(共84张PPT)
8.4 空间点、直线、平面之间的位置
关系
8.4.1 平面
探究点一 对平面概念的理解
探究点二 立体几何三种语言的相互转化
探究点三 共点、共线问题
探究点四 共面问题
【学习目标】
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3.
3.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类及表示.
知识点一 平面
1.平面的概念：几何里所说的平面就是从桌面、黑板面、平静的水面
等物体中抽象出来的，是向________________.
四周无限延展的
2.平面的画法与表示
平面 水平放置 竖直放置
画法 _______________________________________________________ _____________________
表示 ①希腊字母：平面 ,平面 ,平面 ； ②平行四边形的四个顶点：平面_______； ③平行四边形的对角顶点：平面或平面
【诊断分析】判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）平面就是平行四边形.( )
×
[解析] 平面是向四周无限延展的.
（2）两个平面拼在一起，要比一个平面大.( )
×
（3）空间图形中,后引的辅助线都是虚线.( )
×
知识点二 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
点与直线 在 上 ________________________
在 外 ________________________
点与平面 在 内 _______________________________
在 外 _______________________________
文字语言 符号语言 图形语言
直线与直线 ，相交于 ________________________
直线与平面 在 内 _______________________________
在 外 _____________________________________________________________
平面与平面 ， 相交于 ______________________________________
续表
知识点三 平面的基本性质
1.三个基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过__________ ______的三个 点，有且只有 一个平面 ______________________________ ，， 三 点不共线 存在唯一的 平面 ，使 ， ， ①确定平面
的依据；
②判定点线
共面
不在一条直线上
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实2 如果一条直线 上的________ 在一个平面 内，那么这条 直线在这个平 面内 ______________________________ ， ，且 ， ①确定直线
在平面内的
依据；
②判定点在
平面内
两个点
续表
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实3 如果两个不重 合的平面有 ______公共 点，那么它们 有且只有____ ________的公 共直线 _____________________________ ，且，且 ①判定两平
面相交的依
据；
②判定点在
直线上
一个
一条过该点
续表
2.三个推论
推论1 经过一条直线和____________一点，有且只有一个平面，如
图（1）.
推论2 经过两条______直线，有且只有一个平面，如图（2）.
推论3 经过两条______直线，有且只有一个平面，如图（3）.
这条直线外
相交
平行
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）自行车有一个脚撑就可站稳.( )
√
[解析] 因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面
上，且这三个着地点不在同一条直线上，所以根据推论1知自行车有
一个脚撑就可站稳.
（2）若线段在平面 内，则直线可能不在平面 内.( )
×
[解析] 由线段在平面 内知，直线上至少有两点在平面 内，
则由基本事实2知，直线在平面 内.
（3）两个平面的交线可能是一条线段.( )
×
[解析] 由基本事实3知，两个平面的交线是一条直线.
（4）若平面 与平面 有公共点，则公共点不止一个.( )
√
探究点一 对平面概念的理解
例1 下列说法正确的是( )
A.铺的很平的一张白纸是一个平面
B.平面是矩形或平行四边形
C.两个平面叠在一起比一个平面厚
D.平面的直观图一般画成平行四边形
[解析] 根据平面的定义得，平面是向四周无限延展的，且平面是没
有厚度的，所以选项A，B，C都是错误的，D是正确的.故选D.
√
变式 下列说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
√
[解析] 我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个
平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不可以无
限延展的，故A不正确；
平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是
不可以无限延展的，故B不正确；
太平洋再大也会有边际，平静的太平洋面不是一个平面，故C不正确；
平面是无限延展的，它将空间分成两部分，故D正确.故选D.
探究点二 立体几何三种语言的相互转化
例2 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点在平面 内，点在平面 外；
解： , ，如图①.
（2）直线经过平面 外的一点 ；
解： , ，如图②.
（3）直线既在平面 内，又在平面 内.
解： , （或 ），如图③.
变式（1） 若点在平面 内，直线在平面 内，点不在直线 上，
则下列描述中，正确的是( )
A.， 且 B.， 且
C.， 且 D.， 且
[解析] 根据元素与集合的关系知，点A在平面 内可表示为 ，
点A不在直线上可表示为，根据集合与集合的关系知，直线 在
平面 内可表示为 .故选B.
√
（2）如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系.
①点与平面 ______；
[解析] 点不在平面 内，所以 .
②点与平面 ______；
[解析] 点不在平面 内，所以 .
③直线与平面 ____________；
[解析] 直线与平面 相交于点，所以 .
④直线与平面 ________；
[解析] 直线在平面 内，所以 .
⑤平面 与平面 ____________.
[解析] 平面 与平面 相交，且交线为，所以 .
探究点三 共点、共线问题
角度1 三线共点问题
例3 如图，已知平面 ， ，且,设梯形 中，
，且 ， ，求证：，， 三线共点.
证明： 梯形中，，，
是梯形的两腰，， 必定相交于
一点.
设， ， ，
， ， .
又,,即，， 三线共点.
变式 如图，在正方体中，，，
分别在棱，，上，且，相交于点 ，
求证：，， 三线共点.
证明：因为，所以， .
又 平面， 平面，所以 平
面， 平面 .
因为平面 平面，所以 ，
所以，， 三线共点.
角度2 三点共线问题
例4 已知是空间四边形，如图所示，，，， 分
别是，，，上的点，若直线与直线 相交
于点，证明：，， 三点共线.
证明：连接，因为，， 平面
， 平面，所以 平面 .
因为，， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
因为直线与直线相交于点 ，
所以，，所以 平面， 平面 ，
又平面 平面，所以 ，
所以，， 三点共线.
变式 若直线与平面 相交于点，，，， ，且
，则，， 三点的位置关系是______.
共线
[解析] 因为，所以与可以确定一个平面，
记为 ，则.
因为，所以 ，
又， ，所以 ，
所以由基本事实3知，，故，， 三点共线.
［素养小结］
（1）证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再
证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据基本事实3,从而
只需证明此点在两个平面的交线上.
（2）点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要
证明依据是基本事实3，解决此类问题常用以下两种方法：
①首先找出两个相交平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共
点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；
②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
探究点四 共面问题
例5 如图,在四棱锥中,底面为菱形,,分别是,
的中点,点在上,且，证明:,,, 四点共面.
证明：如图，在平面内,连接 并延长,
交的延长线于点,则有 .
在平面内,连接并延长,交 的延长线
于点.
取的中点,连接, ，则由
可知
点为 的中点,,即,
在中，, 点与点重合, 即与相交于点,
,,, 四点共面.
变式 如图所示，在正方体 中.
（1）与 是否能确定一个平面？
解：在正方体 中，
，与 能确定一个平面.
（2）点，， 是否能确定一个平面？
解： 点，， 不共线，
点，， 能确定一个平面.
（3）画出平面与平面，平面与平面 的交线.
解：如图，设 ，
，连接， .
，， 平面 ，
平面 ，
平面， 平面 .
又 平面， 平面 ，
平面 平面 .
同理，平面 平面 .
［素养小结］
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据
是基本事实1、基本事实2及推论.通常有两种方法:（1）先由部分元
素确定一个平面,再证明其余元素也在该平面内;（2）先由有关的点、
线确定平面 ,再由其余元素确定平面 ,最后证明平面 , 重合.
拓展 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.
证明：分两种情况讨论:
（1）有三条直线过同一点,如图①所示.
, 点与直线 可以确定一个平面 ,
又,,,,, , , ,
,,,, 四条直线共面.
（2）任意三条直线都不过同一点,如图②所示.
, 直线 与直线可以确定一个平面 ,
又,,,,, ,, .
由, ,得 ;由, ,得 .
因此,,, 四条直线共面.
综上，两两相交但不过同一点的四条直线共面.
从欧几里得到希尔伯特——公理化方法
欧几里得（ ,约公元前330年—公元前275年）,古希腊著名
的数学家.
欧几里得的最大贡献是对过去所有数学知识的总结.他的《几何
原本》不仅奠定了西方几何学的基础,并且提供了一整套公理化方法
的范例.《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本,最后两卷为后
人增补）.在第一卷中,欧几里得列出了23个“定义”,提出了5个“公设”
和5个“公理”（现代数学并不区分公设和公理,都以公理称之）,然后
循序渐进地用推理、证明、演绎的方法推导出了全书所有的命题.
直到希尔伯特的诞生,几何学的公理化终于走到了最辉煌的时刻.
希尔伯特 ,德国著名的数学家.1899
年,希尔伯特发表了他的《几何基础》（第一版）,不仅完成了几何学
公理化,并且为现代数学公理化提供了一个极佳的范例,希尔伯特的公
理系统非常完善.它有三个特点:
①完备性,即所有定理都可以由这些公理推出.从公理表中所列的
公理可以看出,希尔伯特不但定义了所有欧几里得曾经定义过的概念,
同时也定义了那些欧几里得没有定义的诸如“连续性”“顺序性”之类
的概念,从而使整个体系更加完备.由此可见欧氏公理表中的公理数量
是远远不够的.但与欧几里得不同的是,希尔伯特并没有刻意去定义
“点”“直线”“平面”等几何中最为常见的元素,而仅仅是将他们设想为
“三组不同的对象”.
②相容性,即从这些公理出发不可能推出任何矛盾的定理.庞加莱
发表的一个见解认为,一个公理建立起来的结构,如果可以给出一个算
术解释,那么就可以相信它的相容性.希尔伯特由此在《几何基础》中
以实数作为一组对象,对他的公理系统做出了一个算术解释.他证明了
欧几里得几何中存在的任何矛盾,必定会表现为实数算术中的一个矛
盾.无论是非欧几何还是欧氏几何,都被证明至少是与实数算术一样地
相容,而实数算术的相容性则是所有数学家都愿意接受的.毕竟从某个
角度来说,数学家还不愿意怀疑自身最基础的东西.
③独立性,即如果从这组公理中除去任何一条公理,那么至少就会
有某些定理不可能得到证明.从书中可以看出,公理表中的所有公理在
证明过程中都是不可或缺的.
1.符号语言在立体几何与集合中的差异
（1）用符号语言描述几何关系时,“ , , ”等符号虽来源于集合符
号,但在读法上却用几何语言.例如, 读作“点在平面 内”;
读作“直线在平面 内”;读作“平面 ， 相交于直
线 ”.
（2）在“ , ”中视为平面 （集合）上的点（元素）,
（集合）视为平面 （集合）的子集.
（3）几何符号的用法原则上与集合符号的含义一致,但个别地方与集
合符号略有差异.例如:不再用直线来表示直线,交于点 ,
而简记为,这里的 既是一个点,又可以理解为只含一个元素
（点）的集合.
2.相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被
遮住部分的线画成虚线或者不画,以增强立体感.
3.基本事实1和三个推论是确定一个平面的方法.
1.点共线问题的解决方法:首先找出两个相交平面,然后证明这些点在
两个相交平面内,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
线共点问题的解决方法：先证两条直线相交，再证交点在其余各线
上（往往依据基本事实3）.
例1 如图所示，与 不在同一
个平面内，如果三条直线，， 两
两相交，求证：三条直线，， 交
于一点.
证明：设与，与，与
分别确定平面 ， ， ，
与的交点为，
因为 ，， ， ，
所以 ， ， 即 ，
又，所以 ，
所以三条直线，， 交于一点.
2.点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要
依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有三种方法:（1）纳入平
面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;（2）
辅助平面法（平面重合法）:先由有关的点、线确定平面 ,再由其余
元素确定平面 ,最后证明平面 , 重合;（3）反证法.
例2 如图所示，已知，， .求证：直
线，， 在同一平面内.
证明：方法一（纳入平面法）
，和确定一个平面 .
， .
又 ， .
同理可证 .
又，， ，
直线，， 在同一平面内.
，和确定一个平面 .
， , .
， , .
同理可证 ， ， , ，
不共线的三个点，，既在平面 内，
又在平面 内， 平面 和 重合，即直线，， 在同一平面内.
练习册
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.桌面是平面
B.一个平面的面积是
C.空间图形是由点、线、面构成的
D.在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都画成虚线
[解析] 由平面的概念和空间图形的组成和画法可知C正确.
√
2.如果点在直线上,而直线又在平面 内,那么可以记作( )
A., B., C., D.,
[解析] 用符号表示为， .故选D.
√
3.[2024·广东佛山高一期中]下列条件不能确定一个平面的有( )
A.一条直线和直线外一点 B.对边相等的四边形
C.两条相交直线 D.两条平行直线
[解析] 对于选项A，经过直线与直线外一点有且只有一个平面.
对于选项B，在对边相等的四边形中，对边有可能异面，不能确定一
个平面.
对于选项C，经过两条相交直线有且只有一个平面.
对于选项D，经过两条平行直线有且只有一个平面.故选B.
√
4.四条线段首尾相接，它们最多确定的平面个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 如图，当A，B，C，D不共面时，确定的平面最多，共4个，
即平面，平面，平面，平面 .
√
5.经过同一条直线上的三个点的平面( )
A.有且仅有1个 B.有无数个 C.不存在 D.有且仅有3个
[解析] 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面,在同一条直线
上的三个点所在的平面,就是以这条直线为轴,任意旋转角度所得的平
面,所以有无数个平面.故选B.
√
6.下列关于确定平面的几个说法，正确的是( )
A.经过一条直线和一个点可以确定一个平面
B.圆心和圆上任意两点可以确定一个平面
C.两两相交的三条直线可以确定一个平面
D.梯形可以确定一个平面
√
[解析] 一条直线和直线外的一点确定一个平面，故A不正确.
圆心和圆上两点共线时，圆心和圆上两点确定无数个平面，故B不
正确.
由平面的基本性质及推论可知，两两相交的三条
直线可以确定的平面的个数为1或3.
如图①，，故直线与确定一个平面 ，
若在平面 内，则直线，，确定一个平面；
如图②， ，故直线与确定一个
平面 ，若不在平面 内，则直线，，
确定三个平面.故C错误.
因为梯形的一组对边平行，所以由“两条平行直
线确定一个平面”知，梯形可以确定一个平面，故D正确.故选D.
7.已知平面 与平面 , 都相交,则这三个平面可能的交线有( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
[解析] 当 过 与 的交线时,这三个平面有1条交线;
当 与 没有交线, 与 和 各有一条交线时,这三个平面共有2条
交线;
当,,且,, 不重合时,这三个平面共有3条
交线.故选D.
√
8.[2024·福建泉州高一期中]如图，在四面体中作截面 ，若
，的延长线交于点，，的延长线交于点，， 的
延长线交于点 .则下列说法中正确的个数是( )
，，三点共线；
，，，四点共面；
.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 因为，直线 平面，
，直线 平面，所以是平
面与平面的一个公共点，所以 在平
面与平面的交线上，
同理可证，,也在平面与平面 的交线上，
所以,,三点共线，所以①正确；
因为 平面 ，所以②错误；
因为 ，所以③错误.故选B.
9.（多选题）已知 , 为平面,,, 为点, 为直线,下列说法正确的
是( )
A.若, ,, ，则
B.若, , ，则
C.若 , ，则
D.若,, ,,, ,且,, 不共线，则 , 重合
√
√
√
[解析] , ,, ,由基本事实2可得 ,故A正确;
若 , ,则在 与 的交线上,又,
,故B正确;
若 , ,则且或 , 重合,故C错误;
若A,B, ,A,B, ,且A,B,不共线,由基本事实1可得, , 重
合,故D正确.故选 .
二、填空题
10.点 平面 ，点 平面 ，平面 平面直线，则点
___直线 （用集合符号表示）.
[解析] 因为点 平面 ，点 平面 ，所以 在两平面的交线
上，又平面 平面直线，所以点 直线 .
11.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连
接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人
师傅运用的数学原理是__________________________.
两条相交直线确定一个平面
[解析] 由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们
是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个
平面”.
12.如图，正方体的棱长为1，
为的中点，为上的动点，过点，， 的
平面截正方体所得的截面的面积为，则当
时， _ __.
[解析] 当时，与重合，取的中点 ，
连接,,,，, ，则截面为四边形
，
由正方体的对称性知四边形 是菱形，
其边长为，易知 ，
则 ，故 .
三、解答题
13.如图，，， ，
.求证：，， 三点共线.
证明：，， 可确定一个平面，
设为平面 ，在平面 内，即在平面 内.
又，， ，
，，为平面 与平面 的公共点，根据基本事实3可得， ，
， 三点共线.
14.如图，设与不在同一个平面内，且 ，
，，，求证：，， 三线共点.
证明：，， 四边形 为
梯形，与相交，设其交点为 ，
则， .
平面， 平面 .
同理可证， 平面 ，
点在平面与平面 的交线上，
即，，， 三线共点.
15.（1）空间任意4点，其中没有任何3点共线，这4个点最多可以确
定___个平面.
4
[解析] 当这4个点为三棱锥的4个顶点时，可以确定的平面最多，此
时可以确定4个平面.
（2）空间任意5点，其中有4点共面，没有任何3点共线，这5个点最
多可以确定___个平面.
7
[解析] 当这5个点为四棱锥的5个顶点时，可以确定的平面最多，此
时可以确定7个平面.
16.如图，在正方体中，为 的中点．
（1）在图中作出平面和底面 的交线，并说明理由；
解：如图，在正方形中，直线
与直线相交，设 ，连接
，则就是平面和底面 的
交线.
理由如下：
， 平面， 平面 .
， 平面， 平面 ．
又 平面, 平面， 平面 平面 ．
（2）平面 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．
解：设，连接，由为
的中点，得为的中点，
，则平面 将正方体分
成的两部分中,一部分是三棱台 ．
设正方体的棱长为2，在 中，易得
，则
, 另一部分几何体的体积为
， 两部分的体积之比为 .8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
【课前预习】
知识点一
1.四周无限延展的 2.ABCD
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)平面是向四周无限延展的.
知识点三
1.不在一条直线上 两个点 一个 一条过该点
2.这条直线外 相交 平行
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,且这三个着地点不在同一条直线上,所以根据推论1知自行车有一个脚撑就可站稳.
(2)由线段AB在平面α内知,直线AB上至少有两点在平面α内,则由基本事实2知,直线AB在平面α内.
(3)由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] 根据平面的定义得,平面是向四周无限延展的,且平面是没有厚度的,所以选项A,B,C都是错误的,D是正确的.故选D.
变式 D [解析] 我们用平行四边形来表示平面,但不能说平行四边形是一个平面,平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形,它是不可以无限延展的,故A不正确;平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可以无限延展的,故B不正确;太平洋再大也会有边际,平静的太平洋面不是一个平面,故C不正确;平面是无限延展的,它将空间分成两部分,故D正确.故选D.
探究点二
例2 解:(1)A∈α,B α,如图①.
(2)M α,M∈a,如图②.
(3)a α,a β(或α∩β=a),如图③.
变式 (1)B (2)①C β ②A α ③AB∩α=B ④CD α
⑤α∩β=BD [解析] (1)根据元素与集合的关系知,点A在平面α内可表示为A∈α,点A不在直线l上可表示为A l,根据集合与集合的关系知,直线l在平面α内可表示为l α.故选B.
(2)①点C不在平面β内,所以C β.②点A不在平面α内,所以A α.③直线AB与平面α相交于点B,所以AB∩α=B.④直线CD在平面α内,所以CD α.⑤平面α与平面β相交,且交线为BD,所以α∩β=BD.
探究点三
例3 证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两腰,∴AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M,∵AB α,CD β,
∴M∈α,M∈β,∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l三线共点.
变式 证明:因为DP∩RQ=O,所以O∈DP,O∈RQ.
又DP 平面ABCD,RQ 平面B'C'CB,所以O∈平面ABCD,O∈平面B'C'CB.
因为平面ABCD∩平面B'C'CB=BC,所以O∈BC,
所以DP,RQ,BC三线共点.
例4 证明:连接BD,因为M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD.
因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,
所以EF 平面CBD.
因为直线MN与直线EF相交于点O,
所以O∈EF,O∈MN,所以O∈平面CBD,O∈平面ABD,
又平面ABD∩平面CBD=BD,所以O∈BD,
所以B,D,O三点共线.
变式 共线 [解析] 因为AC∥BD,所以AC与BD可以确定一个平面,记为β,则α∩β=CD.因为l∩α=O,所以O∈α,又O∈AB,AB β,所以O∈β,所以由基本事实3知,O∈CD,故O,C,D三点共线.
探究点四
例5 证明:如图,在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD.在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1.取GD的中点N,连接CN,EF,则由PG=PD可知PG=GN=ND.∵点F为PC的中点,∴FG∥CN,即GM1∥CN,∴在△GM1D中,CM1=CD,∴点M与点M1重合,即AE与GF相交于点M,∴A,E,F,G四点共面.
变式 解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵AA1∥CC1,∴AA1与CC1能确定一个平面.
(2)∵点B,C1,D不共线,
∴点B,C1,D能确定一个平面.
(3)如图,设 AC∩BD=O,CD1∩DC1=E,连接OC1,OE.
∵O∈AC,O∈BD,AC 平面AA1C1C,BD 平面BC1D,
∴O∈平面AA1C1C,O∈平面BC1D.
又C1∈平面AA1C1C,C1∈平面BC1D,
∴平面AA1C1C∩平面BC1D=OC1.
同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE.
拓展 证明:分两种情况讨论:
(1)有三条直线过同一点,如图①所示.∵A d,∴点A与直线d可以确定一个平面α,又B,C,D∈d,∴B,C,D∈α,∴AB α,AC α,AD α,∴a,b,c,d四条直线共面.
(2)任意三条直线都不过同一点,如图②所示.∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α,又D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α.由B,E∈α,得c α;由C,D∈α,得d α.因此a,b,c,d四条直线共面.
综上,两两相交但不过同一点的四条直线共面.8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
1.C [解析] 由平面的概念和空间图形的组成和画法可知C正确.
2.D [解析] 用符号表示为A∈l,l α.故选D.
3.B [解析] 对于选项A,经过直线与直线外一点有且只有一个平面.对于选项B,在对边相等的四边形中,对边有可能异面,不能确定一个平面.对于选项C,经过两条相交直线有且只有一个平面.对于选项D,经过两条平行直线有且只有一个平面.故选B.
4.A [解析] 如图,当A,B,C,D不共面时,确定的平面最多,共4个,即平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.
5.B [解析] 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面,在同一条直线上的三个点所在的平面,就是以这条直线为轴,任意旋转角度所得的平面,所以有无数个平面.故选B.
6.D [解析] 一条直线和直线外的一点确定一个平面,故A不正确.圆心和圆上两点共线时,圆心和圆上两点确定无数个平面,故B不正确.由平面的基本性质及推论可知,两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3.如图①,a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,若c在平面α内,则直线a,b,c确定一个平面;如图②,a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,若c不在平面α内,则直线a,b,c确定三个平面.故C错误.因为梯形的一组对边平行,所以由“两条平行直线确定一个平面”知,梯形可以确定一个平面,故D正确.故选D.
7.D [解析] 当α过β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ没有交线,α与β和γ各有一条交线时,这三个平面共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c且a,b,c不重合时,这三个平面共有3条交线.故选D.
8.B [解析] 因为M∈PQ,直线PQ 平面PQR,M∈BC,直线BC 平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上,同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,所以M,N,K三点共线,所以①正确;因为N 平面PCM,所以②错误;因为BC∩NK=M,所以③错误.故选B.
9.ABD [解析] A∈a,A∈α,B∈a,B∈α,由基本事实2可得a α,故A正确;若M∈α,M∈β,则M在α与β的交线上,又α∩β=a,∴M∈a,故B正确;若A∈α,A∈β,则α∩β=a且A∈a或α,β重合,故C错误;若A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线,由基本事实1可得,α,β重合,故D正确.故选ABD.
10.∈ [解析] 因为点A∈平面α,点A∈平面β,所以A在两平面的交线上,又平面α∩平面β=直线l,所以点A∈直线l.
11.两条相交直线确定一个平面 [解析] 由于连接对“脚”的两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格,所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
12. [解析] 当CQ=1时,Q与C1重合,取A1D1的中点M,连接AP,PC1,C1M,MA,AC1,PM,则截面为四边形APC1M,由正方体的对称性知四边形APC1M是菱形,其边长为=,易知AC1=,则PM=2=,故S=××=.
13.证明:∵AB∥CD,∴AB,CD可确定一个平面,设为平面β,∴AC在平面β内,即E在平面β内.
又AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,∴B,D,E为平面α与平面β的公共点,根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.
14.证明:∵AB≠A1B1,AB∥A1B1,∴四边形AA1B1B为梯形,∴AA1与BB1相交,设其交点为S,
则S∈AA1,S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1.
同理可证,S∈平面ACC1A1,
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上,
即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点.
15.(1)4 (2)7 [解析] (1)当这4个点为三棱锥的4个顶点时,可以确定的平面最多,此时可以确定4个平面.
(2)当这5个点为四棱锥的5个顶点时,可以确定的平面最多,此时可以确定7个平面.
16.解:(1)如图,在正方形DCC1D1中,直线D1E与直线DC相交,设D1E∩DC=F,连接AF, 则AF就是平面AD1E和底面ABCD的交线.理由如下:
∵F∈DC,DC 平面ABCD,∴F∈平面ABCD.
∵F∈D1E,D1E 平面AD1E,∴F∈平面AD1E.
又A∈平面AD1E,A∈平面ABCD,∴平面AD1E∩平面ABCD=AF.
(2)设BC∩AF=G,连接GE,由E为CC1 的中点,得G为BC的中点,∴EG∥AD1,则平面AD1E将正方体分成的两部分中,一部分是三棱台CGE-DAD1.
设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,在△FDD1中,易得CF=DC=2,则=-V三棱锥F-CGE==××FD=,∴另一部分几何体的体积为23-=,∴两部分的体积之比为7∶17.8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
【学习目标】
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3.
3.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类及表示.
◆ 知识点一 平面
1.平面的概念:几何里所说的平面就是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的,是向 .
2.平面的画法与表示
平面 水平放置 竖直放置
画法
表示 ①希腊字母:平面α,平面β,平面γ; ②平行四边形的四个顶点:平面 ; ③平行四边形的对角顶点:平面AC或平面BD
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面就是平行四边形. ( )
(2)两个平面拼在一起,要比一个平面大. ( )
(3)空间图形中,后引的辅助线都是虚线.( )
◆ 知识点二 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
点与 直线 A在l上 A∈l
A在l外 A l
点与 平面 A在α内 A∈α
A在α外 A α
直线与 直线 l,m相交于A l∩m=A
直线与 平面 l在α内 l α
l在α外 l α
平面与 平面 α,β相交于l α∩β=l
◆ 知识点三 平面的基本性质
1.三个基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过 的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①确定平面的依据; ②判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α ①确定直线在平面内的依据; ②判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有 公共点,那么它们有且只有 的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l ①判定两平面相交的依据; ②判定点在直线上
2.三个推论
推论1 经过一条直线和 一点,有且只有一个平面,如图(1).
推论2 经过两条 直线,有且只有一个平面,如图(2).
推论3 经过两条 直线,有且只有一个平面,如图(3).
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)自行车有一个脚撑就可站稳. ( )
(2)若线段AB在平面α内,则直线AB可能不在平面α内. ( )
(3)两个平面的交线可能是一条线段. ( )
(4)若平面α与平面β有公共点,则公共点不止一个. ( )
◆ 探究点一 对平面概念的理解
例1 下列说法正确的是 ( )
A.铺的很平的一张白纸是一个平面
B.平面是矩形或平行四边形
C.两个平面叠在一起比一个平面厚
D.平面的直观图一般画成平行四边形
变式 下列说法正确的是 ( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
◆ 探究点二 立体几何三种语言的相互转化
例2 用符号表示下列语句,并画出相应的图形:
(1)点A在平面α内,点B在平面α外;
(2)直线a经过平面α外的一点M;
(3)直线a既在平面α内,又在平面β内.
变式 (1)若点A在平面α内,直线l在平面α内,点A不在直线l上,则下列描述中,正确的是 ( )
A.A∈l,l α且A α
B.A l,l α且A∈α
C.A l,l∈α且A∈α
D.A l,l α且A α
(2)如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系.
①点C与平面β: ;
②点A与平面α: ;
③直线AB与平面α: ;
④直线CD与平面α: ;
⑤平面α与平面β: .
◆ 探究点三 共点、共线问题
角度1 三线共点问题
例3 如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β,求证:AB,CD,l三线共点.
变式 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,P,Q,R分别在棱AB,BB',CC'上,且DP,RQ相交于点O,求证:DP,RQ,BC三线共点.
角度2 三点共线问题
例4 已知ABCD是空间四边形,如图所示,M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点,若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线.
变式 若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是 .
[素养小结]
(1)证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据基本事实3,从而只需证明此点在两个平面的交线上.
(2)点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要证明依据是基本事实3,解决此类问题常用以下两种方法:
①首先找出两个相交平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上;
②选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
◆ 探究点四 共面问题
例5 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,点G在PD上,且PG=PD,证明:A,E,F,G四点共面.
变式 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否能确定一个平面
(2)点B,C1,D是否能确定一个平面
(3)画出平面AA1C1C与平面BC1D,平面ACD1与平面BC1D的交线.
[素养小结]
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有两种方法:(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素也在该平面内;(2)先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
拓展 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.桌面是平面
B.一个平面的面积是26 m2
C.空间图形是由点、线、面构成的
D.在空间图形中,原图中的线都要画成实线,后补画的线都画成虚线
2. 如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作 ( )
A.A l,l α B.A l,l∈α
C.A∈l,l∈α D.A∈l,l α
3.[2024·广东佛山高一期中] 下列条件不能确定一个平面的有 ( )
A.一条直线和直线外一点
B.对边相等的四边形
C.两条相交直线
D.两条平行直线
4.四条线段首尾相接,它们最多确定的平面个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.经过同一条直线上的三个点的平面 ( )
A.有且仅有1个 B.有无数个
C.不存在 D.有且仅有3个
6.下列关于确定平面的几个说法,正确的是 ( )
A.经过一条直线和一个点可以确定一个平面
B.圆心和圆上任意两点可以确定一个平面
C.两两相交的三条直线可以确定一个平面
D.梯形可以确定一个平面
7.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有 ( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
8.[2024·福建泉州高一期中] 如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则下列说法中正确的个数是 ( )
①M,N,K三点共线;②P,N,M,C四点共面; ③BC∥NK.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M为点,a为直线,下列说法正确的是 ( )
A.若A∈a,A∈α,B∈a,B∈α,则a α
B.若α∩β=a,M∈α,M∈β,则M∈a
C.若A∈α,A∈β,则α∩β=A
D.若A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线,则α,β重合
二、填空题
10.点A∈平面α,点A∈平面β,平面α∩平面β=直线l,则点A 直线l(用集合符号表示).
11.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时,只需连接对“脚”的两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 .
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截正方体所得的截面的面积为S,则当CQ=1时,S= .
三、解答题
13.如图,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.
14. 如图,设△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB≠A1B1,AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
15.(1)空间任意4点,其中没有任何3点共线,这4个点最多可以确定 个平面.
(2)空间任意5点,其中有4点共面,没有任何3点共线,这5个点最多可以确定 个平面.
16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点.
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线,并说明理由;
(2)平面AD1E将正方体分成两部分,求这两部分的体积之比.
