(共71张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
探究点三 简单组合体的表面积和体积
【学习目标】
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积.
3.能用公式解决简单的实际问题.
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.表面积是几何体______的面积，它表示几何体______的大小.
表面
表面
2.多面体的表面积就是围成多面体______________的和.
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的______________的和.
各个面的面积
各个面的面积
3.几种特殊多面体的侧面积公式
（为底面周长, 为高）；
（为底面周长, 为斜高）；
（为上底面周长,为下底面周长, 为斜高）.
4.几种特殊多面体的表面积公式
______（ 为棱长）；
_____（ 为棱长）；
_______________（,, 分别为长、宽、高）.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和.( )
×
[解析] 五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
（2）沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.
( )
×
[解析] 剪开的棱不同，同一个多面体的表面展开图可能不同，但无
论怎么剪开，表面积相等.
（3）如果一个正方体的每条棱都增加 ，它的表面积扩大为原来
的4倍，那么扩大后的正方体的棱长为 .( )
×
[解析] 设原来正方体的棱长为，则 ，可得
，所以扩大后的正方体的棱长为 .
2.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的两底面面积之和为
______，侧面积为_____，表面积为____________.
144
[解析] 由题知两底面面积之和为 ，侧面积为
，则该正六棱柱的表面积为 .
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
1.棱柱的体积公式：____（为棱柱的底面面积, 为棱柱的高）.
2.棱锥的体积公式：_____（为棱锥的底面面积, 为棱锥的高）.
3.棱台的体积公式：_________________（, 分别为棱台的上、
下底面面积, 为棱台的高）.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相
等.( )
×
[解析] 底面面积相等、高相等的所有棱柱的体积均相等.
（2）锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一.( )
√
（3）两个正方体的体积之比为 ，则这两个正方体的棱长之比为
.( )
√
2.若某正棱台的底面是正方形，上底面边长为4，下底面边长为10，
高为4，则此正棱台的体积为_____.
208
[解析] 此正棱台的体积 .
3.根据棱柱、棱锥、棱台之间的关系，你能发现三者的体积公式之间
的关系吗
解：当棱台的上底面按同一比例缩小，且使上底面缩为一点时，棱
台的体积公式变为棱锥的体积公式；
当棱台的上底面按同一比例增大，且使上底面与下底面全等时，棱台
的体积公式变为棱柱的体积公式.
由此可知棱柱、棱锥的体积公式是棱台的体积公式的特殊情况.
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1（1） 若正三棱锥的底面边长为 ，三条侧棱两两垂直，则它的
侧面积为_____.
[解析] 因为正三棱锥的底面边长为 ,三条侧棱两两垂直，所以该三
棱锥的三个侧面均为全等的等腰直角三角形，且斜边长为 ，故侧棱
长为，则它的侧面积为 .
（2）[2024·无锡高一期中] 若正三棱台 的上底面边长
为1，下底面边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为_ ___.
[解析] 根据题意，正三棱台 的上、下底面均为等边三
角形，上底面是边长为1的等边三角形，下底面是边长为2的等边三
角形，侧面为等腰梯形，上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所
以侧面梯形的高 ，
所以表面积 .
变式 已知正四棱锥的底面边长是2，高为 ，则这个正四棱锥的侧
面积是_____.
[解析] 如图所示，，，设为
的中点，连接，，所以 ，
则 ，所以
，则
.
［素养小结］
求解正棱台的表面积时注意棱台的基本量:底面边长、高、斜高、侧
棱长，并注意两个直角梯形的应用.
（1）高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
（2）高，斜高，上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所
成的直角梯形.
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例2（1） 已知正四棱台上、下底面边长分别为2和8，侧面梯形的高
为5，则该正四棱台的体积为_____.
112
[解析] 如图，取正四棱台的轴截面 ，
，，， 分别为所在棱的中点，由题意可
知，，.
，垂足为，则，正四棱台的高
，所以该正四棱台的体积为 .
（2）已知正方体的棱长为2，，分别为 ，
的中点，则三棱锥 的体积为__.
[解析] 如图， 正方体 的棱长
为2，，分别为， 的中点，
，
.
变式 在棱长为2的正四面体中，，分别为， 的中
点，点是线段上一点，且，则三棱锥 的体
积为_ ___.
[解析] 如图，正四面体的棱长为2，点在平面 内
的射影为点，点是三角形的中心，点在
上， ，则
，所以三棱锥 的体积
.
，因为，且，所以点 到平面
的距离是点到平面距离的，所以三棱锥 的体积
.
［素养小结］
求几何体体积时需注意的问题：对棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，
一般要找出相应的底面和高（等积转化法），要充分利用截面，求
出所需要的量，最后代入公式计算.求台体的体积时，也可以将台体
转化为锥体计算.
探究点三 简单组合体的表面积和体积
例3 如图，某几何体的下部分是长、宽均
为8，高为3的长方体 ，
上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥
，求：
（1）该几何体的体积；
解：由题意得
，
，
故该几何体的体积
.
（2）该几何体的表面积.
解：如图所示，连接，，设
与交于点，取的中点 ，连接
，，
， ，
，
则四棱锥 的表面积，
长方体 的侧面积 ，
故该几何体的表面积 .
变式 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平
面截出一个三棱锥，则该三棱锥的体积与剩下的几何体
体积的比值为___.
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为，， ，则
长方体的体积 ，所截三棱锥的体积
，
所以所截三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值为
.
［素养小结］
求组合体的表面积与体积的关键是先弄清组合体中各简单几何体的
结构特征及组合形式，再分别代入公式求解.
拓展 如图，在多面体 中，已知四
边形 是边长为1的正方形，且
，均为正三角形， ，
，则该多面体的体积为_ ___.
[解析] 分别过点，作 的垂线，垂足分
别为，，连接， ，则多面体
被分为三棱锥 ，三棱柱
，三棱锥 三个部分.
由四边形是边长为1的正方形，且， 均为正三角形，
，，易得 ， ，
，
该 多面体的体积
.
1.多面体的表面积就是多面体各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式中的高为几何体的斜高（侧面的高）.
3.棱柱、棱锥、棱台的体积公式
（1）棱柱、棱锥、棱台的体积公式中的高为几何体的高,即为顶点到
底面或两底面之间的距离.
（2）棱台的体积公式,当时,为棱柱的体积公式,当 时,为
棱锥的体积公式.
.
1.计算棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解；计算
其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用.
2.求简单几何体的表面积与体积，一要掌握这些几何体的表面积和体
积的计算公式，二要分清要求的是哪类的几何体，或者是由哪些简
单几何体组成，然后再用公式求其表面积和体积.
3.体积变换包括体积割补和等积变换，体积割补的目的是应用公式计
算体积，等积变换的目的是以体积为中间媒介，计算相关元素.特别
对于棱锥，它可补成棱柱，可置换底面、置换顶点，有较大的灵活
性，若技巧运用得当，则可使解题过程简化.
4.“割补法”是求不规则几何体体积的基本方法，通过割补使不规则几
何体成为规则几何体，利用规则几何体的体积公式求出其体积，然
后再加上或减去“割”或“补”的那一部分体积即得原几何体的体积,“割
补法”也体现了转化的数学思想在立体几何中的应用.
例（1） 如图，某广场设置了一些石凳供大家休
息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体
得到的，如果正方体的棱长是 ，那么石凳
的体积是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知，截去的八个四面体是一样
的正三棱锥，
这八个正三棱柱的体积之和是
，
正方体的体积为 ，
则石凳的体积是 . 故选B.
（2）已知三棱柱的体积为120，点， 分别在侧棱
，上，且，则三棱锥 的体积为( )
A.20 B.30 C.40 D.60
√
[解析] 如图，连接，， ，
，且点到平面 的距
离等于点B到平面 的距离，
，
又 ，
，
，可得
.
又，且与
到平面 的距离相等，
，
又三棱柱 的体积为120，
.故选C．
（3）[2024·河北邢台高一期中] 所有顶点都在两个平行平面内的多
面体叫作拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余
各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高.现
有一拟柱体，上、下底面均为正六边形，且下底面边长为 ，上
底面各顶点在下底面的射影为下底面各边的中点，高为3，则该拟柱
体的体积为_______.
[解析] 过上底面的顶点向下底面作垂线，可
得该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与
外侧6个四棱锥的体积之和，如图，
， ，
所以正六棱柱的体积为.
取的中点 ， 连接，
则 平面 ，且 ，
，
故四棱锥 的体积为
，
从而拟柱体的体积为. . .
练习册
一、选择题
1.棱长为3的正方体的表面积为( )
A.27 B.64 C.54 D.36
[解析] 所求表面积为 .
√
2.已知高为3的三棱柱 的底面是边长为1的正
三角形（如图），则三棱锥的体积 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
3.[2024·安徽铜陵一中高一期中]某施工队要给一个正四棱锥形的屋
顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为，底面边长是 ，
接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该正四棱锥的侧面三角形底边上的高为
该正四棱锥的高为，底面边长是， 根据勾股定理得
， 该正四棱锥的侧面积为
，即需要油毡的面积为 .故选B.
√
4.底面是菱形的棱柱的侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，底面菱形的
对角线的长分别是和 ，则这个棱柱的侧面积是( )
A.130 B.140 C.150 D.160
[解析] 由题意可设棱柱的底面菱形的边长为 ，因为底面是菱形，
所以其对角线互相垂直，所以 ，所以棱柱
的侧面积 .
√
5.在侧棱长为2的正三棱锥中，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体
积是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，在正三棱锥中，取
的中点D，连接，则在平面 上的射
影在上，且为的中心.
正三角形的周长为9，，
，，
又， 正三棱锥 的高 ，
.故选B.
6.如图所示，在长方体 中，
，， ，则将该长方体截去
一个三棱锥 后剩余几何体的体积为
( )
A.50 B.30 C.25 D.15
[解析] 因为，， ，所以长方体的体积
，
，所以长方体
截去一个三棱锥后剩余几何体的体积为 .
√
7.校园文创，是指以学校特有的校园文化内涵为基础，
经过精妙构思和创作，生产符合校园文化精神、传播
校园文化品牌的特殊产品和服务.它既是学校文化的物
化形式，同时也是学校文化的传播载体.某文创小组设
计了一款校园香囊，它是由6个边长为 的全等正三
角形拼接而成的六面体（如图），那么一个香囊的容
量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，这个六面体可视为由共底面的两个
棱长为 的正四面体拼接而成，如图，
正四面体的棱长为，为正三角形
的中心，连接，，则正三角形 外接圆的半径
，正四面体 的
高 ，
故 ，
所以一个香囊的容量为 .故选C.
8.如图，在三棱锥中，， 分别为
，的中点，记三棱锥 的体积为
，三棱锥的体积为，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 是的中点，,C到平面 的
距离相等， .
又D是的中点，到平面的距离等于 到平面的距离的 ，
， ， .故选C.
9.（多选题）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分
几何体，且上、下两部分的高之比为 ，则关于上、下两几何体的
说法正确的是( )
A.侧面积之比为 B.侧面积之比为
C.体积之比为 D.体积之比为
√
√
[解析] 由题可知，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ，得到上、
下两部分几何体，，易知为棱锥，为棱台，且， 的
高的比值为，
设棱锥的高为，侧面积为，棱锥的高为 ，侧面积为，
则，，所以棱锥和棱台 的侧面积之比为，
易得棱锥和棱锥的底面积的比值为，所以棱锥 和棱锥的体积
的比值为，故棱锥和棱台 的体积之比为.故选 .
二、填空题
10.一个正六棱柱的底面边长为,高为 ,则这个正六棱柱的表
面积为 ___________ .
[解析] 正六棱柱的底面是边长为 的正六边形，侧面是6个长方形，
其下底面的面积 ，侧面积
，故正六棱柱的表面积
.
11.如图是一个正四棱台 ，已知正
四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为
，则该正四棱台的侧面积为______.
[解析] 设该正四棱台的高为，侧面梯形的高为 ，由已知得
，所以 ，
则 ，
所以正四棱台的侧面积为 .
12.如图①，一个正三棱柱形容器的底面边长
为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把
一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好
是中截面，则图①中水面的高度是__.
[解析] 在图②中，水面是中截面，水面以上的部分是一个小三棱柱，
所以这个小三棱柱的底面积是原来大三棱柱底面积的 ，
从而这个小三棱柱的体积是原来大三棱柱体积的 （高一样），所以
水的体积是原来大三棱柱体积的，则图①中水面的高度是三棱柱
高的，即为 .
三、解答题
13.已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，， .
（1）求这个长方体的体对角线长；
解：设此长方体共顶点的三条棱的长分别为，，，则 ，
，，解得，， ，故这个长方体的
体对角线长为 .
（2）求这个长方体的体积.
解：由（1）可知这个长方体的体积 .
14.[2024·合肥一中高一期中] 如图所示，底面边长
为的正四棱锥 被平行于其底面的平面
所截，截去一个底面边长为 ，高为4的正四棱锥
.
（1）求棱台 的体积；
解：过点作 底面于点，交平面
于点 ，如图，
由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面 的中心，
则 ，
即棱台的高 ，
.
（2）求棱台 的表面积.
解：如图，连接 ，则 ，
则 .
作于点 ，
则 ，
故棱台 的表面积
.
15.某公园今年春天成为了网红打
卡地，公园里不仅有美丽的景色，
各种亭台楼阁也是各有特色.十字
A.88 B. C.64 D.
歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图①中的角楼的顶部即为
十字歇山顶，其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体
（图②）.这两个直三棱柱有一个公共侧面.在底面 中，若
， ，则该几何体的体积为( )
√
[解析] 如图所示，几何体为直三棱柱
和两个三棱锥, 构
成的组合体，
设直三棱柱的高为 ，底面的面积为.
， 所以
，
且 ，所以该几何体
的体积 . 故选C.
16.求一个棱长为 的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你
将它补充完成.
解：构造一个棱长为1的正方体，我
们称之为该四面体的“生成正方体”
（如图①），则四面体 为棱
长是 的正四面体，且有
.
（1）模仿题中解法，对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，
记两者的体积依次为 和 ，试给出这两个体积之间
的一个关系式，不必证明；
解： .
（2）如图②，一个相对棱长都相等的四面体
（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分
别为，， ，类比上述中的方法或
结论，求此四面体的体积.
解：构造该四面体的“生成长方体”（图略），设长方体共顶点的三
条棱的长分别为，，，则有可得 故此四面
体的体积 .8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
1.表面 表面 2.各个面的面积 各个面的面积
4.a2 6a2 2(ab+bc+ca)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
(2)剪开的棱不同,同一个多面体的表面展开图可能不同,但无论怎么剪开,表面积相等.
(3)设原来正方体的棱长为x cm,则6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以扩大后的正方体的棱长为2 cm.
2.48 144 144+48 [解析] 由题知两底面面积之和为2××42×6=48,侧面积为6×6×4=144,则该正六棱柱的表面积为144+48.
知识点二
1.Sh 2.Sh 3.h(S'++S)
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)底面面积相等、高相等的所有棱柱的体积均相等.
2.208 [解析] 此正棱台的体积V=×(16+100+)×4=208.
3.解:当棱台的上底面按同一比例缩小,且使上底面缩为一点时,棱台的体积公式变为棱锥的体积公式;当棱台的上底面按同一比例增大,且使上底面与下底面全等时,棱台的体积公式变为棱柱的体积公式.由此可知棱柱、棱锥的体积公式是棱台的体积公式的特殊情况.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)a2 (2) [解析] (1)因为正三棱锥的底面边长为a,三条侧棱两两垂直,所以该三棱锥的三个侧面均为全等的等腰直角三角形,且斜边长为a,故侧棱长为a,则它的侧面积为3××a×a=a2.
(2)根据题意,正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面均为等边三角形,上底面是边长为1的等边三角形,下底面是边长为2的等边三角形,侧面为等腰梯形,上底边长为1,下底边长为2,腰长为1,所以侧面梯形的高h=,所以表面积S=×1×1×+×2×2×+3×=.
变式 8 [解析] 如图所示,AO=,QR=2,设B为QR的中点,连接AB,OB,所以OB=1,则AB==2,所以S△AQR=2×2×=2,则S侧=2×4=8.
探究点二
例2 (1)112 (2) [解析] (1)如图,取正四棱台的轴截面ABCD,A,B,C,D分别为所在棱的中点,由题意可知AB=2,CD=8,AD=BC=5.过点A作AE⊥CD,垂足为E,则DE=3,正四棱台的高AE==4,所以该正四棱台的体积为×(22+82+)×4=112.
(2)如图,∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,∴S△AMN=×1×1=,∴==××2=.
变式 [解析] 如图,正四面体的棱长为2,点C在平面PAB内的射影为点O,点O是三角形PAB的中心,点O在MB上,BO=××2=,则CO==,所以三棱锥C-PBA的体积VC-PBA=××2×2××=.S△PMB=S△PAB,因为PD=NP,且NB=CB,所以点D到平面PAB的距离是点C到平面PAB距离的,所以三棱锥P-MBD的体积VD-PBM=VC-PBA=×=.
探究点三
例3 解:(1)由题意得=8×8×3=192,
=×8×8×3=64,
故该几何体的体积V=+=192+64=256.
(2)如图所示,连接A1C1,B1D1,设A1C1与B1D1交于点O,取B1C1的中点E,连接PO,OE,PE.∵PO=3,OE=4,∴PE==5,则四棱锥P-A1B1C1D1的表面积S1=4××8×5+8×8=144,长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积S2=4×8×3=96,故该几何体的表面积S=S1+S2=144+96=240.
变式 [解析] 设长方体的长、宽、高分别为2a,2b,2c,则长方体的体积V1=2a×2b×2c=8abc,所截三棱锥的体积V2=××a×b×c=abc,所以所截三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值为==.
拓展 [解析] 分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则多面体ABCDEF被分为三棱锥E-ADG,三棱柱ADG-BCH,三棱锥F-HBC三个部分.由四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,易得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,∴S△AGD=S△BHC=××1=,∴该多面体的体积V=V三棱锥E-AGD+V三棱柱AGD-BHC+V三棱锥F-BHC=××+×1+××=.8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.C [解析] 所求表面积为6×32=54.
2.D [解析] V=××12×3=.
3.B [解析] 设该正四棱锥的侧面三角形底边上的高为h'.∵该正四棱锥的高为3 m,底面边长是8 m,∴根据勾股定理得h'==5(m),∴该正四棱锥的侧面积为4××5×8=80,即需要油毡的面积为80 m2.故选B.
4.D [解析] 由题意可设棱柱的底面菱形的边长为a,因为底面是菱形,所以其对角线互相垂直,所以a==8, 所以棱柱的侧面积S=4a×5=160.
5.B [解析] 如图,在正三棱锥S-ABC中,取AB的中点D,连接CD, 则S在平面ABC上的射影O在CD上,且O为△ABC的中心.∵正三角形ABC的周长为9,∴AB=3,∴CD=,∴CO=,又SC=2,∴正三棱锥S-ABC的高SO==1,∴VS-ABC=S△ABC×SO=××3××1=.故选B.
6.A [解析] 因为AB=3,BC=4,AA1=5,所以长方体的体积V=3×4×5=60,又=·AA1=××3×4×5=10,所以长方体截去一个三棱锥A-A1B1D1后剩余几何体的体积为60-10=50.
7.C [解析] 依题意,这个六面体可视为由共底面的两个棱长为6 cm的正四面体拼接而成,如图,正四面体D-ABC的棱长为6 cm,O为正三角形ABC的中心,连接OC,OD,则正三角形ABC外接圆的半径OC=×AB=2(cm),正四面体D-ABC的高OD==2(cm),故VD-ABC=S△ABC·OD=×AB2·OD=18(cm3),所以一个香囊的容量为36 cm3.故选C.
8.C [解析] ∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE.又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的,∴V三棱锥D-ABE=V三棱锥P-ABE=V三棱锥P-ABC,∴==.故选C.
9.BD [解析] 由题可知,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥M,得到上、下两部分几何体M1,M2,易知M1为棱锥,M2为棱台,且M1,M2的高的比值为,设棱锥M1的高为h1,侧面积为S1,棱锥M的高为h2,侧面积为S2,则=,=,所以棱锥M1和棱台M2的侧面积之比为1∶8,易得棱锥M1和棱锥M的底面积的比值为,所以棱锥M1和棱锥M的体积的比值为×=,故棱锥M1和棱台M2的体积之比为1∶26.故选BD.
10.48+24 [解析] 正六棱柱的底面是边长为4 cm的正六边形,侧面是6个长方形,其下底面的面积S底=6××16=24(cm2),侧面积S侧=4×1×6=24(cm2),故正六棱柱的表面积S=2S底+S侧=(48+24)cm2.
11.32 [解析] 设该正四棱台的高为h,侧面梯形的高为h',由已知得(22+62+2×6)=,所以h=2,则h'===2,所以正四棱台的侧面积为4×=32.
12. [解析] 在图②中,水面是中截面,水面以上的部分是一个小三棱柱,所以这个小三棱柱的底面积是原来大三棱柱底面积的,从而这个小三棱柱的体积是原来大三棱柱体积的(高一样),所以水的体积是原来大三棱柱体积的,则图①中水面的高度是三棱柱高的,即为.
13.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=,bc=,ac=,解得c=,a=,b=1,故这个长方体的体对角线长为=.
(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=.
14.解:(1)过点P作PO⊥底面ABCD于点O,PO交平面A1B1C1D1于点O1,如图,
由正四棱锥及棱台的性质可知,O为底面ABCD的中心,
则O1O=PO-PO1=×PO1-PO1=PO1=4,
即棱台A1B1C1D1-ABCD的高h=4,
所以=×(S正方形ABCD++)×h=×[(4)2+(2)2+]×4=×56×4=.
(2)如图,连接OA,则OA=AB=×4=4,
则AA1=AP=×=2.
作A1M⊥AB于点M,
则A1M==3,
故棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积S表=S正方形ABCD++4=(4)2+(2)2+4××(2+4)×3=32+8+72=112.
15.C [解析] 如图所示,几何体为直三棱柱BCE-ADF和两个三棱锥Q-MAB,Q-NCD构成的组合体,设直三棱柱BCE-ADF的高为h,底面BCE的面积为S.因为BE=CE=4,∠BEC=120°,所以S=BE·CEsin 120°=×4×4×=4,且h=CD=BC==4,所以该几何体的体积V=VBCE-ADF+VQ-MAB+VQ-NCD=Sh+S·h+S·h =Sh=×4×4=64.故选C.
16.解:(1)V四面体=V生成平行六面体.
(2)构造该四面体的“生成长方体”(图略),设长方体共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则有可得故此四面体的体积V=3×2×1-4×××1×2×3=2.8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【学习目标】
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积.
3.能用公式解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.表面积是几何体 的面积,它表示几何体 的大小.
2.多面体的表面积就是围成多面体 的和.
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的和.
3.几种特殊多面体的侧面积公式
S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高);
S正棱锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高);
S正棱台侧=(c+c')h(c'为上底面周长,c为下底面周长,h为斜高).
4.几种特殊多面体的表面积公式
S正四面体= (a为棱长);
S正方体= (a为棱长);
S长方体= (a,b,c分别为长、宽、高).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和. ( )
(2)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等. ( )
(3)如果一个正方体的每条棱都增加1 cm,它的表面积扩大为原来的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为4 cm. ( )
2.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的两底面面积之和为 ,侧面积为 ,表面积为 .
◆ 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
1.棱柱的体积公式:V棱柱= (S为棱柱的底面面积,h为棱柱的高).
2.棱锥的体积公式:V棱锥= (S为棱锥的底面面积,h为棱锥的高).
3.棱台的体积公式:V棱台= (S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. ( )
(2)锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一. ( )
(3)两个正方体的体积之比为1∶27,则这两个正方体的棱长之比为1∶3. ( )
2.若某正棱台的底面是正方形,上底面边长为4,下底面边长为10,高为4,则此正棱台的体积为 .
3.根据棱柱、棱锥、棱台之间的关系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
◆ 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 (1)若正三棱锥的底面边长为a,三条侧棱两两垂直,则它的侧面积为 .
(2)[2024·无锡高一期中] 若正三棱台ABC-A1B1C1的上底面边长为1,下底面边长为2,侧棱长为1,则它的表面积为 .
变式 已知正四棱锥的底面边长是2,高为,则这个正四棱锥的侧面积是 .
[素养小结]
求解正棱台的表面积时注意棱台的基本量:底面边长、高、斜高、侧棱长,并注意两个直角梯形的应用.
(1)高,侧棱,上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高,斜高,上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所成的直角梯形.
◆ 探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 (1)已知正四棱台上、下底面边长分别为2和8,侧面梯形的高为5,则该正四棱台的体积为 .
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为 .
变式 在棱长为2的正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥P-MBD的体积为 .
[素养小结]
求几何体体积时需注意的问题:对棱柱、棱锥、棱台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高(等积转化法),要充分利用截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.求台体的体积时,也可以将台体转化为锥体计算.
◆ 探究点三 简单组合体的表面积和体积
例3 如图,某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体ABCD-A1B1C1D1,上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥P-A1B1C1D1,求:
(1)该几何体的体积;
(2)该几何体的表面积.
变式 如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个三棱锥,则该三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值为 .
[素养小结]
求组合体的表面积与体积的关键是先弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,再分别代入公式求解.
拓展 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 . 8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、选择题
1.棱长为3的正方体的表面积为 ( )
A.27 B.64
C.54 D.36
2. 已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积V= ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·安徽铜陵一中高一期中] 某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水,已知该正四棱锥的高为3 m,底面边长是8 m,接缝处忽略不计,则需要油毡的面积为 ( )
A.48 m2 B.80 m2
C.100 m2 D.144 m2
4.底面是菱形的棱柱的侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,底面菱形的对角线的长分别是 2和10,则这个棱柱的侧面积是 ( )
A.130 B.140
C.150 D.160
5.在侧棱长为2的正三棱锥中,若其底面周长为9,则该正三棱锥的体积是 ( )
A. B. C. D.
6.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,AA1=5,则将该长方体截去一个三棱锥A-A1B1D1后剩余几何体的体积为 ( )
A.50 B.30
C.25 D.15
7.校园文创,是指以学校特有的校园文化内涵为基础,经过精妙构思和创作,生产符合校园文化精神、传播校园文化品牌的特殊产品和服务.它既是学校文化的物化形式,同时也是学校文化的传播载体.某文创小组设计了一款校园香囊,它是由6个边长为6 cm的全等正三角形拼接而成的六面体(如图),那么一个香囊的容量为 ( )
A.9 cm3 B.18 cm3
C.36 cm3 D.72 cm3
8.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2= ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶5
9.(多选题)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上、下两部分几何体,且上、下两部分的高之比为1∶2,则关于上、下两几何体的说法正确的是 ( )
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
二、填空题
10.一个正六棱柱的底面边长为4 cm,高为1 cm,则这个正六棱柱的表面积为 cm2.
11.如图是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1,已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6,体积为,则该正四棱台的侧面积为 .
12.如图①,一个正三棱柱形容器的底面边长为1,高为2,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好是中截面,则图①中水面的高度是 .
三、解答题
13.已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是,,.
(1)求这个长方体的体对角线长;
(2)求这个长方体的体积.
14.[2024·合肥一中高一期中] 如图所示,底面边长为4的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1.
(1)求棱台A1B1C1D1-ABCD的体积;
(2)求棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积.
15.某公园今年春天成为了网红打卡地,公园里不仅有美丽的景色,各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图①中的角楼的顶部即为十字歇山顶,其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图②).这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=4,∠BEC=120°,则该几何体的体积为 ( )
A.88 B.64
C.64 D.88
16.求一个棱长为的正四面体的体积,有如下未完成的解法,请你将它补充完成.
解:构造一个棱长为1的正方体,我们称之为该四面体的“生成正方体”(如图①),则四面体ACB1D1为棱长是的正四面体,且有=V正方体----=.
(1)模仿题中解法,对一个已知四面体,构造它的“生成平行六面体”,记两者的体积依次为V四面体和V生成平行六面体,试给出这两个体积之间的一个关系式,不必证明;
(2)如图②,一个相对棱长都相等的四面体(通常称之为等腰四面体),其三组棱长分别为,,,类比上述中的方法或结论,求此四面体的体积.
