4.2 函数应用 章末归纳提升 教案

第四章
函数应用
教案
(见学生用书第71页)
专题一
函数的零点及应用
　　　由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以，函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用．
　已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图像判断f(x)有几个零点，并利用判断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)．
【思路点拨】　函数f(x)＝x－1＋x2－2的图像不易作出，而将方程x－1＋x2－2＝0变形为x－1＝－x2＋2后，函数y＝x－1与y＝－x2＋2的图像较容易作出，它们交点的横坐标就是方程x－1＋x2－2＝0的实数解，即函数f(x)＝x－1＋x2－2的零点．
【解】　由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2.
令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．它们有3个交点，因此，函数f(x)＝x－1＋x2－2有3个零点．
由f(x)知x≠0，f(x)图像在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续曲线．
∵f(－3)＝(－3)－1＋×(－3)2－2＝>0，
f(－2)＝(－2)－1＋×(－2)2－2＝－<0，
f()＝()－1＋×()2－2＝>0，
f(1)＝1－1＋×12－2＝－<0，
f(2)＝2－1＋×22－2＝>0，
即f(－3)·f(－2)<0，f()·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)＝x－1＋x2－2的3个零点分别在区间(－3，－2)，(，1)，(1,2)内．
已知f(x)＝log2x－()x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0A．恒为负　　　　　　B．等于零
C．恒为正
D．不小于零
【解析】　设y1＝log2x，y2＝()x，
其图像为：
由图像知，
当0log2x1，
∴f(x1)<0.
【答案】　A
专题二
函数建模
1.解函数应用题可归纳为四步：
(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
其中“建模”是关键的一步，建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．
2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
　某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭2009年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量(立方米)
水费(元)
一
9
9
二
15
19
三
22
33
根据上表中的数据求a，b，c的值．
【思路点拨】　抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一特点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．
【解析】　设用水量为x立方米，支付费用为y元，则
y＝
由0因此，第二、三月份的用水量超过最高限量．
由得b＝2且2a＝c＋19.
再分析限量a，若a<9，由8＋2(9－a)＋c＝9，得
2a＝c＋17与2a＝c＋19矛盾．
因此a≥9，此时，由8＋c＝9，得c＝1，所以a＝10.
故a＝10，b＝2，c＝1.
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3
600元时，能租出多少辆车？
(2)每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解】　(1)当每辆车的月租金定为3
600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－)(x－150)－×50
＝－x2＋162x－21
000
＝－(x－4
050)2＋307
050.
∵－＜0，∴抛物线开口向下，且对称轴为x＝4
050，
∴当x＝4
050时，f(x)最大，最大值为f(4
050)＝307
050.
即当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307
050元.
专题三
思想方法
　　　函数与方程思想
在数学上，解方程是很重要的内容，但是能够将精确解求出来的方程不是很多，对于五次以上的一般代数方程，一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解．而将解方程的问题转化为函数的零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法．解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为函数零点的求解问题．
　若方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不同的实根，利用函数图像求实数a的取值范围．
【思路点拨】　先转化成两个函数，再讨论a与1的关系，画出它们的图像，结合图像可知．
【规范解答】　记y1＝|ax－1|，y2＝2a，
(1)当a>1时，y1的图像如图：
由于y2＝2a>2，
所以y1与y2只有一个公共点，即方程|ax－1|＝2a有一个实数解．
(2)当0由于0所以0<2a<2，
由图像知，若y1与y2有两个不同交点，则0<2a<1，
所以0即当方程|ax－1|＝2a有两个实数解时，a的取值范围为(0，)．
已知函数f(x)＝ax2－3x＋3(a>0，a≠1)在区间[0,2]上有最大值为8，求a的值．
【解】　设g(x)＝x2－3x＋3＝(x－)2＋.
当x∈[0,2]时，g(x)max＝g(0)＝3，g(x)min＝g()＝.
当0则f()＝8，
即a＝8，
解得a＝16，与0当a>1时，函数f(x)＝ag(x)在[0,2]上是增函数，
则f(0)＝8，
即a3＝8，解得a＝2.
综上所述，a的值为2.综合检测(四)