(共58张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第2课时 球的表面积和体积
探究点一 球的表面积与体积公式的应用
探究点二 球的截面问题
探究点三 与球有关的组合体的表面积与
体积问题
【学习目标】
1.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式计算一些简单的
与球有关的表面积和体积.
2.能解决与球有关的简单截面问题.
3.能用公式计算一些简单组合体的表面积和体积.
知识点一 球的表面积和体积
设球的半径为，则球的表面积公式: ______；
球的体积公式: ______.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若球的半径扩大为原来的3倍，则它的表面积扩大为原来的3倍.
( )
×
[解析] 由球的表面积公式知，若球的半径扩大为原来的3倍，则它的
表面积扩大为原来的9倍.
（2）若三个球的半径之比为 ，则最大球的体积与最小球的体
积之和是另一个球的体积的2倍.( )
×
[解析] 设三个球的半径分别为,,，则它们的体积分别为 ,
, ，所以最大球的体积与最小球的体积之和为
，它是另一个球的体积的 倍.
2.若球的半径 ，则过球心的截面圆的面积为____，球的表面积
为_____，体积为_____.
[解析] 由题意得，过球心的截面圆的面积为 ，球的表面
积为 ，体积为 .
知识点二 球的截面问题
（1）用一个______去截球，截面一定是____.
（2）如果平面过______，那么得到的截面圆为球的______;如果平
面不过球心,那么得到的截面圆为球的______.
平面
圆
球心
大圆
小圆
（3）如图，设小圆的圆心为，半径为 ，球的球心
为，半径为 ，则
① 圆面 ；
② .
探究点一 球的表面积与体积公式的应用
例1（1） 已知球的直径为 ，求它的表面积和体积.
解： 直径为， 半径 ，
， .
（2）已知球的表面积为 ，求它的体积.
解：设球的半径为， ，，即 ，
.
（3）已知球的体积为 ，求它的表面积.
解：设球的半径为， ， ，即
， .
变式（1） 若一个球的体积与表面积相等，则该球的半径为( )
A.1 B.2 C.3 D.
[解析] 设该球的半径为，由题意得，可得 .故选C.
√
（2）已知小球与大球的表面积之比为 ，则小球与大球的体积之
比为______.
[解析] 设小球的半径为，表面积为，体积为 ，大球的半径为
，表面积为，体积为，
球的表面积公式为 ，，，
又球的体积公式为 ， .
探究点二 球的截面问题
例2 已知球的半径为，若它的一个截面圆的面积为 ，
求球心与截面圆圆心之间的距离.
解：如图，设截面圆的半径为 ，球心与截面圆圆
心之间的距离为，球的半径为 .
由 ，可得，
又 ，所以在 中，
可得 ，即球心与截面圆圆心
之间的距离为 .
变式 过球面上，， 三点的截面和球心的距离是球的半径的一半，
且 ，则球的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以的外接圆半径 .
设球的半径为，则，所以 ，所以球的体积
.故选D.
√
［素养小结］
（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平
面中圆的问题.
（2）解题时要注意借助球的半径，截面圆的半径 ，球心到截面的
距离构成的直角三角形，即 .
探究点三 与球有关的组合体的表面积与体积问题
例3 在一个如图所示的直角梯形 内挖去一个
扇形， 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面
图形绕直线 旋转一周.
（1）说明所得几何体的结构特征；
解：根据题意知，将所得平面图形绕直线 旋转
一周后，所得几何体是上部是一个圆锥，下部是
一个圆柱挖去一个半球的组合体.
（2）求所得几何体的表面积和体积.
解：由题图可知,， ，故该组合
体的表面积
，
该组合体的体积
.
变式（1） 某几何体由一个半球、一
个圆柱和一个圆台组成，其轴截面如
图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由图可得， ，
，
，
所以该几何体的体积
. 故选A.
√
（2）如图所示，已知球的直径与圆柱底面的直径
和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，
圆锥的底面是圆柱的下底面，则
_______.
[解析] 设圆柱底面圆的半径为 ，则圆柱的高
，球的半径为 ，所以
，， ，
所以 .
［素养小结］
解决组合体问题主要是正确分辨各个几何体，然后结合几何体的表
面积公式或者体积公式求得最值.
1.与球有关的切、接问题
（1）正方体的内切球：若球与正方体的六个面都相切，则称球为正
方体的内切球.设正方体的棱长为,则球的半径 ，过在一个平面
上的四个切点作截面如图①.
（2）球与正方体的各条棱都相切：球与正方体的各条棱相切于各棱
的中点.设正方体的棱长为，则球的半径 ，过球心作正方体
的对角面如图②.
（3）长方体的外接球：若长方体的八个顶点都在球面上，则称球为
长方体的外接球.根据球的定义可知，长方体的体对角线长等于球的
直径，若长方体过同一顶点的三条棱的长分别为，， ，则可得球
的半径 ，如图③.
（4）正方体的外接球：正方体的棱长与外接球半径 的关系为
.
（5）正四面体的外接球：正四面体的棱长与外接球半径 的关系
为 .
例1 已知正三棱锥的高为4，底面边长为 .
（1）求该正三棱锥的表面积；
解：设的中心为，连接,，则 为正三棱锥的高.
,,
又, ， 正三棱锥的斜高 ，
，
正三棱锥的表面积 .
（2）用平行于底面 的平面去截该正三棱锥，所得截面三角形
的边长为，若点,,,,, 都在同一球面上，求该球
的体积.
解：由题意知 为正三棱台，
球心在直线 上.
记与底面的交点为，连接,则为 的中心，
设球心为，, ，
,,,,, ,
，且或 ，
则, ，即, ，
外接球的半径 ，
外接球的体积 .
2.球的截面问题
设球的截面圆上一点，球心为，截面圆的圆心为，则
是以 为直角的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直
角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面.
例2 如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别
是5，12，13，当球与上底面的三条棱都相切时，
球心到下底面的距离为8，则球的体积为_ ______.
[解析] 直三棱柱的底面边长分别是5，12，13，
底面为直角三角形，
设其内切圆的半径为 ，
则，解得 .
又直三棱柱的高为4，且球心到下底面的距离为8，
球心到上底面的距离为4，则球的半径为，
球的体积 .
练习册
一、选择题
1.已知球的半径是3，则该球的体积是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为球的半径，所以该球的体积 .故选D.
√
2.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来
的( )
A.8倍 B.4倍 C. 倍 D.2倍
[解析] 若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为
原来的倍，则球的体积扩大为原来的 倍.故选C.
√
3.已知实心铁球的半径为，若将该铁球熔成一个底面半径为 ，高
为的圆柱，则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 由题知球和圆柱的体积相等，则，可得 .故
选B.
√
4.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰中留下一个开口直径
为，深为 的空穴，则这个球的半径是( )
A. B. C. D.
[解析] 设这个球的半径是，由题意可得 ，
解得，所以这个球的半径是 .故选C.
√
5.如图，某种中药胶囊外形是由两个半球和一
个圆柱组成的，半球的直径是 ，圆柱的
高为 ，则该中药胶囊的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得该中药胶囊由两个半球和一个圆柱组成，所以其体
积为一个球的体积和一个圆柱的体积之和.
球的体积 ，圆柱的体积
，所以该中药胶囊的体积
.故选B.
√
6.某同学在实践课上制作了一个工艺品，如图所示，
该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正
方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的
中心重合），若其中一个截面圆的周长为 ，则
该球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，球心到截面圆所在平面的距离 ，
设截面圆的半径为,球的半径为，则 ，解得 ，所以
，所以该球的表面积为 .故选A.
√
7.如图①，某球形灯笼的轮廓由三部
分组成，上下两部分是两个相同的圆
柱的侧面，中间是球面的一部分
（除去两个球缺）.如图②，球缺是指
A. B. C. D.
一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫作球缺的底，垂直于截
面的直径被截得的一段叫作球缺的高.已知球缺的体积公式为
，其中是球的半径， 是球缺的高.若该灯笼的高为
，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为 ，则该灯笼的体
积约为（取 ）( )
√
[解析] 该灯笼去掉圆柱部分的高为 ，则
.
又圆柱的底面圆直径为 ，所以，即，可得 ，则，
故该灯笼的体积 .故选B.
8.根据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明
了一种儿童玩具——不倒翁.如图所示，该不倒翁
由上底面半径为、下底面半径为 且母线长
为的圆台与一个半径为 的半球两部分
构成.若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球
A. B. C. D.
均为实心），圆台的质量为 ，则该不倒翁的总质量为( )
√
[解析] 如图，圆台的轴截面为等腰梯形 ，
过点A作，垂足为 .
由题意得，， ，
所以 ，
，
故圆台的体积
，
半球的体积 ，
又半球的密度为圆台密度的3倍，
所以半球的质量为 ，
故该不倒翁的总质量为 .故选D.
9.（多选题）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下
列说法中正确的是( )
A.圆锥的轴截面为直角三角形
B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为
D.圆锥的体积与球的体积之比为
√
√
√
[解析] 设球的半径为 .对于A，如图所示，
，所以 ，故A正确；
，球的表面积 ，所以，故B正确；
对于C，圆锥的母线长为，底面周长为 ，所以圆锥侧面展开图
的圆心角的弧度数为 ， 故C错误；
对于D，圆锥的体积，球的体积 ，
故，故D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·北京丰台区高一期中] 体积为 的球的表面积是_____.
[解析] 设球的半径为，则 , ，故球的表面积是
.
11.[2024·重庆南开中学高一期中] 将一个半径为 的铁球熔化后，
浇铸成一个底面半径为 的圆锥铁锭（不计损耗），则圆锥的母
线长为_____ .
[解析] 设圆锥的高为，依题意得 ，解得
，所以圆锥的母线长为 .
12.某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的截面图形
如图所示.已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆
台，圆台上、下底面半径分别为1，2，将一个表面积
为 的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯.已知
空心圆台（厚度不计）的体积为 ，则该奖杯的高
（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为_______.
[解析] 如图所示，设截面圆的圆心为，作 ，
垂足为.
设水晶球的半径为，则 ，可得.
设圆台的高为 ，
则，解得 .
又因为水晶球球心到圆台上底面的距离为
，所以该奖杯的高为
.
三、解答题
13.如图，圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放
入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，
水恰好淹没最上面的球，求一个球的表面积.
解：设球的半径为 ，依题意得
，解得 ，所以一个
球的表面积 .
14.一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为 和
，求球的体积.
解：设球的半径为 .
①当截面在球心的同侧时，画出轴截面并作出辅
助线如图，
由球的截面性质知， ，且，分别为
两截面圆的圆心，则 ， .
， .
， .
设，则 .
在中， ，
在中， ，
，解得 ，
,
， .
②当截面在球心异侧时，
，无解.
综上，球的体积为 .
15.已知，，三点在球心为，半径为的球面上， ，且
，那么，两点的球面距离为____，球心到平面 的距
离为_ ____.
[解析] 如图所示，连接， .
因为，所以是 外接圆的直径.
因为，所以 是等
边三角形,所以，故， 两点的
球面距离为.
设的中点为，连接 ，则为球心到平面的距离.
又,所以球心到平面 的距离为 .
16.[2024·浙江温州高一期中] 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球
的体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意
思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任
意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体
的体积相等.
（1）在一个半径为3的半球体中，挖去一个半径为 的球体，求剩余
部分的体积.
解：剩余部分的体积 .
（2）如图，由曲线 与
线段 围成一个图形，将
该图形绕 轴旋转得到一个旋转体，请运用
祖暅原理求该旋转体的体积.
解：图①中阴影部分是由长方形
（长为6，宽为3）的三边和
曲线 围成的，
图②中阴影部分是由半径为3的半圆和直径为3的圆 围成的.
将图①中阴影部分绕 轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何
体，记为 ，将图②中阴影部分绕小圆的直径旋转一周可得一个半
球挖去一个小球的几何体，记为 ，
将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面或与半球大圆所在
平面距离为 的平面截两个几何体，可得截面都为圆环，
两几何体的纵截面图如图所示.
几何体的截面面积为 ，
几何体 的截面面积为 ，
又两几何体等高，所以由祖暅原理可得两几何体的体积相等，结合（1）可知几何体 的体积 ，
由曲线 与线段 围成的图形
绕 轴旋转得到的旋转体即为一个圆柱（底面半径为3，高为3）去掉几何体 ，所以所求体积 .第2课时 球的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
4πR2 πR3
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)由球的表面积公式知,若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的9倍.
(2)设三个球的半径分别为r,2r,3r,则它们的体积分别为πr3,πr3,πr3,所以最大球的体积与最小球的体积之和为πr3+πr3=πr3,它是另一个球的体积的倍.
2.9π 36π 36π [解析] 由题意得,过球心的截面圆的面积为πR2=9π,球的表面积为4πR2=36π,体积为πR3=36π.
知识点二
(1)平面 圆 (2)球心 大圆 小圆
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵直径为6 cm,∴半径R=3 cm,
∴S球=4πR2=36π(cm2),V球=πR3=36π(cm3).
(2)设球的半径为R,∵S球=4πR2=64π,∴R2=16,即R=4,∴V球=πR3=π×43=π.
(3)设球的半径为R,∵V球=πR3=π,∴R3=125,即R=5,∴S球=4πR2=100π.
变式 (1)C (2)1∶27 [解析] (1)设该球的半径为R,由题意得πR3=4πR2,可得R=3.故选C.
(2)设小球的半径为R1,表面积为S1,体积为V1,大球的半径为R2,表面积为S2,体积为V2,∵球的表面积公式为S=4πR2,S1∶S2=1∶9,∴R1∶R2=1∶3,又球的体积公式为V=πR3,∴V1∶V2=∶=1∶27.
探究点二
例2 解:如图,设截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心之间的距离为d,球的半径为R.
由πr2=36π,可得r=6 cm,又R=10 cm,
所以在Rt△OO'A中,
可得d==8(cm),即球心与截面圆圆心之间的距离为8 cm.
变式 D [解析] 因为AB=BC=CA=2,所以△ABC的外接圆半径r=. 设球的半径为R,则R2-=,所以R=,所以球的体积V=πR3=.故选D.
探究点三
例3 解:(1)根据题意知,将所得平面图形绕直线DE旋转一周后,所得几何体是上部是一个圆锥,下部是一个圆柱挖去一个半球的组合体.
(2)由题图可知,DE=4,CD=4,故该组合体的表面积S组合体=S圆锥侧+S圆柱侧+S半球 =π×4×4+2π×4×4+×4π×42 =(16+64)π,
该组合体的体积V组合体=V圆锥+V圆柱-V半球 =×π×42×4+π×42×4-××π×43=.
变式 (1)A (2)1∶2∶3 [解析] (1)由图可得,V半球=××π×93=486π,V圆柱=π×92×14=1134π,V圆台=×(92++12)×π×30=910π,所以该几何体的体积V=V半球+V圆柱+V圆台=486π+1134π+910π=2530π.故选A.
(2)设圆柱底面圆的半径为r,则圆柱的高h=2r,球的半径为r,所以V圆锥=πr2h=πr3,V球=πr3,V圆柱=πr2h=2πr3,所以V圆锥∶V球∶V圆柱=πr3∶πr3∶2πr3=1∶2∶3.第2课时 球的表面积和体积
1.D [解析] 因为球的半径R=3,所以该球的体积V=πR3=36π.故选D.
2.C [解析] 若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍,则球的半径扩大为原来的倍,则球的体积扩大为原来的2倍.故选C.
3.B [解析] 由题知球和圆柱的体积相等,则πR3=πR2h,可得=.故选B.
4.C [解析] 设这个球的半径是R cm,由题意可得R2=102+(R-5)2,解得R=12.5,所以这个球的半径是12.5 cm.故选C.
5.B [解析] 由题意得该中药胶囊由两个半球和一个圆柱组成,所以其体积为一个球的体积和一个圆柱的体积之和.球的体积V1=πR3=π×33=36π(mm3),圆柱的体积V2=πR2·h=π×32×8=72π(mm3),所以该中药胶囊的体积V=V1+V2=36π+72π=108π(mm3).故选B.
6.A [解析] 由题意可得,球心到截面圆所在平面的距离d==2,设截面圆的半径为r,球的半径为R,则2πr=4π,解得r=2,所以R==4,所以该球的表面积为4πR2=64π.故选A.
7.B [解析] 该灯笼去掉圆柱部分的高为40-8=32(cm),则R-h==16(cm).又圆柱的底面圆直径为24 cm,所以(R-h)2+122=R2,即162+122=R2,可得R=20 cm,则h=4 cm,故该灯笼的体积V=2V圆柱+V球-2V球缺=2×4×122×π+×π×203-2×(60-4)×42≈3456+32 000-1792=33 664(cm3).故选B.
8.D [解析] 如图,圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,过点A作AH⊥BC,垂足为H.由题意得AB= cm,AD=4 cm,BC=6 cm,所以BH=(BC-AD)=1(cm),AH==3(cm),故圆台的体积V1=×3×(22×π++32×π)=19π(cm3),半球的体积V2=××33=18π(cm3),又半球的密度为圆台密度的3倍,所以半球的质量为×190×3=×190×3=540(g),故该不倒翁的总质量为190+540=730(g).故选D.
9.ABD [解析] 设球的半径为R.对于A,如图所示,OB=OA=OC=R,所以∠BAC=,故A正确;对于B,圆锥的表面积S1=πR2+π·R·R=πR2+πR2,球的表面积S2=4πR2,所以S1>S2,故B正确;对于C,圆锥的母线长为R,底面周长为2πR,所以圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为=π,故C错误;对于D,圆锥的体积V1=·πR2·R=πR3,球的体积V2=πR3,故=,故D正确.故选ABD.
10.36π [解析] 设球的半径为R,则=36π,∴R=3,故球的表面积是4πR2=36π.
11. [解析] 设圆锥的高为h cm,依题意得π×12×h=π×13,解得h=4,所以圆锥的母线长为=(cm).
12.4+ [解析] 如图所示,设截面圆的圆心为O,作OA⊥BC,垂足为A.设水晶球的半径为r,则4πr2=8π,可得r=.设圆台的高为h,则7π=(π·12+π·22+π·),解得h=3.又因为水晶球球心到圆台上底面的距离为OA==1,所以该奖杯的高为h+r+1=4+.
13.解:设球的半径为r,依题意得3×r3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4,所以一个球的表面积S=4πr2=64π(cm2).
14.解:设球的半径为R.
①当截面在球心的同侧时,画出轴截面并作出辅助线如图,由球的截面性质知,AO1∥BO2,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.
∵π· O2B2=49π,∴O2B=7.
∵π·O1A2=400π,∴O1A=20.
设OO1=x,则OO2=x+9.
在Rt△OO1A中,R2=x2+202,
在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72,∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15,∴R2=x2+202=252,
∴R=25,∴V球=πR3=π.
②当截面在球心异侧时,+=9,无解.综上,球的体积为π.
15.R R [解析] 如图所示,连接OA,OB.因为AC⊥BC,所以AB是△ABC外接圆的直径.因为AB=OA=OB=R,所以△OAB是等边三角形,所以∠AOB=,故A,B两点的球面距离为R.设AB的中点为O1,连接OO1,则OO1为球心O到平面ABC的距离.又∠O1OA=,所以球心O到平面ABC的距离为O1O=Rcos=R.
16.解:(1)剩余部分的体积V1=××33-×=.
(2)图①中阴影部分是由长方形ABCD(长为6,宽为3)的三边和曲线y=x2(-3≤x≤3)围成的,图②中阴影部分是由半径为3的半圆O和直径为3的圆P围成的.
将图①中阴影部分绕y轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何体,记为M,将图②中阴影部分绕小圆的直径OQ旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体,记为N,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面或与半球大圆所在平面距离为t(0几何体M的截面面积为π×32-π×()2=9π-3tπ,
几何体N的截面面积为π×()2-
π=9π-3tπ,又两几何体等高,
所以由祖暅原理可得两几何体的体积相等,结合(1)可知几何体M的体积VM=VN=V1=,
由曲线y=x2(-3≤x≤3)与线段y=3(-3≤x≤3)围成的图形绕y轴旋转得到的旋转体即为一个圆柱(底面半径为3,高为3)去掉几何体M,
所以所求体积V2=π×32×3-VM=27π-=.第2课时 球的表面积和体积
【学习目标】
1.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式计算一些简单的与球有关的表面积和体积.
2.能解决与球有关的简单截面问题.
3.能用公式计算一些简单组合体的表面积和体积.
◆ 知识点一 球的表面积和体积
设球的半径为R,则球的表面积公式:S球= ;
球的体积公式:V球= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的3倍. ( )
(2)若三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积与最小球的体积之和是另一个球的体积的2倍.( )
2.若球的半径R=3,则过球心的截面圆的面积为 ,球的表面积为 ,体积为 .
◆ 知识点二 球的截面问题
(1)用一个 去截球,截面一定是 .
(2)如果平面过 ,那么得到的截面圆为球的 ;如果平面不过球心,那么得到的截面圆为球的 .
(3)如图,设小圆的圆心为O',半径为r,球的球心为O,半径为R,则
①OO'⊥圆面O';
②R2=r2+OO'2.
◆ 探究点一 球的表面积与体积公式的应用
例1 (1)已知球的直径为6 cm,求它的表面积和体积.
(2)已知球的表面积为64π,求它的体积.
(3)已知球的体积为π,求它的表面积.
变式 (1)若一个球的体积与表面积相等,则该球的半径为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.
(2)已知小球与大球的表面积之比为1∶9,则小球与大球的体积之比为 .
◆ 探究点二 球的截面问题
例2 已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36π cm2,求球心与截面圆圆心之间的距离.
变式 过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离是球的半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
◆ 探究点三 与球有关的组合体的表面积与体积问题
例3 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一周.
(1)说明所得几何体的结构特征;
(2)求所得几何体的表面积和体积.
变式 (1)某几何体由一个半球、一个圆柱和一个圆台组成,其轴截面如图所示,则该几何体的体积为 ( )
A.2530π B.3016π
C.3824π D.4350π
(2)如图所示,已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,则V圆锥∶V球∶V圆柱= .
[素养小结]
解决组合体问题主要是正确分辨各个几何体,然后结合几何体的表面积公式或者体积公式求得最值.第2课时 球的表面积和体积
一、选择题
1.已知球的半径是3,则该球的体积是 ( )
A.4π B.12π C.24π D.36π
2.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍,则球的体积扩大为原来的 ( )
A.8倍 B.4倍
C.2倍 D.2倍
3.已知实心铁球的半径为R,若将该铁球熔成一个底面半径为R,高为h的圆柱,则= ( )
A. B. C. D.2
4.湖面上浮着一个球,湖水结冰后将球取出,冰中留下一个开口直径为20 cm,深为5 cm的空穴,则这个球的半径是 ( )
A.9 cm B.10.5 cm
C.12.5 cm D.14.5 cm
5.如图,某种中药胶囊外形是由两个半球和一个圆柱组成的,半球的直径是6 mm,圆柱的高为8 mm,则该中药胶囊的体积为 ( )
A.90π mm3 B.108π mm3
C.216π mm3 D.360π mm3
6.某同学在实践课上制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的表面积为 ( )
A.64π B. C.16π D.
7.如图①,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图②,球缺是指一个球被平面所截后剩下的部分,截得的圆面叫作球缺的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫作球缺的高.已知球缺的体积公式为V=(3R-h)h2,其中R是球的半径,h是球缺的高.若该灯笼的高为40 cm,圆柱的高为4 cm,圆柱的底面圆直径为24 cm,则该灯笼的体积约为(取π=3) ( )
A.32 000 cm3 B.33 664 cm3
C.33 792 cm3 D.35 456 cm3
8.根据重心低更稳定的原理,中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁.如图所示,该不倒翁由上底面半径为2 cm、下底面半径为3 cm且母线长为 cm的圆台与一个半径为3 cm的半球两部分构成.若半球的密度为圆台密度的3倍(圆台与半球均为实心),圆台的质量为190 g,则该不倒翁的总质量为 ( )
A.370 g B.490 g
C.650 g D.730 g
9.(多选题)如图所示,圆锥的底面半径和高都等于球的半径,则下列说法中正确的是 ( )
A.圆锥的轴截面为直角三角形
B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π
D.圆锥的体积与球的体积之比为1∶4
二、填空题
10.[2024·北京丰台区高一期中] 体积为36π的球的表面积是 .
11.[2024·重庆南开中学高一期中] 将一个半径为1 cm的铁球熔化后,浇铸成一个底面半径为1 cm的圆锥铁锭(不计损耗),则圆锥的母线长为 cm.
12.某工厂为学校运动会定制奖杯,奖杯的截面图形如图所示.已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台,圆台上、下底面半径分别为1,2,将一个表面积为8π的水晶球放置于圆台底座上,即得该奖杯.已知空心圆台(厚度不计)的体积为7π,则该奖杯的高(即水晶球最高点到圆台下底面的距离)为 .
三、解答题
13.如图,圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,求一个球的表面积.
14.一个球内有相距9 的两个平行截面,它们的面积分别为49π和400π,求球的体积.
15.已知A,B,C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC⊥BC,且AB=R,那么A,B两点的球面距离为 ,球心O到平面ABC的距离为 .
16.[2024·浙江温州高一期中] 早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球的体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
(1)在一个半径为3的半球体中,挖去一个半径为的球体,求剩余部分的体积.
(2)如图,由曲线y=x2(-3≤x≤3)与线段y=3(-3≤x≤3)围成一个图形,将该图形绕y轴旋转得到一个旋转体,请运用祖暅原理求该旋转体的体积.
