何体由圆锥、圆台、圆柱和半球组成.
探究点三
例3 解:因为底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,四条侧棱相等,且PA=AB,
所以四棱锥P-ABCD是正四棱锥且所有的棱都相等.
将侧面ABP与侧面BCP展开到同一平面内,如图所示,连接EF.
在△PEF中,PE=3,PF=6,∠EPF=120°,
由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE·PF·cos∠EPF=9+36-2×3×6×=63,可得EF=3,
所以蚂蚁爬行的最短距离为3.
变式 解:将圆锥的侧面展开,如图所示,
则的长m=2πr=2π,∠ASA'===.
(1)连接AM,由题意知,绳长的最小值为展开图中线段AM的长,可得AM===2.
(2)当绳长最短时,在展开图中,过点S作AM的垂线,垂足为Q,则SQ的长即为顶点S到绳子的最短距离.
由三角形的等面积法得SQ===.
拓展 D [解析] 将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,如图所示.易知当A,D,E,A1四点共线时,AD+DE+EA1取得最小值,最小值为==3.故选D.第2课时 旋转体、组合体
1.A [解析] 由圆锥的定义可知A正确.故选A.
2.C [解析] 由圆柱、圆锥、圆台的定义可知,①是圆柱,②不是圆台,③是圆锥,④是圆锥与圆台的组合体.故选C.
3.C [解析] 螺母这个组合体的外部轮廓是六棱柱,因为螺母是旋拧在螺杆上的,所以挖去的部分近似是圆柱,故选C.
4.B [解析] 将等腰梯形ABCD绕着它的较长底边CD所在的直线旋转一周,易知所得的几何体为一个圆柱和两个圆锥的组合体.故选B.
5.B [解析] 由图可得,该几何体的面是等边三角形或正方形,A中结论正确;该几何体恰有14个面,B中结论不正确;该几何体恰有24条棱,C中结论正确;该几何体恰有12个顶点,D中结论正确.故选B.
6.C [解析] 设底面半径为r.若矩形的长为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,解得r=;若矩形的宽为卷成圆柱底面的周长,则2πr=4,解得r=.故选C.
7.C [解析] 截面图形应为选项C中的图形.
8.B [解析] 由组合体的结构特征知,球与正方体各面相切,与各棱相离,故选B.
9.AB [解析] 一个八棱柱有10个面,A正确;在四面体内部选一点,与四个顶点连线,则可以割成4个棱锥,B正确;只有过圆锥的顶点才有无数条母线,C不正确;矩形绕其一边所在直线旋转一周一定形成一个圆柱,D不正确.故选AB.
10.由一个圆台和一个圆锥组合而成的简单组合体 [解析] 由题意可知形成如图所示的几何体,该几何体是由一个圆台和一个圆锥组合而成的简单组合体.
11.圆柱(圆锥、球、圆台均可) [解析] 用一个平面去截一个几何体,得到的截面是一个圆面,则这个几何体可能是圆锥,也可能是圆柱,也可能是球,也可能是圆台.
12.3 [解析] 如图①,将面ABB1A1和面A1B1C1D1沿A1B1展开到同一平面内,此时A,C1之间的距离为=3.如图②,将面ABCD和面BCC1B1沿BC展开到同一平面内,此时A,C1之间的距离为=2.如图③,将面ABB1A1和面BCC1B1沿BB1展开到同一平面内,此时A,C1之间的距离为=.∵>2>3,∴小虫爬行的最短路程是3.
13.解:图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱得到的组合体.
14.解:当AD>BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD的圆柱和底面半径为CD的圆锥拼接而成的组合体;当AD=BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是圆柱;
当AD15.①②⑤ [解析] 如图(a)所示的截面中,AB=AC=BC==2,所对应的图形为题图①;过棱的中点,作平行于底面的截面,如图(b)所示,则AB=AF=CD=DE=×2=1,BC=EF=×2=,所对应的图形为题图②;连接正方体三条面对角线的中点与底面的一个顶点,得到如图(c)所示的截面,则BC=CD=AD=AB=×2=,所对应的图形为题图⑤;对于题图③,它是边长为2的正方形,正方体的面对角线长为2,显然在图中找不到边长为2的正方形截面,故题图③不符合题意;对于题图④,两腰长为2,为正方体的面对角线长,过正方体的两条面对角线的截面与几何体的另一条交线也为面对角线,即长度也为2,故题图④也不符合题意.
16.解:因为这个几何体中没有两个互相平行的面,所以这个几何体不是棱柱.
如图,在AA1上取一点E,使AE=2,在BB1上取一点F,使BF=2,连接C1E,EF,C1F,则过点C1,E,F的截面将原几何体分成两部分.其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其侧棱长为2;另一部分是四棱锥C1-EA1B1F,即截去的几何体是四棱锥.第2课时 旋转体、组合体
【学习目标】
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.
2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.
3.了解简单组合体及其结构特征,能根据条件判断几何体的类型.
◆ 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
定义及相关概念 图形及表示
圆 柱 1.定义:以 所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱 图中的圆柱记作圆柱O'O
2.相关概念: 圆柱的轴: 轴. 圆柱的底面: 的边旋转而成的圆面. 圆柱的侧面: 的边旋转而成的曲面. 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置, 的边
圆 锥 3.定义:以直角三角形的 所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥 图中的圆锥记作圆锥SO
4.相关概念: 圆锥的轴:旋转轴. 圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面. 侧面:直角三角形的斜边旋转而成的 面. 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
圆 台 5.定义:用 的平面去截圆锥, 之间的部分叫作圆台 图中的圆台记作圆台O'O
6.相关概念: 圆台的轴:旋转轴. 圆台的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面. 圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转而成的曲面. 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在圆柱的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线. ( )
(2)以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥. ( )
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆. ( )
(4)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面半径. ( )
2.图中的物体叫作圆台,除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢
◆ 知识点二 球的结构特征
球 图形及表示
定义:半圆以 所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫作 ,球面所围成的旋转体叫作 ,简称球 图中的球 表示为球O
相关概念: 球心:半圆的圆心. 半径:连接球心和球面上任意一点的线段. 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)球是以任意一条直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的几何体. ( )
(2)连接球面上两点的线段叫作球的直径. ( )
(3)过球的球心作球的截面,所得截面的半径与球的半径相等. ( )
◆ 知识点三 简单组合体
1.概念:由 组合而成,这些几何体称作简单组合体.现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.
2.两种基本形式:一种是由简单几何体 而成;一种是由简单几何体 或 一部分而成.
【诊断分析】 请指出如图所示的几何体是由哪些简单几何体组合而成的
◆ 探究点一 旋转体的结构特征
例1 [2024·哈尔滨九中高一期中] 下列说法正确的是 ( )
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高
变式 (多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
B.圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形
[素养小结]
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的化归与转化思想.
◆ 探究点二 简单组合体的结构特征
例2 观察图中的几何体,分析它们是由哪些简单几何体组成的.
变式1 (多选题)对于如图所示的几何体,以下说法正确的是 ( )
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱和5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
变式2 如图所示,在平面曲边图形ABCDE中,曲边DE为四分之一圆周,且圆心在AE上,AB,BC,CD为线段,CD∥AE,该曲边图形绕AE所在的直线旋转一周,得到的几何体是由哪些简单几何体组成的
◆ 探究点三 空间几何体的表面展开与折叠
例3 [2024·安徽淮南二中高一期中] 如图,底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,四条侧棱相等,且PA=AB,E,F分别为棱PA和PC上的点,PE=3,PF=6,F处有只蚂蚁欲沿该四棱锥的侧面爬行到E处,求蚂蚁爬行的最短距离.
变式 如图,在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA的中点.从点A拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点M.
(1)求绳子的最短长度;
(2)绳子长度最短时,求顶点S到绳子的最短距离.
[素养小结]
在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题,常转化为求其展开图中相应的线段长,即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.
拓展 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC=2,AA1=3,D,E分别是棱BB1,CC1上的动点,则AD+DE+EA1的最小值是 ( )
A.
B.5
C.7
D.3第2课时 旋转体、组合体
一、选择题
1.以下说法正确的是 ( )
A.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B.以直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C.以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.将直角三角形旋转一周所得的旋转体是圆锥
2.如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是 ( )
A.①是圆台 B.②是圆台
C.③是圆锥 D.④是圆台
3.如图所示的螺母可以看成一个组合体,则对其结构特征最接近的表述是 ( )
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
4.已知等腰梯形ABCD,现绕着它的较长底边CD所在的直线旋转一周,所得的几何体为 ( )
A.一个圆台和两个圆锥的组合体
B.一个圆柱和两个圆锥的组合体
C.两个圆台和一个圆柱的组合体
D.两个圆柱和一个圆台的组合体
5.如图,该几何体是由正方体截去八个相同的正三棱锥后得到的,则下列结论不正确的是 ( )
A.该几何体的面是等边三角形或正方形
B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱
D.该几何体恰有12个顶点
6.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是 ( )
A.2 B.2π
C.或 D.或
7.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面(且与底面不重合),则截面图形为 ( )
A B C D
8.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的 ( )
A B C D
9.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.一个八棱柱有10个面
B.任意四面体都可以割成4个棱锥
C.过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱
二、填空题
10.若正五边形ABCDE的中心为O,以AO所在的直线为轴,其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体,则几何体是 .
11.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是一个圆面,则这个几何体可能是 (填一种).
12.如图,长、宽、高分别为3,2,1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1,则它爬行的最短路程是 .
三、解答题
13.描述图中各几何体的结构特征.
14.如图所示,四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
15.为提高学生的动手能力,学校的学科拓展中心建立了3D打印中心.一名同学在3D打印中心用橡胶打印了如图(1)所示的模具,该模具是棱长为2的正方体截去两个三棱锥后剩下的部分.用一个平面截该模具,截面图形可能为 (写出所有满足条件的图的编号).
图(2)
16.在如图所示的几何体中,四边形AA1B1B为矩形,AA1=3,CC1=2,CC1∥AA1,CC1∥BB1,这个几何体是棱柱吗 若是棱柱,指出是几棱柱;若不是棱柱,作出一个过点C1的截面,截去一部分,使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱,并指出截去的几何体的名称.
