(共62张PPT)
8.4 空间点、直线、平面之间的位置
关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的
位置关系
探究点一 空间中两条直线位置关系的判定
探究点二 直线与平面的位置关系
探究点三 平面与平面的位置关系
【学习目标】
1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的分类
与表示.
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线的定义
我们把________________________________叫作异面直线，如图所示.
不同在任何一个平面内的两条直线
2.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种:
在同一平面内，有且只有一个公共点
在同一平面内，没有公共点
不同在任何一个平面内，没有公共点
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）分别在两个不重合的平面内的两条直线一定是异面直线.( )
×
[解析] 当两条直线分别在两个不重合的平面内时，它们也可能相交
或平行，此时是共面直线，只有当它们既不相交也不平行时才是异
面直线.
（2）空间中两条不相交的直线一定是异面直线.( )
×
[解析] 空间中两条不相交的直线也可能是平行直线.
（3）若，为异面直线，，为异面直线，则， 为异面直线.
( )
×
[解析] ， 也可能是平行直线或相交直线.
2.如果一条直线与一个平面相交，那么该直线与这个平面内的直线的
位置关系有几种
解：两种.设直线与平面的交点为，则当平面内的直线不过点 时，
该直线与这个平面内的直线异面；
当平面内的直线经过点 时，该直线与这个平面内的直线相交.
知识点二 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面 内 直线与平面 相交 直线与平面 平
行
公共点 有______个公共 点 __________一个 公共点 ______公共点
符号表示 _______ __________ ______
图形表示 ________________________________________________ __________________________________________ _________________________________________________
说明：当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线
在平面外.
无数
有且只有
没有
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若直线与平面不相交，则直线与平面没有公共点.( )
×
[解析] 当直线与平面不相交时，直线可能在平面内，此时有无数个
公共点.
（2）若直线在平面外，则直线与平面平行.( )
×
[解析] 当直线在平面外时，直线可能与平面相交或平行.
（3）若直线上有无数个点不在平面 内，则 .( )
×
[解析] 当直线与平面 相交时，直线上也有无数个点不在平面 内.
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
（1）两个平面______——没有公共点;
平面 与平面 平行，记作______.
注：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的
两个平行四边形的对应边平行（如图）.
平行
（2）两个平面______——有一条公共直线.
相交
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）分别位于两个平行平面内的两条直线平行.( )
×
[解析] 这两条直线没有公共点，所以它们可能平行或异面.
（2）若两个平面有无数个公共点，则这两个平面为同一平面.( )
×
[解析] 当两个平面相交时，它们也有无数个公共点.
探究点一 空间中两条直线位置关系的判定
例1 如图所示,在正方体 中,判
断下列直线的位置关系:
（1）直线与直线 的位置关系是______;
平行
[解析] 因为, ，所以四边形
为平行四边形,所以 .
（2）直线与直线 的位置关系是______;
异面
[解析] 因为与不同在任何一个平面内,所以与 异面.
（3）直线与直线 的位置关系是______;
相交
[解析] 因为,所以与 相交.
（4）直线与直线 的位置关系是______.
异面
[解析] 因为与不同在任何一个平面内,所以与 异面.
变式 （多选题）下列说法正确的是( )
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
D.既不平行又不相交的两条直线是异面直线
√
√
[解析] 如图所示的长方体 ，对于选
项A，直线与 无交点，但两直线异面，故选
项A错误；
对于选项B，直线， ，但
，故选项B错误；
对于选项C，根据异面直线的定义可知选项C正确；
对于选项D，既不平行又不相交的两条直线是异面直线，
故选项D正确.故选 .
探究点二 直线与平面的位置关系
例2（1） 若直线上有一点在平面外,则下列说法正确的是( )
A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数个点都在平面外
C.直线上有无数个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内
[解析] 直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数个
点都在平面外.
√
（2）在长方体 的六个表面与六个对角面所在的平
面中，与棱 平行的平面有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[解析] 如图所示，由图可知平面，平面，
平面 .故选B.
√
（3）下列说法中正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也
和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与这
个平面平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 易知①正确，②正确.
两条相交直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能平行于
这个平面，也可能与这个平面相交，故③错误.故选C.
探究点三 平面与平面的位置关系
例3（1） （多选题）下列说法中正确的是( )
A.在平面 内有两条直线和平面 平行，那么这两个平面平行
B.在平面 内有无数条直线和平面 平行，那么这两个平面平行
C.平面 内的的三个顶点在平面 的同一侧且到平面 的距
离相等且不为0，那么平面 与 平行
D.平面 内有无数个点到平面 的距离相等且不为0，那么这两个平
面平行或相交
√
√
[解析] 对于A，这两个平面平行或相交，故A错误；
对于B，在平面 内任意一条直线都和平面 平行，这两个平面才
平行，故B错误；
对于C，因为的三个顶点在平面 的同一侧且到平面 的距
离相等且不为0，所以平面 与 平行，故C正确；
对于D，平面 内有无数个点到平面 的距离相等且不为0，那么这
两个平面平行或相交，故D正确.故选 .
（2）若点 ， ， ，则平面与平面 的位置关
系是 ______.
相交
[解析] 点 ， ， ， 平面与平面 有公共
点，且不重合， 平面与平面 的位置关系是相交.
变式1 [2024·杭州二中高一期中] 以下说法正确的是( )
A.若是平面 外的一条直线，则过且与 平行的平面有且只有一个
B.若夹在两个平面间的三条平行线段的长度相等，则这两个平面平行
C.若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等，则
D.空间中,,三点构成边长为2的正三角形，若这三点到平面 的
距离均为1，则这样的平面 恰有两个
√
[解析] 对于A，当与 相交时，不存在过且与 平行的平面，故
A错误；
对于B，当三条平行线段所在直线共面时，两平面可能相交，也可能
平行，故B错误；
对于C，当 与 相交时，平面 内也存在不共线的三点到平面
的距离相等，故C错误；
对于D，空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形，若这三点到平
面 的距离均为1，则这样的平面 恰有两个，且这两个平面在平
面 的异侧，故D正确.故选D.
变式2 如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面有怎样的位置
关系 如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面有怎样的位置关
系 画图说明.
解：若3个平面把空间分成4部分，则这3个平面平行（如图①）.
若3个平面把空间分成6部分，则这3个平面相交于同一条直线（如
图②）或其中2个平面平行，
第3个平面与这2个平面均相交（如图③）.
1.对异面直线概念的理解
（1）既不平行也不相交.
（2）“不同在任何一个平面内的两条直线”是指这两条直线“不能确
定一个平面”,其中的“任何”二字必不可少.
（3）若一条直线与一个平面相交,则这条直线与该平面内不过交点的
直线为异面直线.
2.直线与平面位置关系的分类
（1）按公共点分类:直线和平面相交有一个公共点;直线和平面平行
无公共点;直线在平面内有无数个公共点.
（2）按是否平行分类:直线与平面平行;直线与平面不平行
（相交、在平面内）.
（3）按直线是否在平面内分类:直线在平面内;直线在平面外
（直线与平面平行或相交）.
3.两个平面的位置关系有两种:平行和相交.没有公共点则平行,有公共
点则相交.
1.判定或证明异面直线的方法有两种
（1）定义法:由定义法判定两直线不可能在同一平面内,常用反证法.
（2）判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过
该点的直线是异面直线.
例1 一个正方体的展开图如图所示,,,, 为原正方
体的顶点,则在原来的正方体中,与 的位置关系是
______.
异面
[解析] 如图,把展开图中的各正方形按图（1）所示的方式分别作为
正方体的前、后、左、右、上、下面还原,
得到图（2）所示的直观图,可判断与 异面.
例2 如图所示，在四面体中，，分别是棱， 上的点，
且.求证：直线与 是异面直线.
证明：设为上靠近的三等分点，连接 ，
如图，则，故 ，
所以,,, 四点共面.
因为 平面， 平面，
所以 平面，
又 平面， ，
所以直线与 是异面直线.
2.判断直线与平面的位置关系的问题,其解决方法除了定义法外,还可
以借助模型（如长方体）和举反例两种行之有效的方法.
例3 若两条异面直线中的一条在平面 内,讨论另一条直线与平面
的位置关系.
解:如图,另一条直线与平面 的位置关系是平行或相交.
用符号语言表示为:若与异面, ,则 或 .
3.平面与平面的位置关系的判断方法
（1）以基本事实3为依据找出一个公共点.
（2）说明两个平面没有公共点.
例4 在正方体中，，分别为， 的中点，
求证：平面与平面 相交.
证明：在正方体中，为 的中点，
与 不平行，
延长与交于一点 ，如图，
， ，
又 平面， 平面 ，
平面， 平面 ，
故平面与平面 相交.
练习册
一、选择题
1.已知 ,则过点且与平面 平行的直线有( )
A.一条 B.两条 C.四条 D.无数条
[解析] , 过点A且与平面 平行的直线有无数条.故选D.
√
2.已知直线在平面 外，则( )
A.
B.直线与平面 至少有一个公共点
C.
D.直线与平面 至多有一个公共点
[解析] 因为直线在平面 外，所以直线与平面 平行或相交，则
直线与平面 至多有一个公共点，故选D.
√
3.下列说法正确的是( )
A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,那么这条直线与这
个平面平行
B.两个平面相交于唯一的公共点
C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,那么它们必有无数
个公共点
D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
√
[解析] 在A中,如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,那么这
条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内,故A错误;
在B中,两个平面相交于一条直线,故B错误;
在C中,如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,那么这条直线
在平面内,它们必有无数个公共点,故C正确;
在D中,当平面外的一条直线与平面相交时,平面外的这条直线必与该
平面内的任何直线都不平行,故D错误.故选C.
4.如图，在三棱柱中，下列直线与 异面的是( )
A. B. C. D.
[解析] 在三棱柱中，，， 与
异面， ，故选C.
√
5.两条异面直线在一个平面上的射影是( )
A.两条相交直线 B.两条平行直线
C.一条直线和一个点 D.以上都有可能
[解析] 两条异面直线在一个平面上的射影可以是两条相交直线、两
条平行直线、一条直线和一个点.故选D.
√
6.若异面直线，分别在平面 ， 内，且，则直线
( )
A.与， 都相交
B.与， 都平行
C.与， 中的一条相交，另一条平行
D.至少与， 中的一条相交
[解析] 因为，所以 ， ，则与平行或相交，
与平行或相交，
又，为异面直线，所以不能与， 同时平行，即与， 可能
都相交，也可能与其中一条相交，故A，B，C错误，D正确.故选D.
√
7.正方体上的点，，， 是所在棱的中点，则下列各图中直线
与直线 是异面直线的图形是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，直线与直线 相交，不是异面直线，不符合题意；
对于B，直线与直线 是异面直线，符合题意；
对于C，直线与直线 相交，不是异面直线，不符合题意；
对于D，直线与直线 平行，不是异面直线，不符合题意.故选B.
√
8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且
，正方体的六个面所在的
平面与直线， 相交的平面个
数分别记为，，那么
( )
A.8 B.9 C.10 D.11
[解析] 直线 与正方体的上底面所在平面平行,在正方体的下底面所
在平面内，与其他四个平面相交；
直线 与正方体的左、右两个面所在平面平行,与其他四个平面相交,
所以, ,故选A.
√
9.（多选题）[2024·湖北华师大一附中高一期中] 下列说法错误的是
( )
A.空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种
B.若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面
C.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
D.若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，
则这两条直线可能相交，也可能异面
√
√
√
[解析] 对于A，空间中两条直线的位置关系有平行、
相交和异面三种，故A中说法错误；
对于B，若空间中两条直线没有公共点，则这两条
直线异面或平行，故B中说法错误；
对于C，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，
故C中说法错误；
对于D，如图，在长方体中，当所在直线为,
所在直线为时，与 相交，当所在直线为,所在直线为时，
与 异面，所以若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所
在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面，故D中说法正确.
故选 .
二、填空题
10.已知平面 和平面 平行，若两直线，分别在平面 ， 内，
则， 的位置关系是____________.
平行或异面
[解析] 如图，在正方体 中，连接
，把平面看作是平面 ，平面 看
作是平面 ，
可知平面平面 ，，
与异面，平面 与平面内的直线均没有公共点，
故， 的位置关系是平行或异面.
11.在底面为正六边形的六棱柱中，共有___对互相平行的面，与其中
一个侧面相交的面共有___个.
4
6
[解析] 六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其相对的侧面平行，
故共有4对互相平行的面.
六棱柱共有8个面，与其中一个侧面平行的面有1个，其余6个面与该
侧面均相交.
12.不在同一条直线上的三点，，到平面 的距离相等，且
，给出以下三个命题： 中至少有一条边所在直线平
行于 ；中至多有两边所在直线平行于 ； 中只
可能有一条边与 相交.其中真命题是____（填序号）.
①
[解析] 如图，三点，， 可能
在 同侧，也可能在 两侧，
当,,在 同侧时，,, 均
与 平行，
当,,在 两侧时，的两条边与 相交，
另一条边所在直线与 平行，故只有①是真命题.
三、解答题
13.已知, 且 , 且 ,.求证:
与 相交,与 相交.
证明:如图, ,
, ,
又 , .
与 有公共点 ,
又 ,与 相交.
同理,与 相交.
14.如图，在正方体 中，证明：
直线与直线 是异面直线.
证明：假设直线与直线 不是异面直线，
则直线与直线共面.
设直线与直线 所在的平面为 ，
则，，， ，
不在同一条直线上的，，三点确定的平面为平面，
平面为 ， 平面，显然这与事实相矛盾，故假设不成立.故直线 与直线 是异面直线．
15.（多选题）如图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则下
列说法中正确的是( )
A.
B.与 是共面直线
C.
D.与 是异面直线
√
√
√
[解析] 还原后的正方体如图所示,其中点C与
重合,点与B重合,则,故A正确;
与平行,故与是共面直线,故B正确;
与是相交直线,故C错误;
与 是异面直线,故D正确.故选 .
16.如图，已知平面，点 ，点 ，点 ，且
，，直线与不平行，那么平面与平面 的交线与
有什么关系？证明你的结论．
解:平面与平面 的交线与 相交．
证明如下：与不平行，且 ，
， 与一定相交．
设 ，则， ．
又 平面， ， 平面， ．
点是平面与 的一个公共点．
而点也是平面与 的一个公共点，且，是不同的两点，
直线就是平面与 的交线，即平面，
而， 平面与 的交线与 相交．8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
【课前预习】
知识点一
1.不同在任何一个平面内的两条直线
2.在同一平面内,有且只有一个公共点 在同一平面内,没有公共点 不同在任何一个平面内,没有公共点
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两条直线分别在两个不重合的平面内时,它们也可能相交或平行,此时是共面直线,只有当它们既不相交也不平行时才是异面直线.
(2)空间中两条不相交的直线也可能是平行直线.
(3)a,c也可能是平行直线或相交直线.
2.解:两种.设直线与平面的交点为P,则当平面内的直线不过点P时,该直线与这个平面内的直线异面;当平面内的直线经过点P时,该直线与这个平面内的直线相交.
知识点二
无数 有且只有 没有 a α a∩α=A a∥α
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当直线与平面不相交时,直线可能在平面内,此时有无数个公共点.
(2)当直线在平面外时,直线可能与平面相交或平行.
(3)当直线l与平面α相交时,直线l上也有无数个点不在平面α内.
知识点三
(1)平行 α∥β (2)相交
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)这两条直线没有公共点,所以它们可能平行或异面.
(2)当两个平面相交时,它们也有无数个公共点.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [解析] (1)因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.
(2)因为A1B与B1C不同在任何一个平面内,所以A1B与B1C异面.
(3)因为D1D∩D1C=D1,所以D1D与D1C相交.
(4)因为AB与B1C不同在任何一个平面内,所以AB与B1C异面.
变式 CD [解析] 如图所示的长方体ABCD-EFGH,对于选项A,直线EF与BC无交点,但两直线异面,故选项A错误;对于选项B,直线EF⊥FG,EF⊥BF,但FG⊥FB,故选项B错误;对于选项C,根据异面直线的定义可知选项C正确;对于选项D,既不平行又不相交的两条直线是异面直线,故选项D正确.故选CD.
探究点二
例2 (1)B (2)B (3)C [解析] (1)直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数个点都在平面外.
(2)如图所示,由图可知AA1∥平面BC1,AA1∥平面DC1,AA1∥平面BB1D1D.故选B.
(3)易知①正确,②正确.两条相交直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线可能平行于这个平面,也可能与这个平面相交,故③错误.故选C.
探究点三
例3 (1)CD (2)相交 [解析] (1)对于A,这两个平面平行或相交,故A错误;对于B,在平面α内任意一条直线都和平面β平行,这两个平面才平行,故B错误;对于C,因为△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,所以平面α与β平行,故C正确;对于D,平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交,故D正确.故选CD.
(2)∵点A∈α,B α,C α,∴平面ABC与平面α有公共点,且不重合,∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
变式1 D [解析] 对于A,当a与α相交时,不存在过a且与α平行的平面,故A错误;对于B,当三条平行线段所在直线共面时,两平面可能相交,也可能平行,故B错误;对于C,当α与β相交时,平面α内也存在不共线的三点到平面β的距离相等,故C错误;对于D,空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,若这三点到平面α的距离均为1,则这样的平面α恰有两个,且这两个平面在平面ABC的异侧,故D正确.故选D.
变式2 解:若3个平面把空间分成4部分,则这3个平面平行(如图①).若3个平面把空间分成6部分,则这3个平面相交于同一条直线(如图②)或其中2个平面平行,第3个平面与这2个平面均相交(如图③).8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.D [解析] ∵A α,∴过点A且与平面α平行的直线有无数条.故选D.
2.D [解析] 因为直线a在平面α外,所以直线a与平面α平行或相交,则直线a与平面α至多有一个公共点,故选D.
3.C [解析] 在A中,如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内,故A错误;在B中,两个平面相交于一条直线,故B错误;在C中,如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,那么这条直线在平面内,它们必有无数个公共点,故C正确;在D中,当平面外的一条直线与平面相交时,平面外的这条直线必与该平面内的任何直线都不平行,故D错误.故选C.
4.C [解析] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥AA1,CC1∥AA1,B1C1与AA1异面,AA1∩AB=A,故选C.
5.D [解析] 两条异面直线在一个平面上的射影可以是两条相交直线、两条平行直线、一条直线和一个点.故选D.
6.D [解析] 因为α∩β=l,所以l α,l β,则l与m平行或相交,l与n平行或相交,又m,n为异面直线,所以l不能与m,n同时平行,即l与m,n可能都相交,也可能与其中一条相交,故A,B,C错误,D正确.故选D.
7.B [解析] 对于A,直线MN与直线PQ相交,不是异面直线,不符合题意;对于B,直线MN与直线PQ是异面直线,符合题意;对于C,直线MN与直线PQ相交,不是异面直线,不符合题意;对于D,直线MN与直线PQ平行,不是异面直线,不符合题意.故选B.
8.A [解析] 直线CE与正方体的上底面所在平面平行,在正方体的下底面所在平面内,与其他四个平面相交;直线EF与正方体的左、右两个面所在平面平行,与其他四个平面相交,所以m=4,n=4,故选A.
9.ABC [解析] 对于A,空间中两条直线的位置关系有平行、相交和异面三种,故A中说法错误;对于B,若空间中两条直线没有公共点,则这两条直线异面或平行,故B中说法错误;对于C,和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线,故C中说法错误;对于D,如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,当A'B所在直线为a,BC'所在直线为b时,a与b相交,当A'B所在直线为a,B'C所在直线为b时,a与b异面,所以若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线,则这两条直线可能相交,也可能异面,故D中说法正确.故选ABC.
10.平行或异面 [解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC,把平面ABCD看作是平面α,平面A1B1C1D1看作是平面β,可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AB∥A1B1,AC与A1B1异面,平面ABCD与平面A1B1C1D1内的直线均没有公共点,故m,n的位置关系是平行或异面.
11.4 6 [解析] 六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其相对的侧面平行,故共有4对互相平行的面.六棱柱共有8个面,与其中一个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均相交.
12.① [解析] 如图,三点A,B,C可能在α同侧,也可能在α两侧,当A,B,C在α同侧时,AB,BC,AC均与α平行,当A,B,C在α两侧时,△ABC的两条边与α相交,另一条边所在直线与α平行,故只有①是真命题.
13.证明:如图,∵a∩b=P,
∴P∈a,P∈b,
又b β,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,
又a β,∴a与β相交.
同理,b与α相交.
14.证明:假设直线BC1与直线A1C不是异面直线,则直线BC1与直线A1C共面.设直线BC1与直线A1C所在的平面为α,则B,C,C1,A1∈α,∵不在同一条直线上的B,C,C1三点确定的平面为平面BCC1B1,∴平面BCC1B1为α,
∴A1∈平面BCC1B1,显然这与事实相矛盾,故假设不成立.故直线BC1与直线A1C是异面直线.
15.ABD [解析] 还原后的正方体如图所示,其中点C与G重合,点F与B重合,则C∈GH,故A正确;CD与EF平行,故CD与EF是共面直线,故B正确;AB与EF是相交直线,故C错误;GH与EF是异面直线,故D正确.故选ABD.
16.解:平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下:∵AB与l不平行,且AB α,l α,∴AB与l一定相交.设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.
又∵AB 平面ABC,l β,∴P∈平面ABC,P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点.
而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,∴直线PC就是平面ABC与β的交线,即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,∴平面ABC与β的交线与l相交.8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习目标】
1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的分类与表示.
◆ 知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线的定义
我们把 叫作异面直线,如图所示.
2.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种:
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别在两个不重合的平面内的两条直线一定是异面直线. ( )
(2)空间中两条不相交的直线一定是异面直线.( )
(3)若a,b为异面直线,b,c为异面直线,则a,c为异面直线. ( )
2.如果一条直线与一个平面相交,那么该直线与这个平面内的直线的位置关系有几种
◆ 知识点二 空间中直线与平面的位置关系
位置 关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有 个公共点 一个公共点 公共点
符号 表示
图形 表示
说明:当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交,则直线与平面没有公共点. ( )
(2)若直线在平面外,则直线与平面平行. ( )
(3)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.( )
◆ 知识点三 空间中平面与平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1)两个平面 ——没有公共点;
平面α与平面β平行,记作 .
注:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(如图).
(2)两个平面 ——有一条公共直线.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别位于两个平行平面内的两条直线平行.( )
(2)若两个平面有无数个公共点,则这两个平面为同一平面. ( )
◆ 探究点一 空间中两条直线位置关系的判定
例1 如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
变式 (多选题)下列说法正确的是 ( )
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
D.既不平行又不相交的两条直线是异面直线
◆ 探究点二 直线与平面的位置关系
例2 (1)若直线上有一点在平面外,则下列说法正确的是 ( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数个点都在平面外
C.直线上有无数个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面所在的平面中,与棱AA1平行的平面有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
(3)下列说法中正确的个数是 ( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③两条相交直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.
A.0 B.1
C.2 D.3
◆ 探究点三 平面与平面的位置关系
例3 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
C.平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么平面α与β平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交
(2)若点A∈α,B α,C α,则平面ABC与平面α的位置关系是 .
变式1 [2024·杭州二中高一期中] 以下说法正确的是 ( )
A.若a是平面α外的一条直线,则过a且与α平行的平面有且只有一个
B.若夹在两个平面间的三条平行线段的长度相等,则这两个平面平行
C.若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β
D.空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,若这三点到平面α的距离均为1,则这样的平面α恰有两个
变式2 如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面有怎样的位置关系 如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面有怎样的位置关系 画图说明.8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.已知A α,则过点A且与平面α平行的直线有 ( )
A.一条 B.两条
C.四条 D.无数条
2.已知直线a在平面α外,则 ( )
A.a∥α
B.直线a与平面α至少有一个公共点
C.a∩α=A
D.直线a与平面α至多有一个公共点
3.下列说法正确的是 ( )
A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,那么这条直线与这个平面平行
B.两个平面相交于唯一的公共点
C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,那么它们必有无数个公共点
D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,下列直线与AA1异面的是 ( )
A.BB1 B.CC1
C.B1C1 D.AB
5.两条异面直线在一个平面上的射影是 ( )
A.两条相交直线
B.两条平行直线
C.一条直线和一个点
D.以上都有可能
6.若异面直线m,n分别在平面α,β内,且α∩β=l,则直线l ( )
A.与m,n都相交
B.与m,n都平行
C.与m,n中的一条相交,另一条平行
D.至少与m,n中的一条相交
7.正方体上的点M,N,P,Q是所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是 ( )
A B C D
8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n= ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
9.(多选题)[2024·湖北华师大一附中高一期中] 下列说法错误的是 ( )
A.空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种
B.若空间中两条直线没有公共点,则这两条直线异面
C.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
D.若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线,则这两条直线可能相交,也可能异面
二、填空题
10.已知平面α和平面β平行,若两直线m,n分别在平面α,β内,则m,n的位置关系是 .
11.在底面为正六边形的六棱柱中,共有 对互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有 个.
12.不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A α,给出以下三个命题:①△ABC中至少有一条边所在直线平行于α;②△ABC中至多有两边所在直线平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是 (填序号).
三、解答题
13.已知α∩β=l,a α且a β,b β且b α,a∩b=P.求证:a与β相交,b与α相交.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,证明:直线BC1与直线A1C是异面直线.
15.(多选题)如图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则下列说法中正确的是 ( )
A.C∈GH
B.CD与EF是共面直线
C.AB∥EF
D.GH与EF是异面直线
16.如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A l,B l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系 证明你的结论.
