(共64张PPT)
8.2 立体图形的直观图
探究点一 画平面图形的直观图
探究点二 画空间几何体的直观图
探究点三 直观图的有关计算
【学习目标】
1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
知识点一 斜二测画法
1.直观图的认识
（1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画
立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，
用____________的点表示.
同一平面内
（2）在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的
__________.
平面图形
2.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
水平面
轴或轴的线段
保持原长度不变
一半
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）相等的角在直观图中相等.( )
×
[解析] 如正方形（四个内角都相等）的直观图为平行四边形
（相邻的内角互补，相对的内角相等）.
（2）通常情况下把椭圆作为圆的直观图.( )
√
[解析] 生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来像椭圆，因此我们
一般用椭圆作为圆的直观图.
（3）水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.( )
×
[解析] 水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
（4）水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中仍相等.( )
×
[解析] 水平放置的正方形的直观图中邻边不相等.
2.由直观图还原平面图形时，直观图中平行于轴、 轴的线段在平
面图形中长度如何变化
解：在直观图中平行于 轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于
轴的线段在平面图形中长度变为原来的2倍.
知识点二 简单几何体的直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个
与轴、轴都______的轴，并且使平行于 轴的线段的平行性和长
度________.
垂直
都不变
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）图①是一个正方体的直观图.( )
×
[解析] 被遮挡住的三条棱应画为虚线，如图所示.
（2）若图②是一个长方体的直观图，则原长方体的高为2.( )
×
[解析] 原长方体中的高线与轴平行，而与 轴平行的线段在直观图
中长度都不变，所以原长方体的高还是1.
探究点一 画平面图形的直观图
例1 画出如图所示的水平放置的直角梯形（其中， ）
的直观图.
解：在已知的直角梯形中，以底边所在直线为 轴，垂直于
的腰所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图①.
画出相应的轴和轴，使 ，在轴上截取，
在 轴上截取，过点作轴的平行线，在上沿 轴正方
向取点使得，连接 ，如图②.
擦去辅助线，所得四边形就是直角梯形 的直观图，
如图③.
变式 如图所示，在水平放置的中，, 边上的高
，试用斜二测画法画出其直观图.
解：（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系 ，
再建立如图②所示的坐标系，使 .
（2）在坐标系中，在轴上截取，，使 ,
；在轴上截取，使 .
（3）连接,，擦去辅助线，得到，即为 的直
观图（如图③所示）.
探究点二 画空间几何体的直观图
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为，， 的长方体
的直观图.
解：（1）画轴.画轴、轴、轴，三轴交于点 ，
使 ， ，如图①.
（2）画底面.以为中点，在轴上取线段
，使，在轴上取线段
，使 .
分别过点和作轴的平行线，过点和作 轴
的平行线，设它们的交点分别为,,,，则四边
形 就是长方体的底面的直观图，如图②.
（3）画侧棱.过,,,四点分别作 轴的平行线，并在这些平行线上
分别截取长的线段,,, ，如图③.
（4）成图.顺次连接,,, （如图④），
并加以整理（去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线），就可得到
长方体的直观图，如图⑤.
变式 画底面半径为,高为 的圆锥的直观图.
解：（1）如图所示，画轴、轴，使 .
（2）以为中点，在轴上取线段，使 .利用椭圆模
板画椭圆，使其经过， 两点，这个椭圆就是圆锥的底面的直观图.
（3）在上取点，使 .
（4）连接, ，整理得到圆锥的直观图，如图.
［素养小结］
简单几何体直观图的画法
（1）画轴：通常以高所在直线为 轴建系.
（2）画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面.
（3）确定顶点：利用与轴平行或在 轴上的线段确定有关顶点.
（4）连线成图.
探究点三 直观图的有关计算
例3 已知水平放置的 按照斜二测画法画出的
直观图如图所示，其中， ，
画出 的原图并求其面积.
解：画出 的原图如图所示，
其中 ， ，则
.
变式（1） 如图所示的是水平放置的 的直观图，其中
，则原 是一个( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 将水平放置的 的直观图还原，如图所示，
可知 , ,
，由勾股定理有 .
因为，
所以 是等腰三角形，不是等边三角形.
由大边对大角可知， 中最大角的余弦值为，
即 中最大角是锐角，
所以 是锐角三角形，不是直角三角形.
综上所述，只有C选项符合题意.故选C.
（2）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形 的直观图，得
到四边形，如图所示，已知，， ，
且 .
①求原平面图形 的面积；
解：将直观图还原得平面图形 ，如图，
因为，， ，且
，
所以，， ，且
， ，
原平面图形 为直角梯形，故原平面图形
的面积 .
②将原平面图形绕 旋转一周，判断所形成的几何体的形状.
解：将原平面图形绕 旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖
去一个圆锥后剩余的部分，如图.
［素养小结］
由直观图还原为平面图形的关键是找与轴、 轴平行的直线或线段,
且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于 轴的线段还原时放大
为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点,顺次连接即
可.由此可得,直观图面积与原图形面积的关系为 或
.
蒙日与画法几何缘起
加斯帕尔·蒙日是法国数学家、化学家和物理学家，生于博恩的
平民人家.少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，蒙日16岁时，
完全靠自己的智慧，制作各种测量工具，独自测绘，为博恩镇绘制
了一幅大比例地图，显示了他非凡的几何才能和动手能力.蒙日所在
学校的老师们被他崭露头角的天才和钻研精神深深地打动了，于是
极力推荐蒙日到里昂市的学校担任物理学教师.
在18世纪工业革命中，蒙日在参与军事防御工事设计时，对前
人的建筑制图做法进行了归纳总结，研究了如何用平面图来表示空
间形体的规律，提出了用多面正投影表达空间形体，从而创建了画
法几何，奠定了图学理论的基础.由于当时画法几何是军事机密，外
界一直未知晓，直到1794年蒙日才得到允许在巴黎师范学院将其公
开发布.此后各国学者有在投影变换和轴测图等方面不断提出新理论
和方法，使得这门学科日趋完善.
画法几何学是每一个设计人员和技术工人必须具备的一种通用
语言.按照这种语言，设计人员可以把自己头脑中设想的机器部件用
一张图纸上的两幅平面图形表示出来；图纸到了工厂，熟练的技术
工人根据这两幅平面图形立即想象出该部件的实际形状应该是什么
样子，并把它制造出来.因此，蒙日在《画法几何学》的导言中指出，
画法几何学既是使法国摆脱长期对外国工业的依赖、普及工业进步
不可缺少的知识，也是利用机器减轻手工劳动、提高产品精确度的
不可缺少的知识.正因为如此，《画法几何学》公开出版后便不胫而
走，迅速传入各国.起初是军工学校，之后是普通理工院校相继开设
了这一科目，出现了英、德、俄、日等语种的译本.画法几何学得到
广泛的推广应用，对各国工业的发展起了重要的推动作用.本世纪的
一位数学家评论说，没有蒙日的画法几何学，19世纪机器的大规模
的出现也许是不可能的.我们人类文明的相当大一部分要归功于数学
家蒙日.
现如今在中国大学里的机械、建筑、土木、船舶、汽车等本科
专业都开设了类似“画法几何和工程制图”的课程，同时中国从小学
便开始学习简单的几何课程，高中甚至开始学习复杂的解析几何.前
者为中国培养大量的制图工程师，后者初高中毕业生虽然没上大学，
但他们成为了数以亿计的能读懂图纸、能按图施工的技术工人、建
筑工人、装修工人.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时要透彻理解“三变”
与“三不变”.
2.画空间几何体直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的轴、轴,再取 轴,使
且 .
（2）把它们画成对应的轴、轴、轴,使
（或）, （或 ）.
（3）画底面时,平行于轴的线段在直观图中长度不变, 平行于 轴的
线段在直观图中长度减半.
（4）画侧棱（或高）时,平行于 轴的线段在直观图中长度不变.
（5）成图,顺次连接各个线段的端点,构成直观图（注意看得见的画
实线,看不见的画虚线）.
原图形与直观图的面积的计算
1.由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际
图形中的高，在直观图中变为与水平直线成 角且长度为原来一
半的线段，这样可得出所求图形相应的高.
例1 在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形
如图所示.已知为坐标原点， ，
， .在用斜二测画法画出的直观图
中，四边形 的面积为( )
A.4 B. C.8 D.
√
[解析] 画出直角梯形的直观图
如图所示，过点作，垂足为 .
因为 ， ，
所以， ，
又，所以，所以四边形 为矩形，
则，故四边形的面积 .故选A.
2.若一个水平放置的平面多边形的面积为，它的直观图的面积为 ，
则 .
例2 如图所示,是水平放置的 的直
观图,且是边长为的正三角形,求
的面积.
解:易知直观图中， ，则
.
练习册
一、选择题
1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把，， 轴画成对应的
，，轴，则与 的度数分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. 或 ，
[解析] 根据斜二测画法的规则，的度数应为 或 ，
指的是画立体图形时的轴与轴的夹角，所以度数为 .
故选D.
√
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法
错误的是( )
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
[解析] 根据斜二测画法可知，平行关系不变，即原图中平行，直观
图中也平行，原图中相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改
变，原来共点的仍共点.故选B.
√
3.已知，轴， 轴，在用斜二测画法画出的直
观图中，的直观图是，的直观图是 ，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 轴，轴，， ，
，故选C.
√
4.如图,是水平放置的 根据斜
二测画法得到的直观图,其中 ,
轴,轴,那么 是( )
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
[解析] 易知是直角三角形,且,故 不是等腰直
角三角形,故选D.
√
5.[2024·浙江宁波镇海中学高一期中]边长为2的正三角形用斜二测画
法得到的直观图的面积是( )
A. B. C. D.
[解析] 正三角形的直观图为 ，如图.
由题意知， ， ，
过点作 ，垂足为，则，
所以 的面积为 .故选A.
√
6.现有两个底面半径相等的圆锥，它们的底面重合在一起（底面平行
于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为 ，另一个圆锥
顶点到底面的距离为 ，则根据斜二测画法得到的直观图中这两
个顶点之间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆锥顶点到底面的距离即为圆锥的高，故两个顶点之间的距
离为，
在直观图中与 轴平行的线段长度不变，仍为 .故选D.
√
7.如图所示，是水平放置的 根据斜二测画法得到的直
观图，其中 ，则以下说法正确的是( )
A. 是钝角三角形
B.的面积是 面积的2倍
C.点的坐标为
D.的周长为
√
[解析] 根据题意，将还原成 ，
如图.
对于A，在 中，有，
易得 ，，故 是
等腰直角三角形，A错误；
对于B，的面积是 面积的倍，B错误；
对于C，B点的坐标为，C错误；
对于D， 的周长为 ，D正确.故选D.
8.（多选题）已知等腰三角形 如图，则下列四个
图形中可能是 的直观图的是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，当 时，其直观图是选项C；
当 时，其直观图是选项D.故选 .
√
√
9.（多选题）如图所示， 是根据斜二测画
法画出的水平放置的的直观图，为 的
中点，且轴，轴，那么在
中，下列说法正确的是( )
A.与长度相等 B.的长度大于 的长度
C.的长度大于的长度 D.的长度大于 的长度
[解析] 在原平面图形中，，D为的中点，则 与
长度相等，故A正确；
，故B错误，C正确；
的长度与的长度的大小关系不确定，故D错误．故选 .
√
√
二、填空题
10.斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直
观图的说法正确的是____.（填序号）
①矩形的直观图一定是矩形；
②等腰三角形的直观图一定是等腰三角形；
③平行四边形的直观图一定是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形.
③
[解析] 对于①，矩形的直观图可以是平行四边形，不一定是矩形，
故①错误；
对于②，等腰三角形的直观图不一定是等腰三角形，故②错误；
对于③，根据斜二测画法的规则得到直观图的平行关系不变，
平行四边形的直观图一定是平行四边形，故③正确；
对于④，菱形的直观图中，一组对边的长度可以改变， 菱形的直
观图不一定是菱形，故④错误.故填③.
11.已知用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图的面积为
，那么原正方形的面积为____.
72
[解析] 用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图的面积为
，那么原正方形的面积为 .
12.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯
形，若， ，
，则该平面图形的高为_____.
[解析] 由直观图可得该平面图形如图所示，
在直角梯形中， ，
则该平面图形的高为 .
三、解答题
13.如图，是水平放置的 用斜二测画法得到的直观图.
（1）试判断 的形状.
解：由斜二测画法规则知 ，故 为直角三角形.
（2）若图中中，，，则中 的长
度是多少？
解：由已知可得在中，，， ，故
.
14.如图所示，在平面直角坐标系中，已知，， ，
，，试用斜二测画法画出四边形 的直观图.
解：如图①所示，分别过点, ,
, 作轴的垂线，垂足分别为 ,
, ,，
在图②中画出相应的 轴和轴，
使 .
在 轴上截取，作轴，截取，确定点 .
同理确定点,,，其中，，.
顺次连接, ,,，去掉辅助线，得到四边形 的直观图，
如图③所示.
15.如图，边长为1的正方形 是一个水平放置的平面图形
的直观图，则平面图形以 所在直线为轴旋转一周所得
的几何体是( )
A.一个圆柱
B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C.一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一
个同底等高的圆锥的组合体
D.两个同底的圆锥的组合体
√
[解析] 由直观图画出原平面图形 ，
如图所示.
因为，所以 ，，
所以平面图形以 所在直线为轴旋转一周
所得的几何体为一个圆锥和一个同底面的圆柱内
部挖去一个同底等高的圆锥的组合体.故选C.
16.现欲设计一个阁楼，该阁楼可近似地看作一个直四棱柱和一个三
棱柱的组合体（三棱柱的一个侧面与直四棱柱的上底面重合），请
用斜二测画法画出其直观图（尺寸自定）.
①
解：画法：（1）先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观
图 ，如图①；
②
（2）以直四棱柱的上底面 为三棱柱的一个侧面画三棱柱的直观
图 ，可得组合体的直观图如图②.8.2 立体图形的直观图
【课前预习】
知识点一
1.(1)同一平面内 (2)平面图形
2.45° 135° 水平面 x'轴或y'轴的线段 保持原长度不变
一半
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补,相对的内角相等).
(2)生活经验告诉我们,水平放置的圆看起来像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.
(3)水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
(4)水平放置的正方形的直观图中邻边不相等.
2.解:在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在平面图形中长度变为原来的2倍.
知识点二
垂直 都不变
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)被遮挡住的三条棱应画为虚线,如图所示.
(2)原长方体中的高线与z轴平行,而与z轴平行的线段在直观图中长度都不变,所以原长方体的高还是1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①.画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC,连接B'C',如图②.擦去辅助线,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.
变式 解:(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy,
再建立如图②所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在坐标系x'O'y'中,在x'轴上截取O'B',O'C',使O'B'=OB,O'C'=OC;在y'轴上截取O'A',使O'A'=OA.
(3)连接A'B',C'A',擦去辅助线,得到△A'B'C',即为△ABC的直观图(如图③所示).
探究点二
例2 解:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①.
(2)画底面.以O为中点,在x轴上取线段MN(MO=ON),使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ(PO=OQ),使PQ=1.5 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面的直观图,如图②.
(3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图③.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D'(如图④),并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线),就可得到长方体的直观图,如图⑤.
变式 解:(1)如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)以O为中点,在x轴上取线段AB,使OA=OB=2 cm.利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点,这个椭圆就是圆锥的底面的直观图.
(3)在Oz上取点V,使OV=4 cm.
(4)连接VA,VB,整理得到圆锥的直观图,如图.
探究点三
例3 解:画出△ABC的原图如图所示,其中∠ABC=90°,AB=BC=4,则S△ABC=×4×4=8.
变式 (1)C [解析] 将水平放置的△ABC的直观图还原,如图所示,可知AO=2A'O'=2,OB=OC=B'O'=C'O'=1,AO⊥BC,由勾股定理有AB=AC==.因为AB=AC=>2=BC,所以△ABC是等腰三角形,不是等边三角形.由大边对大角可知,△ABC中最大角的余弦值为=>0,即△ABC中最大角是锐角,所以△ABC是锐角三角形,不是直角三角形.综上所述,只有C选项符合题意.故选C.
(2)解:①将直观图还原得平面图形ABCD,如图,因为A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C',
所以AB=3,BC=2,AD=6,且AD∥BC,AB⊥AD,
原平面图形ABCD为直角梯形,故原平面图形ABCD的面积S==12.
②将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的部分,如图.8.2 立体图形的直观图
1.D [解析] 根据斜二测画法的规则,∠x'O'y'的度数应为45°或135°,∠x'O'z'指的是画立体图形时的x'轴与z'轴的夹角,所以度数为90°.故选D.
2.B [解析] 根据斜二测画法可知,平行关系不变,即原图中平行,直观图中也平行,原图中相交,直观图中也相交,但相对应的角度会改变,原来共点的仍共点.故选B.
3.C [解析] ∵AB∥x轴,CD∥y轴,∴AB=A'B',CD=2C'D',∴A'B'=AB=2CD=2×2C'D'=4C'D',故选C.
4.D [解析] 易知△ABC是直角三角形,且AC=2AB,故△ABC不是等腰直角三角形,故选D.
5.A [解析] 正三角形ABC的直观图为△A'B'C',如图.由题意知A'B'=2,O'C'=,∠C'O'B'=45°,过点C'作C'D'⊥A'B',垂足为D',则C'D'=,所以△A'B'C'的面积为×2×=.故选A.
6.D [解析] 圆锥顶点到底面的距离即为圆锥的高,故两个顶点之间的距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.故选D.
7.D [解析] 根据题意,将△A'B'C'还原成△ABC,如图.对于A,在△ABC中,有OC=OA=OB=2,易得BC=AB=2,AC=4,故△ABC是等腰直角三角形,A错误;对于B,△ABC的面积是△A'B'C'面积的2倍,B错误;对于C,B点的坐标为(0,2),C错误;对于D,△ABC的周长为BC+AB+AC=4+4,D正确.故选D.
8.CD [解析] 如图,当∠x'O'y'=135°时,其直观图是选项C;当∠x'O'y'=45°时,其直观图是选项D.故选CD.
9.AC [解析] 在原平面图形△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,则AB与AC长度相等,故A正确;AB=AC>AD,故B错误,C正确;BC的长度与AD的长度的大小关系不确定,故D错误.故选AC.
10.③ [解析] 对于①,矩形的直观图可以是平行四边形,不一定是矩形,故①错误;对于②,等腰三角形的直观图不一定是等腰三角形,故②错误;对于③,根据斜二测画法的规则得到直观图的平行关系不变,∴平行四边形的直观图一定是平行四边形,故③正确;对于④,菱形的直观图中,一组对边的长度可以改变,∴菱形的直观图不一定是菱形,故④错误.故填③.
11.72 [解析] 用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图的面积为18,那么原正方形的面积为18×2=72.
12.4 [解析] 由直观图可得该平面图形如图所示,在直角梯形O'A'B'C'中,O'C'==2,则该平面图形的高为OC=2O'C'=4.
13.解:(1)由斜二测画法规则知∠ACB=90°,故△ABC为直角三角形.
(2)由已知可得在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,故AB==10.
14.解:如图①所示,分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,G,H,F,在图②中画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取E'A'=EA,确定点A'.同理确定点B',C',D',其中B'G'=BG,C'H'=CH,D'F'=DF.顺次连接A',B',C',D',去掉辅助线,得到四边形ABCD的直观图,如图③所示.
15.C [解析] 由直观图O'A'B'C'画出原平面图形OABC,如图所示.因为O'B'=,所以OB=2,OA=1,所以平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得的几何体为一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体.故选C.
16.解:画法:(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD,如图①;
①
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的一个侧面画三棱柱的直观图ADE-BCF,可得组合体的直观图如图②.
②8.2 立体图形的直观图
【学习目标】
1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
◆ 知识点一 斜二测画法
1.直观图的认识
(1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用 的点表示.
(2)在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的 .
2.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相等的角在直观图中相等. ( )
(2)通常情况下把椭圆作为圆的直观图. ( )
(3)水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.( )
(4)水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中仍相等. ( )
2.由直观图还原平面图形时,直观图中平行于x'轴、y'轴的线段在平面图形中长度如何变化
◆ 知识点二 简单几何体的直观图的画法
画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都 的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)图①是一个正方体的直观图. ( )
(2)若图②是一个长方体的直观图,则原长方体的高为2. ( )
◆ 探究点一 画平面图形的直观图
例1 画出如图所示的水平放置的直角梯形(其中OB∥CD,OD⊥OB)的直观图.
变式 如图所示,在水平放置的△ABC中,BC=8 cm,BC边上的高AD=6 cm,试用斜二测画法画出其直观图.
◆ 探究点二 画空间几何体的直观图
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
变式 画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图.
[素养小结]
简单几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
◆ 探究点三 直观图的有关计算
例3 已知水平放置的△ABC按照斜二测画法画出的直观图△A'B'C'如图所示,其中B'C'=4,A'B'=2,画出△ABC的原图并求其面积.
变式 (1)如图所示的△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中A'O'=B'O'=C'O'=1,则原△ABC是一个 ( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD的直观图,得到四边形A'B'C'D',如图所示,已知A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C'.
①求原平面图形ABCD的面积;
②将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,判断所形成的几何体的形状.
[素养小结]
由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.由此可得,直观图面积S'与原图形面积S的关系为S'=S或S=2S'.8.2 立体图形的直观图
一、选择题
1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z'轴,则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 ( )
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是 ( )
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
3.已知AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,在用斜二测画法画出的直观图中,AB的直观图是A'B',CD的直观图是C'D',则 ( )
A.A'B'=2C'D' B.A'B'=C'D'
C.A'B'=4C'D' D.A'B'=C'D'
4.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图,其中A'B'=A'C',A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,那么△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
5.[2024·浙江宁波镇海中学高一期中] 边长为2的正三角形用斜二测画法得到的直观图的面积是 ( )
A. B.2 C. D.2
6.现有两个底面半径相等的圆锥,它们的底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则根据斜二测画法得到的直观图中这两个顶点之间的距离为 ( )
A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm
7.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B'=2,则以下说法正确的是 ( )
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC的面积是△A'B'C'面积的2倍
C.B点的坐标为(0,)
D.△ABC的周长为4+4
8.(多选题)已知等腰三角形ABC如图,则下列四个图形中可能是△ABC的直观图的是 ( )
A B C D
9.(多选题)如图所示,△A'B'C'是根据斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,D'为B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么在△ABC中,下列说法正确的是 ( )
A.AB与AC长度相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
二、填空题
10.斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是 .(填序号)
①矩形的直观图一定是矩形;
②等腰三角形的直观图一定是等腰三角形;
③平行四边形的直观图一定是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
11.已知用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图的面积为18,那么原正方形的面积为 .
12.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形O'A'B'C',若O'A'∥B'C',O'A'=2B'C'=4,A'B'=2,则该平面图形的高为 .
三、解答题
13.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图.
(1)试判断△ABC的形状.
(2)若图中△A'B'C'中,A'C'=6,B'C'=4,则△ABC中AB的长度是多少
14.如图所示,在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5),试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图.
15.如图,边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图,则平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得的几何体是 ( )
A.一个圆柱
B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C.一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体
D.两个同底的圆锥的组合体
16.现欲设计一个阁楼,该阁楼可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体(三棱柱的一个侧面与直四棱柱的上底面重合),请用斜二测画法画出其直观图(尺寸自定).
