辽宁省鞍山市铁西区2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题（PDF版、含解析）

九年级数学学情调查（九月）
（考试时间共 120 分钟，试卷满分 120 分）
温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，否则不给分，答题要
求见答题卡．
一、选择题：
1. 下列二次根式能与 6 合并的是（ ）
A. B. 120.5 C. 18 D. 24
7
2. 下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2 a3 a5 B. a2 a3 a6 C. a2 3 a6 D.
2a2 3 6a6
4. 如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，且点 B到数轴的距离为 1，则
数轴上C点所表示的数为（ ）
A. 3 B. 5 C. 1 3 D. 1 5
5. 一次函数 y＝kx+b中，y随 x的增大而增大，b＜0，则这个函数的图象不经过( )
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A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
6. 如图，AD是V ABC的角平分线，DE AB于点 E，△ABD的面积是 10，若 AB 5，
则点D到 AC的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三
丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”
题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共 3丈（1丈 10尺），已知绫布和罗布分别全部出
售后均能收入 896文；绫布和罗布各出售 1尺共收入 120文．问两种布每尺各多少钱？若设
绫布每尺 x文，根据题意可列方程是（ ）
896 896 120 896 896A. B. 30
x 30 x x 120 x
20 896 896 896 896C. 1 D. 30
x 120 x x 120 x
8. 如图，在 V ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，CA，AB 上（不与顶点重合），满足
DF ∥ AC，DE∥AB，连接 AD．下列说法一定正确的是（ ）
A. 四边形 AFDE的周长等于V ABC的周长
B. 当 AD平分 BAC时，四边形 AFDE为菱形
D,E BC, AC 2C. 当 为 的中点时，四边形 AFDE的面积等于V ABC的面积的
3
D. 当V ABC为等腰直角三角形时，四边形 AFDE为正方形
9. 如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，连接 BD ，动点 P 从点 A 出发沿折线
AB BD DA匀速运动，回到点A后停止．设点 P运动的路程为 x，线段 AP的长为 y，
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图 2是 y与 x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A. BD 10 B. BC 12
C. ABCD的面积为 96 D. 当 x 15时， ABP的面积为 20
10. 在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分 BAD 交 BC 于点
AD 3
E， AOD 120 ．连接OE，则下面的结论：①△BOE 是等腰三角形；② ；
AE 2
③ BC 2AB；④ S AOE S COE，其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：
11 3. 因式分解：m n mn ______．
12. 如图，在 ABCD中，AB 4, AD 12, AE,DF分别平分 DAB. ADC，那么 EF
的长为___________．
13. 如图，直线 y kx 1经过点 A 1,3 ．请写出关于 x的不等式1 kx 1 3的解集为
___________．
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14. 如图，在矩形 ABCD中，AB 6, AD 8，点 E为边 BC上一个动点，把 AEB沿 AE
折叠得到△AEB ，连接CB ，当CB 最短时， BE 的长为___________．
15. 如图，直线 AB与直线 AC交于点A，直线 AB的解析式为 y x 1，直线 AC的解析
式为 y 2x 6 1，点 D 为直线 AB 上的点，且 S ACD S ABC ，则点 D 的坐标为2
___________．
三、解答题：（2 个小题，16 题 10 分，17 题 6 分，共 16 分）
16. 计算：
（1 1） 3 3 8 2 27 ；
3
5 1 x 3
（2） x 2 ．
x 2 x 3 2x 4
17. 某学校组织七、八年级学生开展了“安全校园”知识竞赛，并从中各抽取 25名学生的
成绩进行整理分析．成绩分为 A,B,C,D四个等级，相应等级的得分分别记为 10分，9分，
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8分，7分．绘制的统计图表如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 8.76 a 9
八年级 b 8 10
（1）补充完整七年级竞答成绩条形统计图；
（2）统计表中 a _________，b __________；
（3）请根据表中的数据说明哪个年级更优秀．
四、解答题：（2 个小题，每题 8 分，共 16 分）
18. 如图，四边形 ABCD是矩形，E为 BC边上的一点，作EG AC于点G，连接 AE,F
为 AE的中点．连接 BF ,GF．
（1）求证：BF GF；
（2）若 ACB 40 ，求 BFG的度数．
19. 如图，在正方形 ABCD中，点 E是边CD上一点，且点 E不与C，D重合，过点A作
AE 的垂线交CB延长线于点 F ，连接EF ,BD交于点G．
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（1）求证：BF DE；
（2）判断点G是否为线段 EF 的中点，并证明你的结论．
五、应用题：（2 个小题，20 题 9 分，21 题 10 分，共 19 分）
20. 小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，他找到了一根长竹竿，想把风筝
挑下来，可是竹竿不够长，他想知道大树有多高呢？他制定了一个测量树高的方案．如图，
在地面A处，测得A到大树的距离 AN 2米，手中剩下的风筝线为 4米．后退 6米后，在
地面 B处风筝线恰好用完（点 N 在点M 的正下方，A,B,N 在同一条直线上）．即可求出这
棵树的高度，请你帮他求出树的高度MN 为多少米？（用含根号的式子表示）
21. 共享电动车，给我们的出行提供了方便．现有 A,B两种品牌的共享电动车，收费 y（元）
与骑行时间 x（分）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应 y1,B品牌的收
费方式对应 y2．
（1）直接写出 y1、 y2的函数关系式；
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（2）若骑行 8分钟， A,B两种品牌的共享电动车收费相差多少元？
（3）小明与小刚每天早上需要骑行A品牌或 B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品
牌共享电动车的平均行驶速度均为 20km/h，小明家到工厂的距离为9km，小刚家到工厂
的距离为6km，那么小明、小刚应选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
六、解答题：（2 个小题，每题 12 分，共 24 分）
22. 综合与探究
习题再现：
如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E是边 BC的中点， AEF 90 ，且 EF 交正方形
外角的平分线CF于点 F ．求证： AE EF．
数学思考：
（1）兴趣小组的作法：如图 1，取 AB的中点H ，连接 EH ．请你根据此辅助线写出证明
过程．
深入探究：
（2）智慧小组提出问题：如图 2，菱形 ABCD中 B=60 ，点 E是菱形 ABCD的边 BC上
任意一点，连接 AE，作 AEF 60 交CD边于点 F ，连接 AF 得到△AEF ，将△AEF
沿 AF 翻折得到 AGF．
①判断四边形 AEFG的形状，并说明理由．
②若菱形 ABCD的边长为 4，则四边形 AEFG面积的最小值为___________．
23. 如图 1，已知直线 y x, y x, y1 2x b与 轴分别交于点 A,B，直线 y2 ax 2与 轴分别
交于点C ,D，直线 y1与 y2交于点 P，已知 P的横坐标为 2,S PBD 3．
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（1）求 a,b的值；
（2）点 , 在直线 y1 2x b上，过点M 作直线MN 平行于 x轴，交直线 y2 ax 2于
点 N ，若线段MN 4，求m的值．
（3）直线 y1关于直线 y n的对称直线为 y3 kx c，在直线 y1, y3上分别取点
, 1 , , 3 ，当 d 0时， y1 y3 4，求 n的取值范围．
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九年级数学学情调查（九月）
（考试时间共 120 分钟，试卷满分 120 分）
温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，否则不给分，答题要
求见答题卡．
一、选择题：
1. 下列二次根式能与 6 合并的是（ ）
A. 120.5 B. C. 18 D. 24
7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二
次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．
先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为6的二次根式即可．
1 1 2
【详解】解：A、 0.5 ，不能与 6 合并，不符合题意；
2 2 2
B 12 84 2 21、 ，不能与 6 合并，不符合题意；
7 7 7
C、 18 3 2 ，不能与 6 合并，不符合题意；
D、 24 2 6，能与 6 合并，符合题意；
故选：D．
2. 下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，B、C、D均不是轴对称图形，故不符合要求；
A中是轴对称图形，故符合要求；
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2 a3 a5
3
B. a2 a3 a6 C. a2 a6 D.
2a2 3 6a6
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别进行判断，即
可得到答案．
【详解】解：A、a2 a3不能合并，故 A错误；
B、 a2 a3 a5 ，故 B错误；
3
C、 a2 a6，故 C正确；
D、 2a2 3 8a6 ，故 D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的
关键是熟练掌握运算法则进行判断．
4. 如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，且点 B到数轴的距离为 1，则
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数轴上C点所表示的数为（ ）
A. 3 B. 5 C. 1 3 D. 1 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．先用勾股定理求出 AC AB 5，再根据
数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点 C表示的数．
【详解】解：∵ AC AB 22 12 5 ，
∴点 C表示的数为1 5，
故选：D．
5. 一次函数 y＝kx+b中，y随 x的增大而增大，b＜0，则这个函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意，一次函数 y=kx+b的值随 x的增大而增大，即 k＞0，
又∵b＜0，
∴这个函数的图象经过第一三四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B．
6. 如图，AD是V ABC的角平分线，DE AB于点 E，△ABD的面积是 10，若 AB 5，
则点D到 AC的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解
题的关键．作DF AC于F ，根据角平分线的性质得到DF DE，根据三角形的面积公
式计算即可．
【详解】解：作DF AC于 F ，
∵ AD是V ABC中 BAC的角平分线，DE AB，DF AC，
∴DF DE，
∵△ABD的面积是 10，若 AB 5，
1
∴ 5 DE 10，
2
∴DE 4，
∴DF 4，即点D到 AC的距离是 4，
故选：C．
7. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三
丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”
题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共 3丈（1丈 10尺），已知绫布和罗布分别全部出
售后均能收入 896文；绫布和罗布各出售 1尺共收入 120文．问两种布每尺各多少钱？若设
绫布每尺 x文，根据题意可列方程是（ ）
896 896 896 896
A. 120 B. 30
x 30 x x 120 x
20 896 896 896 896C. 1 D. 30
x 120 x x 120 x
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，
是解题的关键．
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根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设绫布每尺 x文，则罗布每尺 120 x 文，
896 896
根据题意得： 30，
x 120 x
故选：B．
8. 如图，在 V ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，CA，AB 上（不与顶点重合），满足
DF ∥ AC，DE∥AB，连接 AD．下列说法一定正确的是（ ）
A. 四边形 AFDE的周长等于V ABC的周长
B. 当 AD平分 BAC时，四边形 AFDE为菱形
2
C. 当D,E为 BC, AC 的中点时，四边形 AFDE的面积等于V ABC的面积的
3
D. 当V ABC为等腰直角三角形时，四边形 AFDE为正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，菱形的判定，正方形的判定，三角形中线的性质等．根
据三角形三边关系可判断选项A；先证四边形 AFDE为平行四边形，根据 AD平分 BAC，
DF∥AC，可得 FDA FAD，进而得出 AF DF ，可证四边形 AFDE为菱形，可
判断选项 B；根据三角形中位线的性质，可判断选项 C；根据 BAC 90 时平行四边形
AFDE为矩形，可判断选项 D．
【详解】解： DF BF BD，DE CE CD，
AF AE DF DE AF AE BF BD CE CD AB AC BC，
即四边形 AFDE的周长小于V ABC的周长，
故选项 A说法错误；
DF ∥ AC，DE∥AB，
四边形 AFDE为平行四边形，
当 AD平分 BAC时， FAD EAD，
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DF∥AC，
FDA EAD，
FDA FAD，
AF DF ，
平行四边形 AFDE为菱形，
故选项 B说法正确；
当D,E为 BC, AC 的中点时，
1 1
则 S ADE S2 ADC
S ，
4 ABC
1 1
同理可得 S ADF S2 ADB
S
4 ABC
，
1 1 1四边形 AFDE的面积等于V ABC的面积的1 ，4 4 2
故选项 C说法错误；
当V ABC为等腰直角三角形时， BAC 90 ，
平行四边形 AFDE为矩形，不能证明 AFDE为正方形，
故选项 D说法错误；
故选 B．
9. 如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，连接 BD ，动点 P 从点 A 出发沿折线
AB BD DA匀速运动，回到点A后停止．设点 P运动的路程为 x，线段 AP的长为 y，
图 2是 y与 x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A. BD 10 B. BC 12
C. ABCD的面积为 96 D. 当 x 15时， ABP的面积为 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，解
题关键是准确从图象中获取信息．
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由图可得当点 P运动到点 B处时， x 10，当点 P运动到点 D处时， x = 20，由此可判
断 A选项；当点 P运动到点 D处时， y 12，由此可判断 B选项；作 BH AD，根据等
腰三角形三线合一及勾股定理，可求出 BH ，当 x 15时，点 P运动到 BD的中点处，
S 1V ABP SV ABD ，由此可判断 C，D选项．2
【详解】解：当点 P运动到点 B处时， x 10，即 AB 10，
当点 P运动到点 D处时， x = 20，
∴ BD 20 10 10，
故 A正确，不符合题意；
当点 P运动到点 D处时， y 12，即 AD 12，
∴ BC AD 12，
故 B正确，不符合题意；
当 x 15时，点 P运动到 BD的中点处，如图：
S 1此时 V ABP S ，2 V ABD
作 BH AD，
AB DB 10，
AH DH 1∴ AD 6，
2
∴ BH AB2 AH 2 102 62 8，
∴ ABCD的面积 AD BH 12 8 96，
故 C正确，不符合题意；
S 1 S 1 1∴ ABP ABD AD BH
1
12 8 24，
2 2 2 4
故 D选项错误，符合题意；
故选 D．
10. 在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分 BAD 交 BC 于点
AD 3
E， AOD 120 ．连接OE，则下面的结论：①△BOE 是等腰三角形；② ；
AE 2
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③ BC 2AB；④ S AOE S COE，其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，
等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质
是解题的关键．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 ACE 30 ，再判断出
ABO、 DOC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB AB，再求出OB BE，
可判断①；利用勾股定理得出 AD 3AB ，AE 2AB，可判断②；由直角三角形的性
质可得 BC 3AB，可判断③；由面积公式可得 S AOE S COE，可判断④．
【详解】解： AE平分 BAD，
BAE DAE 45 ，
∴ AEB 45 ，
ABE是等腰直角三角形，
AB BE，
∵矩形 ABCD， AOD 120 ，
OAD ODA 30 ，
∴ CAE 15 ， ACE DAC 30 ，
BAO 90 30 60 ，
在矩形 ABCD中，OA OB OC OD，
\V ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，
OB AB，
AB BE，
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OB BE，
△BOE是等腰三角形，故①正确；
∵ BD 2AB，
∴ = 2 2 = 3 ， = 2 + 2 = 2 ，
AD 3 6
∴ ，故②错误；
AE 2 2
在 Rt ABC中， ACB 30 ，
BC 3AB，故③错误；
AO CO，
S AOE S COE ，故④正确；
故选：B．
二、填空题：
11. 因式分解：m3n mn ______．
【答案】mn(m 1)(m 1)
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可；
【详解】m3n mn mn(m2 1) mn(m 1)(m 1)
故答案为：mn(m 1)(m 1)．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的
前提．
12. 如图，在 ABCD中，AB 4, AD 12, AE,DF分别平分 DAB. ADC，那么 EF
的长为___________．
【答案】4
【解析】
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【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，先由平行四边形的性质得到
AD∥BC，AB CD 4，AD BC 12，再由平行线的性质和角平分线的定义得到
BAE AEB，则 BE BA 4，同理CF CD 4，据此可得 EF BC BE CF ．
【详解】解：∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，AB CD 4，AD BC 12，
∴ DAE AEB ，
∵ AE平分 BAD，
∴ BAE DAE，
∴ BAE AEB，
∴ BE BA 4，
同理CF CD 4，
∴ EF BC BE CF 12 4 4 4，
故答案为：4．
13. 如图，直线 y kx 1经过点 A 1,3 ．请写出关于 x的不等式1 kx 1 3的解集为
___________．
【答案】 1 x 0
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，先求出 x 0时对应的 y值，结合图象可得答
案．
【详解】解：当 x 0时， y kx 1 1，
观察图形可得，当 1 x 0时，1 kx 1 3，
故答案为： 1 x 0．
14. 如图，在矩形 ABCD中，AB 6, AD 8，点 E为边 BC上一个动点，把 AEB沿 AE
折叠得到△AEB ，连接CB ，当CB 最短时， BE 的长为___________．
第 18页/共 37页
【答案】 2.4
【解析】
【分析】先利用矩形的性质求得 D ABC 90 ，CD AB 6，再得出当点 E在边
BC上运动时，点 B 在以A为圆心， AB为半径的圆上运动，然后根据折叠可得
B AE BAE 90 ， AB AB 6，BE B E，再证明△ABC∽△EB C ，列出
EB CB
比例式 ，利用勾股定理求得 AC，从而可求得CB ，代入比例式，求得 B E 2.4
AB AC
即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， AB 6，
∴ D ABC 90 ，CD AB 6，
当点 E在边 BC上运动时，点 B 在以A为圆心， AB为半径的圆上运动，
当点 B 在矩形 ABCD的对角线上时，CB 最短，
此时由折叠可得 B AE BAE， AB AB 6， BE B E，
又 ECB ACB，
△ABC∽△EB C，
EB CB
∴ ，
AB AC
∵ AB 6， AD 8，
∴ AC CD2 AD2 62 82 10，
∴CB AC AB 10 6 4，
EB 4
∴ ，解得： BE 2.4，
6 10
∴BE B E 2.4，
第 19页/共 37页
故答案为： 2.4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题
关键是掌握上述知识点并能运用求解．
15. 如图，直线 AB与直线 AC交于点A，直线 AB的解析式为 y x 1，直线 AC的解析
式为 y 2x 6 1，点 D 为直线 AB 上的点，且 S ACD S2 ABC
，则点 D 的坐标为
___________．
1 4
【答案】 3,4 或 ,
3 3
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类
讨论是解题关键．
5 8
根据一次函数的性质求出交点 A( , )， 1,0 , (3,0)，结合题意，设点D m,m 1 ，
3 3
分三种情况分析：当点 D在线段 AB上时，当点 D在 BA的延长线上时，当点 D在 AB的
延长线上时，结合图形，列出方程求解即可．
【详解】解：∵ 直线 AB的解析式为 y x 1，直线 AC的解析式为 y 2x 6，
= 5 = + 1
∴ 3 = 2 + 6，解得： ， = 8
3
5
∴ A( , 8)；
3 3
y x 1，当 y 0时， x 1，
y 2x 6，当 y 0时， x 3，
∴ 1,0 , (3,0)，
第 20页/共 37页
∴ BC 3 1 4，
S 1 BC y 1 4 8 16∴ ABC 2 A
，
2 3 3
S 1 8∴ ACD S2 ABC
，
3
设点D m,m 1 ，
当点 D在线段 AB上时，如图所示：
S S S 16 1 1∴ ACD ABC BCD BC yD 4 (m 1)
8
，
3 2 2 3
1
解得：m ，
3
4
∴ + 1 = ，
3
1 4
∴点D的坐标为 ,3 3
；

当点 D在 BA的延长线上时，如图所示：
∴ S 1 16 1 16 8 ACD S BCD S ABC BC yD 4 (m 1) ，2 3 2 3 3
解得：m 3，
第 21页/共 37页
∴m 1 4，
∴点D的坐标为 3,4 ；
当点 D在 AB的延长线上时，不符合题意；
1 4
综上可得：点D的坐标为 3,4 或 , ，
3 3
1 4
故答案为： 3,4 或 , ．
3 3
三、解答题：（2 个小题，16 题 10 分，17 题 6 分，共 16 分）
16. 计算：
1
（1） 3 3 8 2 27 ；
3
x 2 5 1 x 3（2） ．
x 2 x 3 2x 4
1 17 3【答案】（ ） 2
3
（2）2
【解析】
【分析】题目主要考查二次根式的加减运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关
键．
（1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可；
（2）根据分式的四则混合运算法则计算即可．
【小问 1详解】
1
解： 3 3 8 2 27
3
3
3 3 2 2 2 3 3
3
17 3
2
3
【小问 2详解】
第 22页/共 37页
x 2 5 1 x 3
x 2 x 3 2x 4
x2 4 5 1 2(x 2)
x 2

x 3 x 3
(x 3)(x 3) 1 2(x 2)

x 2 x 3 x 3
2．
17. 某学校组织七、八年级学生开展了“安全校园”知识竞赛，并从中各抽取 25名学生的
成绩进行整理分析．成绩分为 A,B,C,D四个等级，相应等级的得分分别记为 10分，9分，
8分，7分．绘制的统计图表如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 8.76 a 9
八年级 b 8 10
（1）补充完整七年级竞答成绩条形统计图；
（2）统计表中 a _________，b __________；
（3）请根据表中的数据说明哪个年级更优秀．
【答案】（1）图见解析
（2）9，8.76 （3）七年级更优秀
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等．
（1）用总人数减去 A，B，D等级人数，求出 C等级人数，补全图形即可；
第 23页/共 37页
（2）根据中位数、平均数的定义求解；
（3）比较平均数、中位数，利用中位数做决策．
【小问 1详解】
解：由题可知：七年级等级 C人数为： 25 6 12 5 2（人），
七年级竞答成绩条形统计图补充完整如下：
【小问 2详解】
解： 七、八年级各抽取 25名学生的竞赛成绩，
七年级中位数为从小到大排序后的第 13名同学的成绩，
由条形统计图可知：从小到大排序后的第13名同学的成绩在等级 B中，
故七年级中位数 a 9；
= 1 × 25 × 44% × 10 + 25 × 4% × 9+ 25 × 36% × 8 + 25 × 16% × 7 = 8.76；
25
故答案为：9，8.76；
【小问 3详解】
解：七年级更优秀．
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人
不低于 9分．
四、解答题：（2 个小题，每题 8 分，共 16 分）
18. 如图，四边形 ABCD是矩形，E为 BC边上的一点，作EG AC于点G，连接 AE,F
为 AE的中点．连接 BF ,GF．
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（1）求证：BF GF；
（2）若 ACB 40 ，求 BFG的度数．
【答案】（1）见解析 （2）100
【解析】
【分析】题目主要考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的定义及等边
对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明；
（2）根据等边对等角得出∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，再由三角形外角的定义确定
∠ = 2∠ ， = 2∠ ，结合题意求解即可．
【小问 1详解】
证明：∵四边形 ABCD是矩形， EG AC，
∴ ABC AGE 90 ，
∵ F 为 AE的中点，
∴ = = 1 ；
2
【小问 2详解】
由（1）得 = = 1 = ，
2
∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
∵ ACB 40 ，
∴ BAC 50 ，即∠ + ∠ = 50°，
∴∠ = ∠ + ∠ = 2∠ + 2∠ = 2∠ = 100°．
19. 如图，在正方形 ABCD中，点 E是边CD上一点，且点 E不与C，D重合，过点A作
AE的垂线交CB延长线于点 F ，连接EF ,BD交于点G．
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（1）求证：BF DE；
（2）判断点G是否为线段 EF 的中点，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）点G是 EF的中点，见解析
【解析】
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判
定和性质是解题关键．
（1）根据正方形的性质得出 = , ∠ = ∠ = ∠ = 90°，再由各角之间的关系
得出∠ = ∠ ，利用全等三角形的判定和性质即可证明
（2）过点 E作CD的垂线交 BD于点H ．则△DEH 是等腰直角三角形，DE HE，证
明△ ≌△ AAS ，可得 FG EG，即可证明．
【小问 1详解】
证明：∵正方形 ABCD，
∴ = , ∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∵ AE AF ，
∴ EAF 90 ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
∴△ABF≌△ADE(ASA)，
∴BF DE；
【小问 2详解】
解：点G是EF 的中点．
证明：过点 E作CD的垂线交 BD于点H ．
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四边形 ABCD是正方形，
BDC DBC 45 ．
DHE 90 BDC 45 ， FBG EHG 135 ．
DHE BDC．
DE HE．
△ABF≌△ADE，
BF DE HE．
在 BFG和△HEG中，
BGF HGE

FBG EHG

BF HE
∴△ ≌△ AAS ．
FG EG．
点G是 EF 的中点．
五、应用题：（2 个小题，20 题 9 分，21 题 10 分，共 19 分）
20. 小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，他找到了一根长竹竿，想把风筝
挑下来，可是竹竿不够长，他想知道大树有多高呢？他制定了一个测量树高的方案．如图，
在地面A处，测得A到大树的距离 AN 2米，手中剩下的风筝线为 4米．后退 6米后，在
地面 B处风筝线恰好用完（点 N 在点M 的正下方，A,B,N 在同一条直线上）．即可求出这
棵树的高度，请你帮他求出树的高度MN 为多少米？（用含根号的式子表示）
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105
【答案】 米
2
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意，列出式子是解题关键．
设风筝线长为 x米，则 = ( 4)米， BM x米，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得， MNB 90 ， AB 6米，
∴ = 2 + 6 = 8 米，
设风筝线长为 x米，则 = ( 4)米， BM x米，
∴MN 2 AM 2 AN 2， 2 = 2 2，
∴MN 2 (x 4)2 22 ，MN 2 x2 82，
∴ (x 4)2 22 x2 82 ，MN 2 x2 82，
解得： x 9.5，
MN 2∴ (x 4)2 22 5.52 4 26.25
105

4 ，
MN 105 105∴ 米（负值舍去）
4 2
∴树的高度MN 105为 米．
2
21. 共享电动车，给我们的出行提供了方便．现有 A,B两种品牌的共享电动车，收费 y（元）
与骑行时间 x（分）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应 y1,B品牌的收
费方式对应 y2．
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（1）直接写出 y1、 y2的函数关系式；
（2）若骑行 8分钟， A,B两种品牌的共享电动车收费相差多少元？
（3）小明与小刚每天早上需要骑行A品牌或 B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品
牌共享电动车的平均行驶速度均为 20km/h，小明家到工厂的距离为9km，小刚家到工厂
的距离为6km，那么小明、小刚应选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
6 0 x 10
2
【答案】（1） y1 x， y2 5 1 x 4 x 10 5
（2）2.8元 （3）小明骑 B品牌共享电动车更省钱，小刚骑 A品牌共享电动车更省钱
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解；
（2）将 x 8代入 y1、 y2的函数关系式，作差即可；
（3）先计算出两人从家到工厂所需时间，分别代入 y1、 y2的函数关系式，求出所需费用，
比较大小即可．
【小问 1详解】
解：设 y1 k1x，函数图象过 20,8 ，
8 20k1，
k 21 ，5
y 21 x；5
当0 x 10时， y2 = 6，
第 29页/共 37页
当 x 10时，设 y2 k2x b，函数图象过 20,8 ， 10,6 ，
8 = 20 2 + 6 = 10 2 +
，
= 1
解得 2 5，
= 4
y 12 x 4，5
6 0 x 10
y 2 1 ；
x 4 x 10 5
【小问 2详解】
解： x 8时，
y 21 8 3.2（元），5
y2 = 6（元），
y2 y1 6 3.2 2.8（元），
即骑行驶 8分钟， A,B两种品牌的共享电动车收费相差 2.8元；
【小问 3详解】
解： 20km/h 1 km/min，
3
1
小明从家到工厂所用时间为：9 27（分钟），
3
2
骑 A品牌共享电动车费用为： 27 10.8（元），
5
1
骑 B品牌共享电动车费用为： 27 4 9.4（元），
5
9.4 10.8，
小明骑 B品牌共享电动车更省钱；
1
同理：小刚从家到工厂所用时间为：6 18（分钟），
3
2
骑 A品牌共享电动车费用为： 18 7.2（元），
5
1
骑 B品牌共享电动车费用为： 18 4 7.6（元），
5
7.2 7.6，
小刚骑 A品牌共享电动车更省钱；
第 30页/共 37页
六、解答题：（2 个小题，每题 12 分，共 24 分）
22. 综合与探究
习题再现：
如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E是边 BC的中点， AEF 90 ，且 EF 交正方形
外角的平分线CF于点 F ．求证： AE EF．
数学思考：
（1）兴趣小组的作法：如图 1，取 AB的中点H ，连接 EH ．请你根据此辅助线写出证明
过程．
深入探究：
（2）智慧小组提出问题：如图 2，菱形 ABCD中 B=60 ，点 E是菱形 ABCD的边 BC上
任意一点，连接 AE，作 AEF 60 交CD边于点 F ，连接 AF 得到△AEF ，将△AEF
沿 AF 翻折得到 AGF．
①判断四边形 AEFG的形状，并说明理由．
②若菱形 ABCD的边长为 4，则四边形 AEFG面积的最小值为___________．
【答案】（1）见解析；（2）①菱形，见解析；②6 3
【解析】
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和
性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）取 AB中点H ，连接EH ，得出 AH EC， BH BE，进而得到 BHE为等腰直角
三角形即可得出 AHE的值，再利用补角的性质得出 1 2，然后根据角平分线的性质
求出 ECF ，最后根据ASA性质判定 AHE和△ECF 全等即可得出答案；
（2）①在 AB上截取 BH BE，连接 EH ，根据等边三角形的判定得出△BEH为等边三
角形，再由其性质及菱形的性质得出 AB BC，∠ = 120°，利用全等三角形的判定和
性质及菱形的判定即可证明；
第 31页/共 37页
②由①得三角形△AEF 为等边三角形，V ABC为等边三角形，得出 S 2S菱形AEFG AEF ，
当△AEF 的面积最小时，菱形的面积最小，过点 A作 AM EF ，过点 A作 AE BC ，
E E AE 3当点 与点 重合时， 取得最小值，根据等边三角形的性质得出 S 2△AEF AE ，4
结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：取 AB中点H ，连接 EH ，
又 E为 BC的中点，四边形 ABCD是正方形，
∴ AH EC， BH BE，
∴ BHE为等腰直角三角形，
∴ BHE 45 ， AHE 180 BHE 135 ，
又∵ AEF 90 ， B = 90°，
∴ FEC AEB 90 ， BAE AEB 90 ，
∴ FEC BAE，
又 EF 交正方形外角的平分线CF 于点 F，
1
∴ DCF FCG DCG 45 ， ECF 90 DCF 135 ，
2
在 AHE和△ECF 中，
1 2

AH EC ，

AHE ECF
∴ AHE≌ ECF ASA ，
∴ AE EF；
（2）①菱形，理由如下：
在 AB上截取 BH BE，连接 EH ，如图所示：
第 32页/共 37页
∵ B=60 ，
∴△BEH为等边三角形，
∴ EH BH BE，∠ = ∠ = ∠ = 60°，
∴∠ = 120°，
∵菱形 ABCD， B=60 ，
∴ AB BC，∠ = 120°，
∴ = ，即 AH CE，∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ， B=60 ， AEF 60 ，
∴∠ = ∠ ，
∴ AHE≌ ECF (ASA)，
∴ AE EF，
∵将△AEF 沿 AF 翻折得到 AGF
∴ = = = ，
∴四边形 AEFG是菱形；
②由①得三角形△AEF 为等边三角形，V ABC为等边三角形，
∵ S 2S菱形AEFG AEF ，
∴当△AEF 的面积最小时，菱形的面积最小，
过点 A作 AM EF ，如图所示：
1 1
∴ = = ，
2 2
第 33页/共 37页
∴ = 2 2 = 3 ，
2
∴ S 1 AEF EF
3
AM AE 2，
2 4
过点 A作 AE BC，当点 E与点 E 重合时， AE 取得最小值，
∴ AE AB2 BE 2 2 3，
S 3∴ AEF (2 3)
2 3 3，
4
∴四边形 AEFG面积的最小值为 2 3 3 6 3 ，
故答案为：6 3．
23. 如图 1，已知直线 y 2x b与 x, y1 轴分别交于点 A,B，直线 y2 ax 2与 x, y轴分别
交于点C ,D，直线 y1与 y2交于点 P，已知 P的横坐标为 2,S PBD 3．
（1）求 a,b的值；
（2）点 , 在直线 y1 2x b上，过点M 作直线MN 平行于 x轴，交直线 y2 ax 2于
点 N ，若线段MN 4，求m的值．
（3）直线 y 关于直线 y n1 的对称直线为 y3 kx c，在直线 y1, y3上分别取点
, 1 , , 3 ，当 d 0时， y1 y3 4，求 n的取值范围．
1
【答案】（1） a ，b 1
2
（2） 1 =
2 , 2 =
10
3 3
（3） n 1
第 34页/共 37页
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数的性质，轴对称图形的性质，理解题意，熟练掌握一次函数
的性质是解题关键．
（1）根据题意得出 0, , (0, 2)，确定 = + 2，利用三角形面积公式得出b 1，
代入函数解析式即可求解；
1
（2）根据题意得出 2m 1 q, x 2 q，确定 = 4 + 6，结合图形得出绝对值方程求解
2
即可；
（3）根据对称性得出直线 y y n1 上点 x, y 关于直线 的对称点为 (x, 2n y)，确定
y3 2x 2n 1，然后将点代入得出不等式，利用不等式的性质求解即可．
【小问 1详解】
解：∵ y1 2x b， y2 ax 2
∴当 x 0时， y1 b， y2 2，
∴ 0, , (0, 2)，
∴ = 2 = + 2，
∵已知 P的横坐标为 2,S PBD 3．
1
∴ × 2 × + 2 = 3，
2
解得：b 1，
∴ y1 2x 1，
当 x 2时， y1 2 ( 2) 1 3，
∴ 2a 2 3，
解得： a 1 ；
2
【小问 2详解】
如图所示，
第 35页/共 37页
∵点 , 在直线 y1 2x b上，过点M 作直线MN 平行于 x轴，交直线 y2 ax 2于点
N ，
∴ 2m 1 q,
1
x 2 q，
2
∴ = 2 + 4 = 2 2 + 1 + 4 = 4 + 6，
∵MN 4，
∴ 4 + 6 = 4，
= 2 , = 10解得： 1 2 ；3 3
【小问 3详解】
∵直线 y 关于直线 y n1 的对称直线为 y3 kx c，
∴直线 y y n1上点 x, y 关于直线 的对称点为 (x, 2n y)，
∵ y 2x 1，
∴ 2n y 2n (2x 1) 2n 2x 1，
∴对称点为 (x, 2x 2n 1)，
∴ y3 2x 2n 1，
∵直线 y1, y3上分别取点 , 1 , , 3 ，
∴ y1 2d 1， y3 2d 2n 1，
∵当 d 0时， y1 y3 4，
∴ y1 y3 2d 1 ( 2d 2n 1) 4d 2 2n，
∴ 4d 2 2n 4 ，
∴ n 2d 1，
第 36页/共 37页
∵ d 0时成立，
当 d 0 时， 2d 1取得最小值为 1，
∴ n 1．
第 37页/共 37页