4.1.2 利用二分法求方程的近似解 学案3（含答案）

4.1.2
利用二分法求方程的近似解
学案
课标解读
1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)
知识点
二分法
【问题导思】　
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10
km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10
km长，大约有200多根电线杆子(如图)：
1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
【提示】　首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.
2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．
【提示】　能．
1．二分法
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
2．用二分法求方程的近似解的过程
在图中：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.
(见学生用书第66页)
类型一
二分法的理解
　下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
【思路探究】　解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
【自主解答】　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.
【答案】　B
若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；
2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；
3．f(a)·f(b)<0.
则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．
下列函数中能用二分法求零点的是(　　)
【解析】　选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．
【答案】　C
类型二
用二分法求方程的近似解
　求方程lg
x－2－x＋1＝0的一个实数解(精度为0.1)．
【思路探究】　先构造函数f(x)＝lg
x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．
【自主解答】　令f(x)＝lg
x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．
又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933
032
991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．
使用二分法求解，如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
0.1
－0.933
032
991
1
0.5
0.9
第2次
0.1
－0.933
032
991
0.55
0.057
342
561
0.45
第3次
0.325
－0.286
415
025
0.55
0.057
342
561
0.225
第4次
0.437
5
－0.097
435
015
0.55
0.057
342
561
0.1125
第5次
0.493
75
－0.016
669
324
0.55
0.057
342
561
0.056
25
至此，区间[0.493
75,0.55]的区间长度为0.056
25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间的任意一个数作为方程lg
x－2－x＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg
x－2－x＋1＝0的近似解．
用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．
　求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)
【解】　记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
1
－1
1.5
0.875
0.5
第2次
1.25
－0.296
875
1.5
0.875
0.25
第3次
1.25
－0.296
875
1.375
0.224
609
375
0.125
第4次
1.312
5
－0.051
513
671
1.375
0.224
609
375
0.062
5
至此，我们得到，区间[1.312
5,1.375]的区间长度为0.062
5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．
类型三
二分法的实际应用
　如图4－1－1，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x
cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
图4－1－1
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)
【思路探究】　先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．
【自主解答】　(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.
令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．
由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．
如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
0
－150
1
19
1
第2次
0.5
－52
1
19
0.5
第3次
0.75
－13.31
1
19
0.25
第4次
0.75
－13.31
0.875
3.62
0.125
第5次
0.812
5
－4.65
0.875
3.62
0.062
5
至此，我们得到区间[0.812
5,0.875]的区间长度为0.062
5，它小于0.1，因此我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程的一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．
同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.
答：如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82
cm或4.72
cm.
二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．
　电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1
000元之间，选手开始报价：1
000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
【解】　取价格区间[500,1
000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1
000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.
函数与方程的思想在二分法中的应用
　(12分)用二分法求的近似值．(精确度0.1)
【思路点拨】　本题要求的近似值，可首先把确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值．
【规范解答】　设x＝，则x2＝5，
即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16<0，2分
f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.6分
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
∴x0∈(2.2,2.3)8分
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062
5.
因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25).10分
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以的近似值可取为2.25.12分
1．对精确度的理解要正确，精确度ε满足的关系为|a－b|<ε，而不是|a－b|≤ε或|f(a)－f(b)|<ε.
2．解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
1．二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.
(见学生用书第67页)
1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　　)
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
【解析】　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；函数f(x)的零点 f(x)＝0的根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
【答案】　A
2．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　　)
A．(1.25,1.5)　　　　　　　B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
【解析】　由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
【答案】　A
3．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【解析】　令f(x)＝x3－2x－5，
由于f(2)＝8－4－5＝－1＜0，f(3)＝27－6－5＝16，
f(2.5)＝＞0，
故下一个有根区间是(2,2.5)．
【答案】　(2,2.5)
4．求方程ln
x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精度为0.1)
【解】　令f(x)＝ln
x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．
因为f(2)＝ln
2－1<0，f(3)＝ln
3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
2
－0.306
85
3
1.098
61
第2次
2
－0.306
85
2.5
0.416
29
第3次
2
－0.306
85
2.25
0.060
93
第4次
2.125
－0.121
23
2.25
0.060
93
第5次
2.187
5
－0.029
74
2.25
0.060
93
至此，我们得到区间[2.1875,2.25]的区间长度为0.062
5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程ln
x＋x－3＝0的一个近似解，例如，选取2.2作为方程ln
x＋x－3＝0的一个近似解．
(见学生用书第123页)
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是(　　)
【解析】　由二分法的定义可知，B项符合题意．
【答案】　B
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406
5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)
A．1.21　　　B．1.31　　　C．1.41　　　D．1.51
【解析】　由表知f(1.438)>0，f(1.406
5)<0，且区间[1.4065,1.438]的区间长度为0.031
5，它小于0.1，因此我们可以选取这个区间的任意一个数为方程的近似根．
【答案】　C
3．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0(　　)
A．在区间(a，c)内
B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，b)内
D．等于
【解析】　因为f(x)在区间(a，b)上的零点唯一，又f(c)＝0，故零点为c.
【答案】　D
4．用二分法可以求得方程x3＋5＝0的近似解(精度为0.1)为(　　)
A．－1.5
B．－1.8
C．－1.6
D．－1.7
【解析】　令f(x)＝x3＋5，易知f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1.7.
【答案】　D
5．函数y＝()x与函数y＝lg
x的图像的交点的横坐标(精确度0.1)约是(　　)
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
【解析】　设f(x)＝lg
x－()x，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg
2－>0，所以方程lg
x－()x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
【答案】　D
二、填空题
6．(2013·包头高一检测)求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【解析】　f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)．
【答案】　(2,2.5)
7．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
【解析】　设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.
【答案】　4
8．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则
①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；
②函数f(x)在(3,5)内无零点；
③函数f(x)在(2,5)内有零点；
④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．
以上说法错误的是________(将标号填在横线上)．
【解析】　由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．
【答案】　①②③
三、解答题
9．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
【解】　函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，
得x5＝x＋1，
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图所示，显然它们只有1个交点．两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，
∴函数的零点在区间(1,2)内．
10．求方程log3x＝x－5的一个实数解(精度为0.1)．
【解】　构造函数f(x)＝log3x－x＋5，经计算，f(5)＝log35－5＋5＝1.464
973
521>0，f(9)＝log39－9＋5＝－2<0，所以方程log3x＝x－5在区间[5,9]内有解．
如此下去，得到方程log3x＝x－5有解区间的表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
5
1.464
973
521
9
－2
4
第2次
5
1.464
973
521
7
－0.228
756
25
2
第3次
6
0.630
929
753
7
－0.228
756
25
1
第4次
6.5
0.203
787
765
7
－0.228
756
25
0.5
第5次
6.5
0.203
787
765
6.75
－0.011
859
507
0.25
第6次
6.625
0.096
126
18
6.75
－0.011
859
507
0.125
第7次
6.687
5
0.042
173
09
6.75
－0.011
859
507
0.062
5
至此，我们得到区间[6.687
5,6.75]的区间长度为0.062
5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程log3x＝x－5的一个近似解．例如，选取6.7作为方程log3x＝x－5的一个近似解．
11．求函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
【解】　用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).
x
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
f(x)
－1.25
2
2.25
1
－0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点．
同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域(－∞，－1.5)和(1，＋∞)内是增函数，在[－1.5,1]内是减函数．所以它共有3个零点.