4.2 实际问题的函数建模 同步练习（含答案）

4.2
实际问题的函数建模
同步练习
一、选择题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次
，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
[答案]　D
[解析]　因为自行车x辆，∴电动车4
000－x辆，y＝0.2x＋0.3(4
000－x)＝－0.1x＋1
200，故选D.
2．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)
A．3m
B．4m
C．6m
D．12m
[答案]　A
[解析]　如图所示，设隔墙长为xm，则矩形长为＝12－2x(m)．
∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18.
∴当x＝3m时，矩形的面积最大．
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.95·m
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
[答案]　A
[解析]　设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝0.95，
即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y＝0.95·m.
4．某林场计划第一年造林10
000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　)
A．14
400亩　　　
B．172
800亩
C．17
280亩
D．20
736亩
[答案]　C
[解析]　因为年增长率为20%，所以第四年造林为10
000×(1＋20%)3＝17
280(亩)，故选C.
5．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
2
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　)
A．y＝log2(x＋1)
B．y＝2x－1
C．y＝2x－1
D．y＝(x－1)2＋1
[答案]　D
[解析]　代入数值检验，把x＝2代入可排除A、B、C，把x＝1,2,3
代入D选项，符合题意．
6．某种动物繁殖数量y(只)与繁殖时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第七年它们发展到(　　)
A．300只
B．400只
C．500只
D．600只
[答案]　A
[解析]　∵由题意知，当x＝1时，y＝100，
即100＝alog22，
∴a＝100.
∴y＝100log2(x＋1)．
∴当x＝7时，y＝100log28＝300(只)．
二、填空题
7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密函数为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
[答案]　4
[解析]　依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，
故6＝a3－2，解得a＝2，
所以加密函数为y＝2x－2，
因此当y＝14时，由14＝2x－2，
解得x＝4.
8．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．
[答案]　35
[解析]　由Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27
＝0.0025(v2－70v)＋4.27
＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27
＝0.0025(v－35)2＋1.2075.
∴v＝35km/h时，耗油量最少．
三、解答题
9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)
[解析]　(1)当0当100所以P＝f(x)＝(x∈N＋)．
(2)设销售商一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝(x∈N＋)．
当x＝450时，L＝5
850，
因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5
850元．
10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
[解析]　解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为·n.
依题意，得·n≤，即n≤，
∵7＝>，8＝<，
∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
解法2：接解法1：()n≤，
则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，
即n≥≈7.4，又n∈N＋，
∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
一、选择题
1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是(　　)
A．①②
B．①②③④
C．②③④⑤
D．①②⑤
[答案]　D
[解析]　设此指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，
由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：
a＝2，∴y＝2x，故①正确．
当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．
当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22，从而可知浮萍从4m2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．
把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D.
2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33
℃的保鲜时间是(　　)
A．16小时
B．20小时
C．24小时
D．21小时
[答案]　C
[解析]　由题意，得
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝()3×192＝24(小时)．
二、填空题
3．里约热内卢为成功举办2016年奥运会，决定从2012年底到2015年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2013年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．
[答案]　30.2%
[解析]　设现有车辆总数为a,2013年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.
∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2%.
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
[答案]　(1)y＝；(2)0.6.
[解析]　由图像可知，当0≤t<0.1时，y＝10t；
当t＜0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t＞0.1时，y＝t－.
∴y＝，
由题意可知()t－＜0.25，得t＞0.6(小时)．
三、解答题
5．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量减少了10p万件．
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．
[解析]　由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，
新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．
(1)由题设知
解得2≤p≤6.
即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.
(2)当0＝－8(p－4)2＋128.
∴当p＝4时，f(p)max＝128.
即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．
6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解析]　设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝＋x＋2y，
y＝，由y>0，得x∈(0，)．
S＝x2＋xy＝x2＋·x
＝－(x－)2＋，x∈(0，)．
当x＝时，Smax＝，此时，y＝＝.
答：窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．
7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试
问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[解析]　设两个函数
y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；
y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，有
解得
∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝1.3(万件)，
依题意，也有
解得
∴y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4，
g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．
经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选用y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．