(共56张PPT)
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
第2课时 直线与平面平行的性质
探究点一 直线与平面平行的性质定理的
应用
探究点二 线面平行的综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的性质
定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
一条直线与一个平面 ______,如果过该直线 的平面与此平面相 交，那么该直线与交 线_______ ______________________________________________________ _____________________________ 线面平行
_____
_____
平行
平行
线线平行
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线与这个平面内所
有直线都平行.( )
×
[解析] 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线与这个平面内
直线的位置关系是平行或异面.
（2）平行于同一个平面的两条直线平行.( )
×
[解析] 平行于同一个平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能
异面.
探究点一 直线与平面平行的性质定理的应用
例1 如图所示，在四棱锥中，， 分别
是侧棱，上的点，且平面 .求证：
.
证明：因为平面， 平面 ，平
面 平面 ，所以由线面平行的性
质定理可得 .
变式 如图，在四棱锥中，，，点 为
上一点，为的中点，且平面.求证： .
证明：如图，连接,，设 ，
，连接 ，
平面, 平面，平面 平面
， .
， ，
， ，
点是的重心， 点是 的中点，
，， .
［素养小结］
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤
拓展 已知四棱锥的底面是平行四边形，是的中点，
是上一点.若平面，则 的值为__.
[解析] 如图，连接交于点，连接 .
因为，为 的中点，
所以.
因为平面，平面
平面， 平面 ，
所以，所以 .
探究点二 线面平行的综合应用
例2 如图所示，在长方体中，， 分别是棱
，上的点（不包括端点），且，过 的平面与
棱，分别交于点，.求证：平面 .
证明：， ，
，
又 平面， 平面，
平面
平面，平面 平面 ，
，，
又 平面， 平面，平面 .
变式 如图,在四棱锥中,,,为棱 的中点.
（1）求证:平面 .
证明:如图,取的中点,连接, .
因为,分别为,的中点,
所以 ,且.
因为, ,
所以,,
所以四边形 为平行四边形,则.
因为 平面, 平面,所以平面 .
（2）与平面 是否平行 并说明理由.
解：与平面不平行.理由如下:
假设 平面,连接,设,连接 .
因为平面 平面, 平面 ,
平面,所以,
所以在 中, 有 ，
又为的中点,所以,即.
因为 ,所以,这与矛盾, 所以假设不成立,
故与平面 不平行.
［素养小结］
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平
行，再通过线面平行推出线线平行.
线面平行的性质定理解读
（1）线面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”.
（2）线面平行的性质定理包含三个条件“一内一交一平行”,应用该定
理的关键是过直线作平面得到与平行平面的交线.
1.线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平
行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行.利用线面平行的性
质定理解题的一般步骤:①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面;
②确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面;③确定交线;
④由线面平行的性质定理得出线线平行的结论.
例1 如图,在三棱柱中,,分别为棱, 的中点,过
作一个平面分别交底面三角形的边,于点, ,则( )
A.
B.四边形 为梯形
C.四边形 为平行四边形
D.
√
[解析] 在平行四边形中,,分别为 ,
的中点,,，
又 平面, 平面,
平面
平面,平面 平面,
.
显然在中,,, 四边形 为梯形.故选B.
2.进一步学习关于线面位置关系的判定以及与性质有关的证明问题.
例2 [2024·杭州二中高一期中] 如图所示，
正方体的棱长为2,, 分别
为,的中点，点在棱 上，且满
足 .
（1）若，证明：平面 .
证明：连接 ，如图.
当时，为 的中点，
又因为为的中点，所以 .
因为且，
所以四边形 为平行四边形，
所以，故 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）若点在线段上，且满足平面.当 时，求
长度的取值范围.
解：当时，为 的中点，如图①，连接
，交于点，连接 ，连接，交
于点，取的中点 ，连接， .
因为,分别为,的中点，所以 ，
则为的中点，所以 .
因为且，所以四边形 为平行四边形，
所以，故 .
因为平面，平面 平面
， 平面 ，
所以，所以和 重合，
又 ，
所以此时 .
当时，与重合，如图②，连接 ，交
于点，连接，连接，交于点 ，
因为，分别为， 的中点，
所以，所以为的中点.
在上取点 使得，连接 ，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
又 ，
所以四边形为平行四边形，
所以 ，即 .
因为平面，平面 平面
， 平面，
所以 ，所以与 重合，
所以此时 .
综上可得，当时， 长度的取值范围为 .
练习册
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.若直线上有无数个点不在平面 内，则
B.若直线与平面 平行，则平面 内有无数条直线与 平行
C.若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平
面平行
D.若直线与平面 平行，则与平面 内的任意一条直线都平行
√
[解析] 对于A，若直线上有无数个点不在平面 内，则 或 与
相交，A错误；
对于B，若直线与平面 平行，则存在过直线 的平面与平面 相交，
设交线为，则，显然在平面 内有无数条直线与平行，这些
直线都与 平行，B正确；
对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个
平面平行或在这个平面内，C错误；
对于D，若直线与平面 平行，则与平面 内的直线平行或是异面，
不会与平面 内的任意一条直线都平行，D错误.故选B.
2.若是直线外一点，则过点且与 平行的平面( )
A.存在无数个 B.不存在
C.存在但只有一个 D.只存在两个
[解析] 过点A作直线的平行线，则经过直线且不经过直线 的所
有平面均与直线 平行，所以满足条件的平面有无数个.故选A．
√
3.以下四个命题中，为真命题的是( )
A.若，是两条直线，且，则平行于经过 的任何平面
B.若直线和平面 满足 ，则与 内的直线可能相交
C.若直线，和平面 满足 ， ，则
D.若直线，和平面 满足， ， ，则
[解析] 对于A，当经过的平面也经过时， 与该平面 不平行，故
A为假命题；
对于B，与 内的直线平行或异面，故B为假命题；
对于C，直线与 平行、相交、异面都有可能，故C为假命题；
对于D，若 ，过作平面交 于直线，则，又因为 ，所
以，又 ， ，所以 ，故D为真命题.故选D.
√
4.在空间中，若直线平面 ，则“直线”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 在空间中，若直线平面 ，则由直线可得 或
，
由 可得与平行或异面，故“直线”是“ ”的既不充
分也不必要条件.故选D.
√
5.已知平面 平面，直线 ， ，则直线与 的位置
关系是( )
A.平行或异面 B.相交 C.平行 D.异面
[解析] 如图，平面 平面 ，直线
， ，过作平面 ，
， 易证.
过 作平面，
， 易证 ，
， ， ，
而 ，平面 平面， .综上， .故选C.
√
6.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥的棱中与
平面 平行的有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条
[解析] 如图，平面 截三棱锥 所得截
面为平行四边形， 则
平面， 平面，，
平面
平面，平面 平面，，
又 平面 ， 平面，平面.
同理可得平面 .故选C.
√
7.如图，为平行四边形 所在平面外一
点，过的平面与平面交于，在
上且异于，，则四边形 是( )
A.空间四边形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形
[解析] 因为， 平面， 平面，所以
平面，
因为 平面，平面 平面 ，所以.
因为，，所以 ，所以四边形 为梯形，
故选C.
√
8.如图，在三棱柱中，是 的中
点，是棱上的动点，且，若 平
面，则 的值为( )
A. B.1 C. D.2
√
[解析] 取的中点，连接，.
因为， 分别是，的中点，
所以 ，且
因为，所以 ，即 ，
所以,确定平面.
因为 平面，平面，
平面 平面，所以，
又 ，所以四边形是平行四边形，所以，
所以 ，即D为的中点，因此 . 故选B.
9.（多选题）如图，在四棱锥 中，
，分别为， 上的点（不包括端点），
且平面 ，则( )
A. B.平面
C. D.
[解析] 在四棱锥中，，分别为， 上的点，且
平面，因为 平面，平面 平面 ，
所以由直线与平面平行的性质定理可得.
因为 平面， 平面，所以平面.故选 .
√
√
二、填空题
10.若一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内的任意一条直线
的位置关系是____________.
平行或异面
11.如图①所示，在直角梯形中， ， ，
分别是，上的点，且， ，将四边形
沿折起，连接，，（如图②），则四边形
______平面四边形.（填“是”或“不是”）
不是
[解析] 折起后，, 平面, 平面 ,
平面.
假设四边形是平面四边形，则 平面，
平面 平面, ，与题意不符，
假设不成立.故四边形 不是平面四边形.
12.如图所示，在三棱柱中，是
上的点且平面，则 的值为___.
1
[解析] 连接,设，连接
平面 ， 平面，且平面 平
面，
四边形是平行四边形，
为 的中点，为的中点，即 .
三、解答题
13.如图，在四棱锥中，点， ，
,分别是棱，，， 上共面的四
点，且平面，证明： .
证明：因为平面， 平面，
且平面 平面 ，
所以.
因为平面， 平面，且平面 平
面，所以，所以 .
14.[2024·淄博高一期中] 如图，在几何体 中，
四边形为直角梯形，， ，
,在上，，平面 平面
.证明：
（1）平面 ；
证明：如图，连接交于，连接 .
因为四边形为直角梯形，，
， ，
所以 ，
又因为,所以，所以 .
因为 平面, 平面 ，
所以平面 .
（2） .
证明： 因为， 平面, 平面
，所以平面.
因为 平面 ，平面 平面，
所以 .
15.如图，长方体的底面 是正方形，
，分别是侧棱，上的动点，， 在棱
上，且.若平面，则 ___.
2
[解析] 如图，连接，交于点，连接，过点
作，交于点
平面， 平面，平面
平面 ，
，，
又， 四边形为平行四边形，
四边形 是正方形，是的中点，
又 ，
， .
16.一个四面体木块如图所示，点在平面内且为 的重心.
（1）过点将木块锯开，使截面平行于直线与 ，在木块表面
应该怎样画线？请说明理由.
解：如图，在平面内过点作直线 交于，交于 ，
在平面内过点作直线交于 ，
在平面内过点作交于，连接 ，
则，，， 为截面与木块各表面的交线.
理由如下：， ，
，，，， 四点共面.
平面， 平面 ，平面，
同理可证平面 .
（2）在棱上是否存在点，使得直线平面 ？若存在，
求出 的值；若不存在，说明理由.
解：如图，连接并延长，交于点，连接 .
若在棱上存在点满足平面 ，
则由平面 平面 ，
平面，可得， .
为的重心，，
在棱上存在点 ，使得直线平面，且 .第2课时 直线与平面平行的性质
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线与这个平面内直线的位置关系是平行或异面.
(2)平行于同一个平面的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面.
【课中探究】
探究点一
证明:因为EF∥平面ABCD,EF 平面PAC,平面PAC∩平面ABCD=AC,所以由线面平行的性质定理可得EF∥AC.
变式 证明:如图,连接AC,FC,设AC∩BD=O,FC∩BE=M,连接OM,
∵AF∥平面BDE,AF 平面AFC,平面AFC∩平面BDE=OM,∴AF∥OM.
∵AD∥BC,AD=BC,
∴==,∴==,
∴点M是△PBC的重心,∴点E是PC的中点,
∴==,∴OM∥DE,∴AF∥DE.
拓展 [解析] 如图,连接AC交BE于点O,连接OF.因为AD∥BC,E为AD的中点,所以==.因为PA∥平面EBF,平面EBF∩平面PAC =OF,PA 平面PAC,所以PA∥OF,所以==.
探究点二
证明:∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,∴EH∥B1C1,又B1C1 平面BCC1B1,EH 平面BCC1B1,∴EH∥平面BCC1B1.∵EH 平面EHGF,平面EHGF∩平面BCC1B1=FG,∴EH∥FG,∴FG∥A1D1,又FG 平面ADD1A1,A1D1 平面ADD1A1,∴FG∥平面ADD1A1.
变式 解:(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=DC.因为AB∥DC,CD=2AB,所以EF∥AB,EF=AB,所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.因为AE 平面PBC,BF 平面PBC,所以AE∥平面PBC.
(2)PB与平面AEC不平行.理由如下:假设PB∥平面AEC,连接BD,设BD∩AC=O,连接OE.因为平面AEC∩平面PDB=OE,PB 平面PDB,PB∥平面AEC,所以PB∥OE,所以在△PDB中,有=,
又E为PD的中点,所以==1,即OB=OD. 因为AB∥DC,所以==,这与OB=OD矛盾, 所以假设不成立,故PB与平面AEC不平行.第2课时 直线与平面平行的性质
1.B [解析] 对于A,若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或l与α相交,A错误;对于B,若直线l与平面α平行,则存在过直线l的平面与平面α相交,设交线为c,则l∥c,显然在平面α内有无数条直线与c平行,这些直线都与l平行,B正确;对于C,若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条与这个平面平行或在这个平面内,C错误;对于D,若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或是异面,不会与平面α内的任意一条直线都平行,D错误.故选B.
2.A [解析] 过点A作直线m的平行线l,则经过直线l且不经过直线m的所有平面均与直线m平行,所以满足条件的平面有无数个.故选A.
3.D [解析] 对于A,当经过b的平面也经过a时,a与该平面 不平行,故A为假命题;对于B,a与α内的直线平行或异面,故B为假命题;对于C,直线a与b平行、相交、异面都有可能,故C为假命题;对于D,若a∥α,过a作平面交α于直线c,则a∥c,又因为a∥b,所以b∥c,又b α,c α,所以b∥α,故D为真命题.故选D.
4.D [解析] 在空间中,若直线l∥平面α,则由直线l1∥l可得l1∥α或l1 α,由l1 α可得l1与l平行或异面,故“直线l1∥l”是“l1 α”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.C [解析] 如图,平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β,过a作平面γ∩α=m,∵a∥α,∴易证m∥a.过a作平面η∩β=n,∵a∥β,∴易证n∥a,∴m∥n.∵m β,n β,∴m∥β,而m α,平面α∩平面β=l,∴m∥l.综上,a∥l.故选C.
6.C [解析] 如图,平面α截三棱锥A-BCD所得截面为平行四边形EFGH,则EF∥GH.∵EF 平面BCD,GH 平面BCD,EF∥GH,∴EF∥平面BCD.∵EF 平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD,又EF 平面EFGH,CD 平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.同理可得AB∥平面EFGH.故选C.
7.C [解析] 因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD,因为BC 平面EFBC,平面EFBC∩平面PAD=EF,所以BC∥EF.因为BC=AD,EF
8.B [解析] 取B1C的中点F,连接DF,EF.因为E,F分别是BC,B1C的中点,所以EF∥BB1,且EF=BB1.因为AA1∥BB1,所以AA1∥EF,即AD∥EF,所以AD,EF确定平面ADFE.因为AE 平面ADFE,AE∥平面DB1C,平面DB1C∩平面ADFE=DF,所以AE∥DF,又AD∥EF,所以四边形AEFD是平行四边形,所以AD=EF=BB1,所以AD=AA1,即D为AA1的中点,因此m=1.故选B.
9.BD [解析] 在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,因为MN 平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA.因为MN 平面PAB,PA 平面PAB,所以MN∥平面PAB.故选BD.
10.平行或异面
11.不是 [解析] 折起后,∵AD∥BC,AD 平面ADEF,BC 平面ADEF,∴BC∥平面ADEF.假设四边形BCEF是平面四边形,则BC 平面BCEF,∵平面BCEF∩平面ADEF=EF,∴BC∥EF,与题意不符,假设不成立.故四边形BCEF不是平面四边形.
12.1 [解析] 连接BC1,设B1C∩BC1=O,连接DO.∵A1B∥平面B1CD,A1B 平面A1BC1,且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是平行四边形,∴O为BC1的中点,∴D为A1C1的中点,即=1.
13.证明:因为BC∥平面GEFH,BC 平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.因为BC∥平面GEFH,BC 平面ABCD,且平面ABCD∩平面GEFH=EF,所以EF∥BC,所以GH∥EF.
14.证明:(1)如图,连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,DC=2AB,
所以==,
又因为GC=2FG,所以==,所以AF∥OG.
因为OG 平面BDG,AF 平面BDG,
所以AF∥平面BDG.
(2)因为AB∥CD,CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.因为AB 平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,所以AB∥EF.
15.2 [解析] 如图,连接AC,交BD于点O,连接PO,过点C作CQ∥OP,交AA1于点Q.∵EF∥平面PBD,EF 平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,∴EF∥PO.∵CQ∥OP,∴EF∥QC,又EQ∥CF,∴四边形EQCF为平行四边形,∴QE=CF.∵四边形ABCD是正方形,∴O是AC的中点,又CQ∥OP,∴PQ=AP=2.∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8,∴CF=2.
16.解:(1)如图,在平面PAC内过点O作直线MN∥PC交PA于M,交AC于N,
在平面PAB内过点M作直线MI∥AB交PB于I,
在平面ABC内过点N作NQ∥AB交BC于Q,连接IQ,则MN,NQ,QI,IM为截面与木块各表面的交线.
理由如下:∵MI∥AB,NQ∥AB,
∴MI∥NQ,∴M,N,Q,I四点共面.
∵AB 平面MNQI,NQ 平面MNQI,
∴AB∥平面MNQI,同理可证PC∥平面MNQI.
(2)如图,连接CO并延长,交PA于点E,连接BE.
若在棱BC上存在点D满足OD∥平面PAB,
则由平面BCE∩平面PAB=BE,
OD 平面BCE,可得OD∥BE,∴=.
∵O为△PAC的重心,∴==2,∴在棱BC上存在点D,使得直线OD∥平面PAB,且=.第2课时 直线与平面平行的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
一条直线与一个平面 ,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线 a∥b 线面平行
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线与这个平面内所有直线都平行. ( )
(2)平行于同一个平面的两条直线平行. ( )
◆ 探究点一 直线与平面平行的性质定理的应用
例1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是侧棱PA,PC上的点,且EF∥平面ABCD.求证:EF∥AC.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=BC,点E为PC上一点,F为PB的中点,且AF∥平面BDE.求证:AF∥DE.
[素养小结]
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤
拓展 已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E是AD的中点,F是PC上一点.若PA∥平面EBF,则的值为 .
◆ 探究点二 线面平行的综合应用
例2 如图所示,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(不包括端点),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1分别交于点F,G.求证:FG∥平面ADD1A1.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,CD=2AB,E为棱PD的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
(2)PB与平面AEC是否平行 并说明理由.
[素养小结]
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行.第2课时 直线与平面平行的性质
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
B.若直线l与平面α平行,则平面α内有无数条直线与l平行
C.若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行
D.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行
2.若A是直线m外一点,则过点A且与m平行的平面 ( )
A.存在无数个 B.不存在
C.存在但只有一个 D.只存在两个
3.以下四个命题中,为真命题的是 ( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的直线可能相交
C.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b α,则b∥α
4.在空间中,若直线l∥平面α,则“直线l1∥l”是“l1 α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β,则直线a与l的位置关系是 ( )
A.平行或异面 B.相交
C.平行 D.异面
6.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥的棱中与平面α平行的有 ( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
7.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,过BC的平面与平面PAD交于EF,E在PD上且异于P,D,则四边形EFBC是 ( )
A.空间四边形 B.矩形
C.梯形 D.平行四边形
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是棱AA1上的动点,且=m,若AE∥平面DB1C,则m的值为 ( )
A. B.1
C. D.2
9.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点(不包括端点), 且MN∥平面PAD,则 ( )
A.MN∥PD
B.MN∥平面PAB
C.MN∥AD
D.MN∥PA
二、填空题
10.若一条直线与一个平面平行,则该直线与平面内的任意一条直线的位置关系是 .
11.如图①所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,且AD∥BC,DE=2AD=2AF,将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②),则四边形BCEF 平面四边形.(填“是”或“不是”)
12.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,则的值为 .
三、解答题
13.如图,在四棱锥P-ABCD中,点E,F,G,H分别是棱AB,CD,PB,PC上共面的四点,且BC∥平面GEFH,证明:GH∥EF.
14.[2024·淄博高一期中] 如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,DC=2AB,G在FC上,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF.证明:
(1)AF∥平面BDG;
(2)AB∥EF.
15.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8,P在棱AA1上,且AP=2.若EF∥平面PBD,则CF= .
16.一个四面体木块如图所示,点O在平面PAC内且为△PAC的重心.
(1)过点O将木块锯开,使截面平行于直线AB与PC,在木块表面应该怎样画线 请说明理由.
(2)在棱BC上是否存在点D,使得直线OD∥平面PAB 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.