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8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题
探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
探究点三 简单组合体的表面积与体积
【学习目标】
知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.
能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积.
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积定义
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的________.
面积和
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
图形 表面积公式
旋转体 圆柱
图形 表面积公式
旋转体 圆锥
续表
图形 表面积公式
旋转体 圆台
续表
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系
根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系,可以发现三者的表面积公式之间
有如下关系：
在圆台的表面积公式 中,当_______时,得
圆柱的表面积公式 ;当_______时,得圆锥的表面积公
式 .
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）圆柱的侧面积等于底面圆面积与高的积.( )
×
[解析] 圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积.
（2）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍，母线长缩小为原来的 ，它
的表面积不变.( )
×
[解析] 当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍，母线长缩小为原来的
时，它的底面积扩大为原来的4倍，而侧面积不变，所以它的表面积
发生了变化.
（3）圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环.( )
×
[解析] 圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形和两个相等的圆、
一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆.
2.已知圆锥的底面半径为，高为 ，则这个圆锥的底面积
为_____,侧面积为_____，表面积为_____ .
[解析] 因为圆锥的底面半径为，所以底面周长为 ，底面
积为.
由勾股定理得，母线长为 ，由题意知圆锥的
侧面展开图为扇形，所以圆锥的侧面积为.
表面积为 .
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
1.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
（1）为底面半径,是高 .
（2）_______为底面半径,是高 .
（3）__________________,分别是上、下底面半径,是高 .
2.柱体、锥体、台体的体积公式
（1）柱体的体积公式：____为底面积,为柱体高 .
（2）锥体的体积公式：_____为底面积,为锥体高 .
（3）台体的体积公式：_________________, 分别为上、
下底面面积,为台体高 .
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的 ，它的体
积不变.( )
×
[解析] 由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍，高缩
小为原来的 ，它的体积变为原来体积的2倍.
（2）圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，高为6，则此圆台的
体积为 .( )
√
2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系，你能发现三
者的体积公式之间的关系吗
解：圆柱和圆锥是圆台的特殊情形，当圆台上、下底面半径相等时，
圆台变为圆柱，圆台的体积公式变为圆柱的体积公式；
当圆台上底面半径为0时，圆台变为圆锥，圆台的体积公式变为圆锥
的体积公式.
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题
例1（1） 若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的
侧面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱的底面半径为，则该圆柱的母线长为 ，
因为该圆柱的轴截面面积为 ，所以该圆柱的侧面积为
，故选A.
√
（2）已知圆锥的轴截面是斜边长为 的等腰直角三角形，若圆锥的
侧面积为 ，则轴截面的面积为___.
1
[解析] 因为圆锥的轴截面是斜边长为 的等腰直角三角形，所以圆
锥的母线长为，底面直径为 ，
则此圆锥的侧面积为 ，可得，
所以轴截面的面积为 .
变式（1） 若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这
个圆锥的底面半径为___.
3
[解析] 设底面半径为 ，因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的
高也是，根据题意得，可得 .
（2）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 ，
截去小圆锥的母线长为 ，则圆台的母线长为______.
[解析] 设圆台的母线长为 ，因为圆台的上、下底面半径的比是
，所以可设圆台的上、下底面半径分别是， ，
根据相似三角形的性质得，可得，
故圆台的母线长为 .
探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
例2（1） 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则
这个圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆台的上、下底面圆的半径分别为2，5，高为4， 圆台
的母线长， 这个圆台的侧面积为
.故选B.
√
（2）已知某圆锥的侧面积为 ，该圆锥侧面的展开图是圆心角
为 的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为 ，
由 ，得.
因为，所以 ，
所以该圆锥的体积为 .故选A.
√
（3）已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底
面的平面截圆柱所得截面为矩形 ，剩余部分如图
所示.若弦所对的圆心角为 ，则剩余部分的体积为
___________.
[解析] 因为弦所对的圆心角为 ，所以剩余部分的底面面积为
，所以剩余部分的体积为
.
变式（1） 已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积
与表面积的比值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该圆柱底面的半径为，则高 ，故圆柱的侧面积为
，表面积为 ，故该圆柱的侧面积
与表面积的比值为 ，故选C.
√
（2）[2024·合肥一中高一期中] 已知某圆锥的侧面展开图是一个半
径为的半圆，且该圆锥的体积为 ，则 _____.
[解析] 设圆锥的底面圆的半径为，高为 ，由题意知，圆锥的母线
长为，且，得，所以 ，
又圆锥的体积为 ，所以，解得 .
［素养小结］
求圆柱和圆锥的表面积时，只需按照公式进行求解；而解决台体的
问题通常要还台为锥，求表面积时要注意侧面展开图的应用，上、
下底面圆的周长是侧面展开图的弧长.
探究点三 简单组合体的表面积与体积
例3 如图，在四边形中，，， ，
，，求以边 所在直线为轴旋转一周所得几何体
的体积.
解：以边 所在直线为轴旋转一周所得几何体
为一个圆台中间挖去一个圆锥.
设圆台的上底面圆心为,因为，
，,, ，
所以，得 ，
所以该几何体的体积
.
变式 [2024·湖北华师大一附中高一月考]毡帐是一种内部木架结构，
外部毛毡围拢的房子，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.
如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体（圆柱的上
底面与圆锥的底面重合），下半部分圆柱的高为2.5米，上半部分圆
锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为 平方
米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡( )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
√
[解析] 设圆锥的高为米，底面半径为 米，因为圆锥的母线长为
米，轴截面是面积为 平方米的等腰钝角三角形，所以
可得
则上半部分圆锥的侧面积 （平方米），
下半部分圆柱的侧面积 （平方米），
则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡
（平方米）.故选A.
［素养小结］
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结
构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要先根据条
件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解.
1.说明：圆台 及其侧面展开图如图所示，侧面
展开图是扇环，内弧长等于圆台上底面周长，外弧
长等于圆台下底面周长.
由，解得 .
，
所以 ， .
2.空间几何体的体积公式
（1）柱体、锥体、台体体积公式中的高为几何体的高,即为点到面或面
到面的距离.
（2）对于台体的体积公式,当时,为柱体的体积公式,当 时,为
锥体的体积公式.
（3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
.
1.解决求旋转体的表面积（或体积）问题时,要利用好旋转体的轴截
面及侧面展开图,借助平面几何知识,求得所需的几何要素,代入公式求
解即可.
例1 [2024·浙江宁波高一期中] 已知某圆锥的体积为 ，该圆锥的侧
面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为_____.
[解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为 ，
则圆锥的体积，化简得 .
侧面展开图的圆心角，化简得 .
由勾股定理可得，则，即 ，
代入，解得， ，
圆锥的侧面积 .
例2 如图，在直角梯形中， ，
，，，以 边所在的直
线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.
（1）求该几何体的表面积；
解：由题知，该几何体是一个上底面半径 ，下底
面半径，母线长 的圆台，
表面积 .
（2）一只蚂蚁在该几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到
点 ，求蚂蚁爬行的最短距离.
解：将圆台的侧面沿母线 展开，得到如图所示
的一个扇环，设的延长线与 的延长线交于
点 .
，， ，
又，， .
设 ，则的长 ，
.
连接，取线段的中点，连接，则 ，
在中，易得 ，
，
易知蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点
的最短距离即为线段 的长，
，
蚂蚁爬行的最短距离为 .
2.求几何体体积的常用方法:公式法、等积法、补形法、分割法.求组
合体的体积要先辨认清楚几何体的组成.
例3 如图，在梯形中， ，
， ，
，过点作，以 为轴旋转
一周得到一个旋转体.
（1）求此旋转体的体积；
解：旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放
的与圆柱等高的圆锥.
, ，
圆锥的底面半径 ，
圆柱的底面半径，圆柱与圆锥的高均为 ，
所以圆柱的体积 ，
圆锥的体积 ，
故旋转体的体积 .
（2）求此旋转体的表面积.
解：圆柱的侧面积
，
圆锥的侧面积 ，
圆柱的下底面面积 ，
圆锥的底面积 ，
则此旋转体上底面的面积 ，
故此旋转体的表面积为 .
练习册
一、选择题
1.已知圆锥的底面半径为2，高为3，则圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
[解析] 圆锥的体积 .
√
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ，那么圆柱的体积等于
( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱的母线长为，底面半径为，则由题意得
解得 .
√
3.圆台上、下底面的面积分别为 和 ，母线长为5，则其轴截
面的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆台上、下底面的面积分别为 和 ，则圆台上、下底
面的半径分别为6和7，
又圆台的母线长为5，所以圆台的轴截面是上底边长为12，下底边长
为14，腰长为5的等腰梯形，其高为 ，
则该等腰梯形的面积为 .故选B.
√
4.某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知几何体的表面积为
.故选B.
√
5.一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋
转 ，形成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 将一个腰长为2的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线
旋转，所得几何体为一个圆锥的 .
由题意得圆锥的底面半径为2，高为2，所以形成的几何体的体积
为 .故选B.
√
6.[2024·山东济宁高一期中]如图，将
一个圆柱4等分切割，再将其重新组
合成一个与圆柱等底等高的几何体，
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱的底面圆半径为，高为 ，则圆柱的表面积为
，新几何体的表面积为 ，故
，故圆柱的侧面积为 .故选A.
若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是
( )
√
7.[2024·浙江三锋教研联盟高一期中]如图，四面
体的各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点
在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底
面圆心，则圆柱的体积是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆柱的底面半径为 ，由题意结合正弦
定理得，解得 ，故圆柱的高
，所以圆柱的体
积 .故选C.
8.已知在直角梯形中，，， .以
所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的几何体的
表面积和体积分别记为，，以 所在直线为旋转轴，其余三边
旋转一周形成的面围成的几何体的表面积和体积分别记为， ,则
( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 设，，，，且 ，则
， ，
， ，
所以 ，
，
即， ，故选A.
9.（多选题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，
则下列说法正确的是( )
A.圆锥的高是 B.圆锥的母线长是4
C.圆锥的表面积是 D.圆锥的体积是
[解析] 设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为2，其侧面展开图
为一个半圆，，解得， 圆锥的高为
，故A错误，B正确；
圆锥的表面积 ，故C错误；
圆锥的体积 ，故D正确.故选 .
√
√
二、填空题
10.已知某圆锥的高为4，底面积为 ，则该圆锥的侧面积为_____.
[解析] 圆锥的底面积为 ，则底面半径为3，又圆锥的高为4，则
圆锥的母线长为5，所以该圆锥的侧面积为 .
11.[2024·长郡中学高一期中] 降水量是指一定时
间内，从天空降落到地面上的液态或固态
（经融化后）水，未经蒸发、渗透、流失，而在
水平面上积聚的深度，用下底面（上口）直径为
，上底面直径为，深度为 的圆
47
台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此
桶盛得的雨水正好是桶深的 ，则本次降雨的降水量约为____
，精确到 .
[解析] 由题意知水深为 ，
水面直径为 ，
根据圆台的体积公式得降雨的体积
，
则降水量为 .
12.从一个底面半径和高都是 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底
面，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.若用一个与
圆柱下底面距离为 ，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截
面面积为___________.
[解析] 题图中的几何体的轴截面如图所示，
因为 ，，
所以是等腰直角三角形.
又，则 .
设为截面圆的圆心，，则.
又 ，故，
所以所求截面面积 .
三、解答题
13.已知圆台的母线长为，母线与轴的夹角为 ，一个底面的半径
是另一个底面半径的2倍，求圆台两底面的半径及两底面的面积之和.
解：圆台的轴截面如图所示.
设圆台上底面半径为，则下底面半径为 ，
又由已知可得 ，，，
圆台的母线长为 ，，故圆台两底面的半径分别为和 ，
两底面面积之和为 .
14.如图，在直角三角形中，， ,
.
（1）以所在直线为旋转轴，将直角三角形 旋转
一周，求所得几何体的表面积；
解：因为，, ，即
，所以，所以以 所在
直线为旋转轴，将直角三角形 旋转一周所得的几何
体是以为底面半径， 为高的圆锥，
又 ，所以该几何体的表面积
.
（2）一只蚂蚁在（1）形成的几何体上从点 绕着几何
体的侧面爬行一周回到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离.
解：将圆锥的侧面沿母线展开，如图.
连接 ，则蚂蚁爬行的最短距离就是 的长度，
由题得，在 中，由余弦定理得
，所以蚂蚁爬行的最短
距离为 .
15.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一
个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙
全部流到下部容器所需要的时间进行计时.某沙漏由上、下两个圆锥
组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，
其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）．假设细沙全部漏
入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的
高与圆锥的高 的比值为___.
[解析] 细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 ，设
圆锥的底面半径为，则细沙形成的圆锥的底面半径为， 细沙的
体积
细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，
设高为，则，得 ， .
16.[2024·山东省实验中学高一期中] 如图，
圆锥的顶点为，, 为母线，
，轴截面是顶角为 的等腰
三角形，若的面积为 .
（1）求该圆锥的侧面积；
解：设圆锥的母线长、底面半径分别为
， ，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为
，得，可得 .
因为 ，所以
.
因为的面积为 ，所以
，可得 ，
又，所以 ，
所以圆锥的侧面积
.
（2）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值.
解：由（1）知圆锥的高 ，
作出轴截面，如图.
作，垂足为，交于 .
设正四棱柱的底面边长为，高为 ，
则, ，
由得 ，所以
，
，当且仅当，即 时等号成立，所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值为 .8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
1.面积和
2.πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) πr'2 πr2 π(r'l+rl) π(r2+r'2+rl+r'l)
3.r'=r r'=0
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积.
(2)当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化.
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形和两个相等的圆、一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆.
2.16π 24π 40π [解析] 因为圆锥的底面半径为4 cm,所以底面周长为8π cm,底面积为16π cm2.由勾股定理得,母线长为=6(cm),由题意知圆锥的侧面展开图为扇形,所以圆锥的侧面积为×8π×6=24π(cm2).表面积为16π+24π=40π(cm2).
知识点二
1.(2)πr2h (3)πh(r'2+r'r+r2)
2.(1)Sh (2)Sh (3)(S'++S)h
诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积变为原来体积的2倍.
2.解:圆柱和圆锥是圆台的特殊情形,当圆台上、下底面半径相等时,圆台变为圆柱,圆台的体积公式变为圆柱的体积公式;当圆台上底面半径为0时,圆台变为圆锥,圆台的体积公式变为圆锥的体积公式.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)1 [解析] (1)设圆柱的底面半径为r,则该圆柱的母线长为2r,因为该圆柱的轴截面面积为(2r)2=4r2=9,所以该圆柱的侧面积为2πr·2r=4πr2=9π,故选A.
(2)因为圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,所以圆锥的母线长为r,底面直径为2r,则此圆锥的侧面积为πr·r=π,可得r=1,所以轴截面的面积为×(r)2=1.
变式 (1)3 (2)9 cm [解析] (1)设底面半径为r,因为轴截面是等腰直角三角形,所以圆锥的高也是r,根据题意得×2r×r=9,可得r=3.
(2)设圆台的母线长为y cm,因为圆台的上、下底面半径的比是1∶4,所以可设圆台的上、下底面半径分别是x cm,4x cm,根据相似三角形的性质得=,可得y=9,故圆台的母线长为9 cm.
探究点二
例2 (1)B (2)A (3)10π+3 [解析] (1)∵圆台的上、下底面圆的半径分别为2,5,高为4,∴圆台的母线长l==5,∴这个圆台的侧面积为π(2×5+5×5)=35π.故选B.
(2)设该圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,由×l2=π,得l=.因为2πr=×,所以r=1,所以该圆锥的体积为×π×1×=.故选A.
(3)因为弦AB所对的圆心角为,所以剩余部分的底面面积为××22+×22×sin=+,所以剩余部分的体积为×3=10π+3.
变式 (1)C (2)2 [解析] (1)设该圆柱底面的半径为r,则高h=2r,故圆柱的侧面积为2πr·h=4πr2,表面积为4πr2+2πr2=6πr2,故该圆柱的侧面积与表面积的比值为=,故选C.
(2)设圆锥的底面圆的半径为R,高为h,由题意知,圆锥的母线长为r,且2πR=×2πr,得R=,所以h==r,又圆锥的体积为3π,所以3π=π×r,解得r=2.
探究点三
例3 解:以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体为一个圆台中间挖去一个圆锥.设圆台的上底面圆心为E,因为∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,
所以CE=DE=CD=2,得AE=3,所以该几何体的体积V=V圆台-V圆锥=×(25π++4π)×3-×π×22×2=×39π×3-×8π=.
变式 A [解析] 设圆锥的高为h米,底面半径为r米,因为圆锥的母线长为2米,轴截面是面积为3平方米的等腰钝角三角形,所以可得则上半部分圆锥的侧面积S1=π×3×2=6π(平方米),下半部分圆柱的侧面积S2=2π×3×2.5=15π(平方米),则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡S1+S2=(6+15)π(平方米).故选A.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
1.A [解析] 圆锥的体积V=π×22×3=4π.
2.B [解析] 设圆柱的母线长为l,底面半径为r,则由题意得解得∴V圆柱=πr2l=2π.
3.B [解析] 圆台上、下底面的面积分别为36π和49π,则圆台上、下底面的半径分别为6和7,又圆台的母线长为5,所以圆台的轴截面是上底边长为12,下底边长为14,腰长为5的等腰梯形,其高为=2,则该等腰梯形的面积为×(12+14)×2=26.故选B.
4.B [解析] 由题意可知几何体的表面积为4×(2+2+2+2)+2×2×2+4π+×4π×4=40+12π.故选B.
5.B [解析] 将一个腰长为2的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转,所得几何体为一个圆锥的.由题意得圆锥的底面半径为2,高为2,所以形成的几何体的体积为××π×22×2=.故选B.
6.A [解析] 设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则圆柱的表面积为2πr2+2πrh,新几何体的表面积为2πr2+2πrh+2rh,故2rh=10,故圆柱的侧面积为2πrh=10π.故选A.
7.C [解析] 设圆柱的底面半径为r,由题意结合正弦定理得2r=,解得r=,故圆柱的高h===,所以圆柱的体积V=πr2h=π××=.故选C.
8.A [解析] 设AB=a,CD=b,AD=c,BC=d,且a>b,则S1=πc2+2πcb+πcd,V1=πc2b+πc2(a-b),S2=πc2+2πca+πcd,V2=πc2a-πc2(a-b),所以S2-S1=2πc(a-b)>0,V2-V1=πc2(a-b)-πc2(a-b)=πc2(a-b)>0,即 S19.BD [解析] 设圆锥的母线长为l,∵圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,∴πl=2π×2,解得l=4,∴圆锥的高为=2,故A错误,B正确;圆锥的表面积S=+π×22=12π,故C错误;圆锥的体积V=×π×22×2=π,故D正确.故选BD.
10.15π [解析] 圆锥的底面积为9π,则底面半径为3,又圆锥的高为4,则圆锥的母线长为5,所以该圆锥的侧面积为3×5×π=15π.
11.47 [解析] 由题意知水深为35×=10(cm),水面直径为24+2××=28(cm),根据圆台的体积公式得降雨的体积V=×(π×122+π×142+)×10=π(cm3),则降水量为≈≈4.7(cm)=47(mm).
12.π(R2-l2) [解析] 题图中的几何体的轴截面如图所示,因为OA=AB=R,OA⊥AB,所以△AOB是等腰直角三角形.又CD∥OA,则CD=BC.设O1为截面圆的圆心,O1D=x,则CD=R-x.又BC=R-l,故x=l,所以所求截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2).
13.解:圆台的轴截面如图所示.
设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,又由已知可得∠EBC=30°,∴EC=r,BC=2r,∵圆台的母线长为2a,∴r=a,故圆台两底面的半径分别为a和2a,两底面面积之和为πa2+π·(2a)2=5a2π.
14.解:(1)因为AC⊥BC,BC=2,tan∠ABC=2,即tan∠ABC==2,所以AC=4,所以以AC所在直线为旋转轴,将直角三角形ABC旋转一周所得的几何体是以BC=2为底面半径,AC=4为高的圆锥,
又AB==6,所以该几何体的表面积S=π×22+π×2×6=16π.
(2)将圆锥的侧面沿母线AB展开,如图.连接BB1,则蚂蚁爬行的最短距离就是BB1的长度,
由题得∠BAB1==,在△ABB1中,由余弦定理得BB1==6,所以蚂蚁爬行的最短距离为6.
15. [解析] 细沙全部在上部时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h,设圆锥的底面半径为r,则细沙形成的圆锥的底面半径为r,∴细沙的体积V=π··h=πr2h.细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为r,设高为h',则V=πr2·h'=πr2h,得h'=h,∴=.
16.解:(1)设圆锥的母线长、底面半径分别为l(l>0),r(r>0),
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°,得l2+l2=(2r)2,可得l=r.
因为cos∠APB=,所以sin∠APB===.
因为△PAB的面积为2,所以S△PAB=PA·PB·sin∠APB=l2×=2,可得l=4,
又l=r,所以r=2,
所以圆锥的侧面积S=×2πr×l=π×2×4=8π.
(2)由(1)知圆锥的高h0=r=l=2,作出轴截面,如图.
作PO⊥AC,垂足为O,交HG于O1.
设正四棱柱的底面边长为a,高为h,
则HG=a,PO1=h0-h,
由=得=,所以a=(2-h),
所以正四棱柱的侧面积S侧=4ah=4(2-h)h≤4=8,当且仅当2-h=h,即h=时等号成立,所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值为8.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【学习目标】
知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.
能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积.
◆ 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积定义
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的 .
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
图形 表面积公式
旋 转 体 圆 柱 r为底面半径,l是母线长 底面积:S底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆 锥 r为底面半径,l是母线长 底面积:S底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆 台 r',r分别是上、下底面半径,l是母线长 上底面面积:S上底= . 下底面面积:S下底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系
根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系,可以发现三者的表面积公式之间有如下关系:
在圆台的表面积公式S圆台=π(r2+r'2+rl+r'l)中,当 时,得圆柱的表面积公式S圆柱=2πr(r+l);当 时,得圆锥的表面积公式S圆锥=πr(r+l).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆柱的侧面积等于底面圆面积与高的积. ( )
(2)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的,它的表面积不变. ( )
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环. ( )
2.已知圆锥的底面半径为4 cm,高为2 cm,则这个圆锥的底面积为 cm2,侧面积为 cm2,表面积为 cm2.
◆ 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
1.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
(1)V圆柱=πr2h(r为底面半径,h是高).
(2)V圆锥= (r为底面半径, h是高).
(3)V圆台= (r',r分别是上、下底面半径, h是高).
2.柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式:V柱体= (S为底面积,h为柱体高).
(2)锥体的体积公式:V锥体= (S为底面积,h为锥体高).
(3)台体的体积公式:V台体= (S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积不变. ( )
(2)圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为38π. ( )
2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
◆ 探究点一 圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题
例1 (1)若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则这个圆柱的侧面积为 ( )
A.9π B.12π C.π D.π
(2)已知圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,若圆锥的侧面积为π,则轴截面的面积为 .
变式 (1)若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则这个圆锥的底面半径为 .
(2)一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,截去小圆锥的母线长为3 cm,则圆台的母线长为 .
◆ 探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
例2 (1)已知圆台的上、下底面圆的半径分别为2和5,高为4,则这个圆台的侧面积为 ( )
A. B.35π C.28π D.64π
(2)已知某圆锥的侧面积为π,该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为( )
A. B. C.2π D.
(3)已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD,剩余部分如图所示.若弦AB所对的圆心角为,则剩余部分的体积为 .
变式 (1)已知一个圆柱的高是底面半径的2倍,则该圆柱的侧面积与表面积的比值为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2024·合肥一中高一期中] 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆,且该圆锥的体积为3π,则r= .
[素养小结]
求圆柱和圆锥的表面积时,只需按照公式进行求解;而解决台体的问题通常要还台为锥,求表面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是侧面展开图的弧长.
◆ 探究点三 简单组合体的表面积与体积
例3 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,求以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.
变式 [2024·湖北华师大一附中高一月考] 毡帐是一种内部木架结构,外部毛毡围拢的房子,建造和搬迁都很方便,适合牧业和游牧生活.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体(圆柱的上底面与圆锥的底面重合),下半部分圆柱的高为2.5米,上半部分圆锥的母线长为2米,轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平方米的等腰钝角三角形,则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡 ( )
A.(6+15)π平方米
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米
D.(10+6)π平方米
[素养小结]
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要先根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
一、选择题
1.已知圆锥的底面半径为2,高为3,则圆锥的体积是 ( )
A.4π B.12π
C.6π D.16π
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 ( )
A.π B.2π
C.4π D.8π
3.圆台上、下底面的面积分别为36π和49π,母线长为5,则其轴截面的面积为 ( )
A.13 B.26
C.13 D. 26
4.某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )
A.36+12π
B.40+12π
C.36+16π
D.40+16π
5.一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转,形成的几何体的体积为 ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·山东济宁高一期中] 如图,将一个圆柱4等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积是 ( )
A.10π B.20π
C.100π D.200π
7.[2024·浙江三锋教研联盟高一期中] 如图,四面体的各个面都是边长为2的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,则圆柱的体积是 ( )
A. B. C. D.
8.已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,∠ADC=90°.以AB所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的几何体的表面积和体积分别记为S1,V1,以CD所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的几何体的表面积和体积分别记为S2,V2,则 ( )
A.S1V2
C.S1>S2,V1>V2 D. S1>S2,V19.(多选题)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则下列说法正确的是 ( )
A.圆锥的高是
B.圆锥的母线长是4
C.圆锥的表面积是16π
D.圆锥的体积是π
二、填空题
10.已知某圆锥的高为4,底面积为9π,则该圆锥的侧面积为 .
11.[2024·长郡中学高一期中] 降水量是指一定时间内,从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗透、流失,而在水平面上积聚的深度,用下底面(上口)直径为38 cm,上底面直径为24 cm,深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量,若在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,则本次降雨的降水量约为 mm(π≈3.14,精确到1 mm) .
12.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.若用一个与圆柱下底面距离为l,并且平行于底面的平面去截这个几何体,则截面面积为 .
三、解答题
13. 已知圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求圆台两底面的半径及两底面的面积之和.
14.如图,在直角三角形ABC中,AC⊥BC,BC=2,tan∠ABC=2.
(1)以AC所在直线为旋转轴,将直角三角形ABC旋转一周,求所得几何体的表面积;
(2)一只蚂蚁在(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬行的最短距离.
15.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.某沙漏由上、下两个圆锥组成,这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为 .
16.[2024·山东省实验中学高一期中] 如图,圆锥的顶点为P,PA,PB为母线,cos∠APB=,轴截面是顶角为90°的等腰三角形PAC,若△PAB的面积为2.
(1)求该圆锥的侧面积;
(2)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值.
