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8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定
探究点一 对线面平行判定定理的理解
探究点二 证明线面平行
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的判定定理.
2.能够运用线面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 直线与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果________________与此平面内的一条直线平行,那么
该直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言: , ,且 ______.
平面外一条直线
2.当利用判定定理证明直线和平面 平行时,必须具备三个条件:（1）
直线不在平面 内,即 ;（2）直线在平面 内,即 ;（3）
两直线,平行,即 .这三个条件缺一不可.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个
平面平行.( )
×
[解析] 只有当这条直线在这个平面外时，这条直线才与这个平面平行.
（2）过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行.( )
×
[解析] 过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所
作直线的平面有无数个，根据直线与平面平行的判定定理知,这些平
面（除经过已知直线与所作直线的平面外）都与已知直线平行.
2.一块矩形木板（不计厚度）的一边在平面 内，把这块
木板绕转动，在转动过程中，的对边（不落在 内）和平
面 有何位置关系？
解：由直线与平面平行的判定定理可知， .
探究点一 对线面平行判定定理的理解
例1 直线与平面 平行的充要条件是( )
A.直线上有无数个点不在平面 内
B.直线与平面 内的一条直线平行
C.直线与平面 内的无数条直线都平行
D.直线与平面 内的任意一条直线都没有公共点
√
[解析] 对于A，直线上有无数个点不在平面 内，不能说明直线 与
平面 无公共点，故A不正确；
对于B，缺少直线在平面 外这一条件，故B不正确；
对于C，直线也可能在平面 内，故C不正确；
对于D，由直线与平面平行的定义，可知D正确.故选D.
变式 已知,,,为四个不同的点，,,为三条不同的直线， 为
一个平面，则下列条件中能使与平面 平行的是( )
A. ，
B. ， ，，
C. ，，，，，且
D. ， ，
√
[解析] 若 ，，则 或 ，A错误；
若 ， ，，，则 或 ，B错误；
若 ，A，，C，，且，则直线与平面
可能相交，可能平行，也可能在平面 内，C错误；
若 ， ， ，则由直线与平面平行的判定定理得
，D正确.故选D.
探究点二 证明线面平行
例2 如图，在正方体中，是棱 的中点.求证：
平面 .
证明：如图所示，连接 ，设
，连接
四边形 是正方形，，
是 的中点.
又是的中点，.
又 平面， 平面，
平面 ．
例3 如图，在四棱锥中，底面为正方形，， 分别
是， 的中点.
证明：平面 .
，分别是， 的中点，
且
底面为正方形，为 的中点，
且 ，
且 ，
四边形是平行四边形， .
又 平面， 平面，平面 .
变式1 在正方体中，，分别为下底面 和上
底面的中心，则正方体的六个面所在平面中与 平行的有
___个.
4
[解析] 如图，连接，，， ，则由
题意可得，
因为 平面， 平面，
平面， 平面，
平面， 平面，
平面， 平面，
所以 平面，平面，平面 ，
平面 ，则正方体的六个面所在平面中与 平行的有4个.
变式2 如图所示，四棱锥 的底面是平行四边
形，，分别是，上的点，且 .求证：
平面 .
证明：连接并延长，使之交于点，连接.
因为 ，所以，
又，所以，所以.
又 平面， 平面，所以平面 .
［素养小结］
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤
以上步骤中，第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角
形、梯形中位线的性质，利用平行四边形的性质，利用基本事实4等.
直线与平面平行的判定定理解读
（1）直线与平面平行的判定定理可简述为“若线线平行，则线面平
行”,体现了转化的思想,即将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题.
（2）线面平行的判定定理包含三个条件“一内一外一平行”,这三个条
件缺一不可.
证明线面平行的关键是在平面内找与已知直线平行的直线.在具体解
题过程中，通常需要作辅助线，并利用题中已有的平行关系构造平
行四边形，或利用中位线的性质得到线线平行.
例 如图，在长方体中，为的
中点，为 的中点.证明： //平面 1 .
证明：如图所示，取的中点，连接 ，，
因为为的中点，为 的中点，
所以且，
又为 的中点，，，
所以 且，
所以四边形 为平行四边形，所以.
因为 平面， 平面，所以 平面 .
练习册
一、选择题
1.直线与平面平行是指( )
A.直线与平面内的无数条直线都无公共点
B.直线上两点到平面的距离相等
C.直线与平面无公共点
D.直线不在平面内
[解析] 对于A，这条直线有可能在平面内，故A错误；
对于B，当平面经过两点所连线段的中点时满足题意，但此时直线与
平面不平行，故B错误；
易知C正确；
对于D，直线不在平面内包括直线与平面平行，直线与平面相交这两
种情况，故D错误.故选C.
√
2.已知直线和平面 ，那么在下列条件中能得出 的是( )
A.存在一条直线,且
B.存在一条直线，且
C.存在一条直线，且 ，
D.存在一条直线，且 ，
[解析] 由线面平行的判定定理可知D正确,故选D.
√
3.若直线，为异面直线，则过直线且与直线 平行的平面( )
A.有且只有一个 B.有无数个
C.有且只有一个或不存在 D.不存在
[解析] 在直线上任取一点A，则过点A与直线 平行的直线有且只有
一条，设为，
， 直线与直线确定一个平面 ，则平面 即为过
直线且与直线 平行的平面，可知它是唯一的.故选A.
√
4.设,是两条不同的直线， 是平面且 ，那么“ ”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由 推不出,,也可能异面，由 也推不出
，也可能在 内，故“”是“ ”的既不充分也不必要
条件，故选D.
√
5.在长方体中，，分别为棱， 的中点，
则在该长方体的6个面所在的平面中，与 平行的平面有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 在长方体中，,分别为棱， 的
中点，，，，
由直线与平面平行的判定定理得平面，
平面，平面 ，则满足条件的平面有3个.
故选C.
√
6.在四面体中，，分别为棱， 上的点，且
，，分别为棱， 的中点，则 ( )
A.平面且四边形 为矩形
B.平面且四边形 为梯形
C.平面且四边形 为菱形
D.平面且四边形 为平行四边形
√
[解析] 因为，所以，且 ，
又 平面， 平面，所以平面.
因为， 分别为棱，的中点，所以，且 ，
则 ， ，所以四边形 为梯形，故选B.
7.如图，为矩形 所在平面外一点，矩形对
角线的交点为，为 的中点，给出以下结
论：；平面； 平
面；平面；平面 .其
中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意知， 平面, 平面 ，
，又 平面， 平面， 平面 ，
平面，所以平面，平面 .故选C.
√
8.（多选题）已知点，，，， 为正方体的顶点或所在棱的中
点，则下列各图中，满足直线平面 的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,如图①所示，连接 ，易
得,,则 ，又
平面, 平面 ,所以
平面 ，故A满足.
对于B，如图②所示，为所在棱的中点，连
接, ,,易得,,则四边
形为平行四边形，A,B,C, 四点共面.
易知，又 平面, 平面,
所以 平面，故B满足.
,易得四边形 为平行四边形，A,B,C,D四点共
面，且, 又 平面,
平面,所以 平面 ，故C满足.
对于D，如图④所示，连接, ,由条件及正
方体的性质可知四边形是等腰梯形，所
以 与所在的直线相交，故与平面
不平行，故D不满足.故选 .
9.（多选题）如图,在平行六面体
中,,,分别为棱,, 的
中点,若该平行六面体的各棱长均相等,
则下列说法正确的是( )
A. B.
C.平面 D.平面
√
√
√
[解析] 连接,因为,分别为棱, 的中
点,所以,且 ,由题意知
,且,所以 且
,所以四边形 为平行四边形,
所以,故A正确;
显然与 为异面直线,故B错误;
因为, 平面, 平面,
平面, 平面,所以 平面,
平面,故C，D正确.故选 .
二、填空题
10.假设 为平面，,为两条不同的直线，若要得到 ，则需要
在条件“ , ”之外补充的一个条件是______.
[解析] 由直线与平面平行的判定定理可知，还要保证直线在平面
外，即 .
11.如图，在三棱锥中，为 的重
心，在棱上，且，则与平面
的位置关系为______.
平行
[解析] 连接并延长，交于点，连接 ，
则，又，所以 .
因为 平面， 平面，
所以 平面 .
12.如图，在直三棱柱中， 为
的中点，点在侧面 （包括边界）
上运动，则当点 满足条件_________________
______________时，平面 .
是的中点（答案不唯一）
[解析] 当是的中点时，易得 ，
，所以四边形 为平行四边形，所以.
又因为 平面， 平面，所以平面 .
三、解答题
13.如图，在三棱柱中，点是的中点.求证：
平面 .
证明：如图，连接交于点，连接 .
，分别是， 的中点，
是 的中位线，
，
又 平面， 平面，
平面 .
14.[2024·广东茂名高一期中] 如图，在三棱柱 中，侧面
为矩形.设为的中点，点在线段上，且 ，求
证：平面 .
证明：连接交于，连接 ，如图.
因为侧面 为矩形，
所以，
又为 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
15.如图所示，在正方体 中，
点是棱的中点，动点在直线
（除，两点）上运动的过程中，平面
可能经过的该正方体的顶点是________.
（写出满足条件的所有顶点）
,,
[解析] 由题意知，平面 必定经过正方体的顶点 .
下面分析正方体除 外的顶点，满足题意的
正方体的顶点与确定的平面必然与直线
相交，且交点不为 ， ，
显然顶点,,,都不符合题意.
现分析顶点，如图①，连接, ,，
设，连接.
因为，分别为， 的中点，所以，
又 平面， 平面,所以 平面，
故 不符合题意.
根据正方体的特征，结合图②和图③可知，平面,平面均
与直线相交，所以, 均符合题意.
综上，平面可能经过的该正方体的顶点是, , .
16.如图，在四棱锥中，底面 为矩
形，是的中点，是 的中点.
（1）证明：平面 .
证明：连接，设与的交点为，连接.
因为四边形 为矩形，所以为 的中点，
又为的中点,所以.
又 平面， 平面 ，所以平面 .
（2）在上是否存在一点,使得平面 ？
若存在，指出点 的位置，并证明你的结论；若
不存在，说明理由.
解：当为的中点时，平面.证明如下：
连接，因为 为的中点，为 的中点，
所以，且.
因为为的中点，且四边形 为矩形，
所以，且，所以，且 ，
所以四边形为平行四边形，所以 .
又 平面， 平面，所以平面 .8.5.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定
【课前预习】
知识点
1.平面外一条直线 a∥α
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
(2)过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面(除经过已知直线与所作直线的平面外)都与已知直线平行.
2.解:由直线与平面平行的判定定理可知,CD∥α.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] 对于A,直线l上有无数个点不在平面α内,不能说明直线l与平面α无公共点,故A不正确;对于B,缺少直线l在平面α外这一条件,故B不正确;对于C,直线l也可能在平面α内,故C不正确;对于D,由直线与平面平行的定义,可知D正确.故选D.
变式 D [解析] 若b α,a∥b,则a∥α或a α,A错误;若b α,c α,a∥b,a∥c,则a∥α或a α,B错误;若b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD,则直线a与平面α可能相交,可能平行,也可能a在平面α内,C错误;若a α,b α,a∥b,则由直线与平面平行的判定定理得a∥α,D正确.故选D.
探究点二
例2 证明:如图所示,连接BD,设BD∩AC=G,连接EG.∵四边形ABCD是正方形,BD∩AC=G,∴G是BD的中点.又E是BB1的中点,∴DB1∥GE.又DB1 平面ACE,GE 平面ACE,∴B1D∥平面ACE.
例3 证明:取PB的中点G,连接EG,FG,如图.
∵E,G分别是PC,PB的中点,
∴EG∥BC且EG=BC.∵底面ABCD为正方形,F为AD的中点,∴DF∥BC且DF=BC,
∴EG∥DF且EG=DF,
∴四边形FGED是平行四边形,∴DE∥GF.
又DE 平面PFB,GF 平面PFB,∴DE∥平面PFB.
变式1 4 [解析] 如图,连接AC,A'C',BD,B'D',则由题意可得EF∥AA'∥CC',因为EF 平面AA'D'D,EF 平面CC'D'D,EF 平面BB'C'C,EF 平面AA'B'B,AA' 平面AA'D'D,CC' 平面CC'D'D,CC' 平面BB'C'C,AA' 平面AA'B'B,所以EF∥平面AA'D'D,EF∥平面CC'D'D,EF∥平面BB'C'C,EF∥平面AA'B'B,则正方体的六个面所在平面中与EF平行的有4个.
变式2 证明:连接AN并延长,使之交BC于点P,连接SP.因为AD∥BC,所以=,又=,所以=,所以MN∥SP.又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.8.5.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的判定定理.
2.能够运用线面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 直线与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果 与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言:a α,b α,且a∥b .
2.当利用判定定理证明直线a和平面α平行时,必须具备三个条件:(1)直线a不在平面α内,即a α;(2)直线b在平面α内,即b α;(3)两直线a,b平行,即a∥b.这三个条件缺一不可.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行. ( )
(2)过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行. ( )
2.一块矩形木板(不计厚度)ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系
◆ 探究点一 对线面平行判定定理的理解
例1 直线l与平面α平行的充要条件是 ( )
A.直线l上有无数个点不在平面α内
B.直线l与平面α内的一条直线平行
C.直线l与平面α内的无数条直线都平行
D.直线l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
变式 已知A,B,C,D为四个不同的点,a,b,c为三条不同的直线,α为一个平面,则下列条件中能使a与平面α平行的是 ( )
A.b α,a∥b
B.b α,c α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD
D.a α,b α,a∥b
◆ 探究点二 证明线面平行
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1的中点.求证:B1D∥平面ACE.
例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别是PC,AD的中点.证明:DE∥平面PFB.
变式1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为下底面ABCD和上底面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面所在平面中与EF平行的有 个.
变式2 如图所示,四棱锥S - ABCD的底面是平行四边形,M,N分别是SA,BD上的点,且=.求证:MN∥平面SBC.
[素养小结]
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤
以上步骤中,第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质,利用平行四边形的性质,利用基本事实4等.8.5.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定
一、选择题
1.直线与平面平行是指 ( )
A.直线与平面内的无数条直线都无公共点
B.直线上两点到平面的距离相等
C.直线与平面无公共点
D.直线不在平面内
2.已知直线a和平面α,那么在下列条件中能得出a∥α的是 ( )
A.存在一条直线b,a∥b且b α
B.存在一条直线b,a∥b且b α
C.存在一条直线b,a∥b且b α,a α
D.存在一条直线b,a∥b且b α,a α
3.若直线a,b为异面直线,则过直线a且与直线b平行的平面 ( )
A.有且只有一个
B.有无数个
C.有且只有一个或不存在
D.不存在
4.设a,b是两条不同的直线,α是平面且b α,那么“a∥b”是“a∥α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,则在该长方体的6个面所在的平面中,与EF平行的平面有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为棱BC,CD的中点,则 ( )
A.BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形
B.EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形
C.HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形
D.HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形
7.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.(多选题)已知点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,满足直线MN∥平面ABC的是 ( )
A B C D
9.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若该平行六面体的各棱长均相等, 则下列说法正确的是 ( )
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥ 平面DCC1D1
D.A1M∥ 平面D1PQB1
二、填空题
10.假设α为平面,a,b为两条不同的直线,若要得到b∥α,则需要在条件“a α,b∥a”之外补充的一个条件是 .
11.如图,在三棱锥S - ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系为 .
12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1(包括边界)上运动,则当点P满足条件 时,A1P∥平面BCD.
三、解答题
13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是AB的中点.求证:AC1∥平面CDB1.
14.[2024·广东茂名高一期中] 如图,在三棱柱ADP-BCQ中,侧面ABCD为矩形.设M为AD的中点,点N在线段PC上,且NC=2PN,求证:PM∥平面BDN.
15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,动点P在直线BD1(除B,D1两点)上运动的过程中,平面DEP可能经过的该正方体的顶点是 .(写出满足条件的所有顶点)
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC.
(2)在PC上是否存在一点G,使得FG∥平面AEC 若存在,指出点G的位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.8.5.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定
1.C [解析] 对于A,这条直线有可能在平面内,故A错误;对于B,当平面经过两点所连线段的中点时满足题意,但此时直线与平面不平行,故B错误;易知C正确;对于D,直线不在平面内包括直线与平面平行,直线与平面相交这两种情况,故D错误.故选C.
2.D [解析] 由线面平行的判定定理可知D正确,故选D.
3.A [解析] 在直线a上任取一点A,则过点A与直线b平行的直线有且只有一条,设为b',∵a∩b'=A,∴直线a与直线b'确定一个平面α,则平面α即为过直线a且与直线b平行的平面,可知它是唯一的.故选A.
4.D [解析] 由a∥α推不出a∥b,a,b也可能异面,由a∥b也推不出a∥α,a也可能在α内,故“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件,故选D.
5.C [解析] ∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,∴EF∥CD,EF∥AB,EF∥A1B1,∴由直线与平面平行的判定定理得EF∥平面CDD1C1,EF∥平面ABCD,EF∥平面A1B1C1D1,则满足条件的平面有3个.故选C.
6.B [解析] 因为AE∶EB=AF∶FD=1∶4,所以EF∥BD,且EF=BD,又BD 平面BCD,EF 平面BCD,所以EF∥平面BCD.因为H,G分别为棱BC,CD的中点,所以HG∥BD,且HG=BD,则EF∥HG,EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形,故选B.
7.C [解析] 由题意知,OM∩平面PBA=M,OM∩平面PBC=M,OM∥PD,又PD 平面PCD,PD 平面PDA,OM 平面PCD,OM 平面PDA,所以OM∥平面PCD,OM∥平面PDA.故选C.
8.ABC [解析] 对于A,如图①所示,连接EF,易得AC∥EF,MN∥EF,则MN∥AC,又MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故A满足.对于B,如图②所示,E为所在棱的中点,连接EA,EC,EB,易得AE=BC,AE∥BC,则四边形ABCE为平行四边形,A,B,C,E四点共面.易知MN∥BE,又MN 平面ABC,BE 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故B满足.对于C,如图③所示,D为所在棱的中点,连接DA,DC,DB,易得四边形ABCD为平行四边形,A,B,C,D四点共面,且MN∥BD,又MN 平面ABC,BD 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故C满足.对于D,如图④所示,连接AM,BN,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB是等腰梯形,所以AB与MN所在的直线相交,故MN与平面ABC不平行,故D不满足.故选ABC.
9.ACD [解析] 连接PM,因为M,P分别为棱AB,CD的中点,所以PM∥AD,且PM=AD,由题意知AD∥A1D1,且AD=A1D1,所以PM∥A1D1且PM=A1D1,所以四边形PMA1D1为平行四边形,所以A1M∥D1P,故A正确;显然A1M与B1Q为异面直线,故B错误;因为A1M∥D1P,D1P 平面DCC1D1,D1P 平面D1PQB1,A1M 平面DCC1D1,A1M 平面D1PQB1,所以A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故C,D正确.故选ACD.
10.b α [解析] 由直线与平面平行的判定定理可知,还要保证直线b在平面α外,即b α.
11.平行 [解析] 连接AG并延长,交BC于点M,连接SM,则AG=2GM,又AE=2ES,所以EG∥SM.因为EG 平面SBC,SM 平面SBC,所以EG∥平面SBC.
12.P是CC1的中点(答案不唯一) [解析] 当P是CC1的中点时,易得A1D∥PC,A1D=PC,所以四边形A1DCP为平行四边形,所以A1P∥DC.又因为A1P 平面BCD,DC 平面BCD,所以A1P∥平面BCD.
13.证明:如图,连接BC1交CB1于点O,连接OD.
∵O,D分别是BC1,AB的中点,
∴OD是△ABC1的中位线,
∴AC1∥OD,
又AC1 平面CDB1,OD 平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.
14.证明:连接MC交BD于E,连接NE,如图.
因为侧面ABCD为矩形,
所以AD∥BC,又M为AD的中点,
所以==2,
又因为NC=2PN,
所以==2,
所以PM∥NE,
又PM 平面BDN,NE 平面BDN,
所以PM∥平面BDN.
15.A1,B1,D [解析] 由题意知,平面DEP必定经过正方体的顶点D.下面分析正方体除D外的顶点,满足题意的正方体的顶点与DE确定的平面必然与直线BD1相交,且交点不为B,D1,显然顶点A,B,C,D1都不符合题意.现分析顶点C1,如图①,连接C1E,DC1,CD1,设DC1∩CD1=O,连接EO.因为O,E分别为CD1,BC的中点,所以BD1∥EO,又EO 平面DEC1,BD1 平面DEC1,所以BD1∥平面DEC1,故C1不符合题意.根据正方体的特征,结合图②和图③可知,平面A1DE、平面B1DE均与直线BD1相交,所以A1,B1均符合题意.综上,平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1,B1,D.
16.解:(1)证明:连接BD,设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点,又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO 平面AEC,PB 平面AEC,所以PB∥平面AEC.
(2)当G为PC的中点时,FG∥平面AEC.证明如下:连接GE,因为E为PD的中点,G为PC的中点,所以GE∥CD,且GE=CD.因为F为AB的中点,且四边形ABCD为矩形,所以FA∥CD,且FA=CD,所以FA∥GE,且FA=GE,所以四边形AFGE为平行四边形,所以FG∥AE.
又FG 平面AEC,AE 平面AEC,所以FG∥平面AEC.
