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8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
探究点一 对平面与平面平行的判定定理
的理解
探究点二 平面与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.能够运用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 平面与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果一个平面内的______________与另一个平面平行，
那么这两个平面平行.
符号语言: ， ，， ， .
两条相交直线
图形语言:如图所示.
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
（2）这两条直线必须相交.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平
面平行.( )
×
[解析] 一个平面内必须有两条相交直线与另一个平面平行，这两个
平面才平行.
（2）若平面 内的两条不平行直线都平行于平面 ，则平面 与
平面 平行.( )
√
（3）如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行.( )
√
2.要证明矩形所在平面平行于平面 ，在四条边所在直线 ,
,,中选择两条直线，证明它们与平面 平行即可，则不能同
时选择的两条直线有哪些
解：根据平面与平面平行的判定定理知，所选的两条直线必须相交，
而，，故不能同时选择的直线有和，和 .
探究点一 对平面与平面平行的判定定理的理解
例1 给出下列四个说法：
①若平面 内的两条直线均与平面 平行，则平面 与平面 平行；
②若平面 内有无数条直线均与平面 平行，则平面 与平面 平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行.
其中正确说法的个数是___.
0
[解析] ①错误，因为平面 内的这两条直线不一定相交，故不能判
定 与 平行；
②错误，平面 内这无数条直线可能互相平行，这样就不能找到两条
相交直线与 平行，故不能判定 与 平行；
③错误，这两个平面也可能相交；
④错误，这两个平面也可能相交.故正确说法的个数是0.
变式 设,为两条不同的直线, , , 为三个不同的平面,下列说法
中正确的是( )
A.若平面 内有无数个点到平面 的距离相等,则
B.若,,且,则
C.若平面 内的一个三角形的三条边与平面 内的一个三角形的三
条边对应平行,则
D.若平面 内的一个平行四边形的两条边与平面 内的一个平行四
边形的两条边对应平行,则
√
[解析] 对于A,当,, 时,平面 内的直线 上有无
数个点到平面 的距离相等,但不满足 ,故A错误;
对于B,在三棱柱中,设平面为平面 ,平面
为平面 ,平面为平面 ,直线为直线,直线为
直线 ,此时显然满足，，且,但不满足 ,
故B错误;
对于C,若平面 内的一个三角形的三条边与平面 内的一个三角形
的三条边对应平行,则 ,故C正确;
对于D,设,当平面 内的一个平行四边形相对的两条边所在
直线,满足,平面 内的一个平行四边形相对的两条边所在
直线,满足时,满足 ，,但不满足 ,故D错误.
故选C.
探究点二 平面与平面平行的判定
例2 如图,在四棱锥中,底面 为平行
四边形,点,,分别在,, 上（不包括端
点）.若 ,求证:平面
平面 .
证明：， ，
又， .
平面， 平面，
平面 .
， ，
又 平面， 平面，平面 .
， 平面， 平面 ，
平面平面 .
变式1 在直三棱柱中，点，
分别为棱，的中点，点在棱 上.试
确定点的位置，使得平面平面 ，
并证明.
解：当点为棱的中点时，平面 平面 .
证明如下：因为点,分别为, 的中点，
所以，
又因为 平面， 平面，
所以平面 .
因为,，
所以四边形 是平行四边形，可得 ，
又因为 平面， 平面，所以平面 .
又因为，且, 平面，所以平面 平
面 .
变式2 如图，已知在三棱柱中，
为棱上一点，为的中点，且 平面
. 证明：平面平面 .
证明：如图，连接，交于，连接 ，
则平面 平面 ，
平面 ，平面 ，，
又为 的中点，为 的中点，
又为 的中点， 四边形 为平行四边形，
，
又 平面， 平面 ，平面 ，
又平面，， 平面，
平面， 平面平面 .
［素养小结］
（1）要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直
线，证明这两条相交直线平行于另一个平面即可.
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原
则，即先在一个平面内寻找与另一个平面平行的两条相交直线，若
找不到再作辅助线.
面面平行的判定定理解读
（1）平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”.
（2）面面平行的判定定理包含三个条件“一内一交一平行”，这三个
条件缺一不可.
要证明面面平行，依据判定定理找出一个平面内的两条相交直线分
别平行于另一个平面即可.常进行如下转化:线线平行 线面平行
面面平行.
例 如图所示,已知点是平行四边形 所
在平面外一点,,,分别为,, 的中点,
平面 平面 .
（1）求证:平面 .
证明:取的中点,连接, .
在中,易得, .
在平行四边形中,由题意得 ,
,所以, ,
所以四边形为平行四边形,则 .
因为 平面, 平面 ,
所以平面 .
（2）直线上是否存在点,使得平面 平
面 若存在,求出点 的位置,并加以证明;若
不存在,请说明理由.
解：存在,点为 的中点.证明如下：
因为,分别为,的中点,所以 ，
又 平面, 平面 ,
所以平面.同理平面 .
因为,所以平面平面 .
（3）求证: .
证明:因为, 平面, 平
面 ,
所以平面，
又平面 平面, 平面 ,
所以 .
练习册
一、选择题
1.在正方体中，相互平行的面不会是( )
A.前后侧面 B.上下底面 C.左右侧面 D.相邻的侧面
[解析] 由正方体的模型知，前后面、上下面、左右面都相互平行，
故选D.
√
2.若直线平面 ，直线平面 ，直线与相交于点，且 与
确定的平面为 ，则 与 的位置关系是( )
A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.不确定
[解析] 因为 ， ，， ， ，所以 .
√
3.设 ， 为两个平面，则 的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与 平行
B. 内有两条相交直线与 平行
C. ， 平行于同一条直线
D.以上答案都不对
√
[解析] 对于A选项，若这无数条直线均平行，则无法推出 ，A
错误；
对于B选项，由面面平行的判定定理得，若 内有两条相交直线与
平行，则 ，易知若 ，则 内有两条相交直线与 平行，
B正确；
对于C选项，如图， ， 平行于同一条
直线 ，但 ， 不平行，C错误；
易知D错误.故选B.
4.对于两条不同的直线，，两个不重合的平面 ， ，下列说法
正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若，是异面直线， ， ， ， ，则
D.若， ，则
[解析] 在A中，若 ， ，则与 可能相交、平行或异面，
故A错误；
在B中，若 ， ，则 与 可能相交或平行，故B错误；
易知C正确；
在D中，若， ，则 或 ，故D错误．故选C．
√
5.在空间中，已知的三个顶点到平面 的距离相等且不为
零，平面平面，则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当平面平面时，的三个顶点到平面 的距离
相等且不为零，当的三个顶点到平面 的距离相等且不为零
时，平面 可能与平面相交，
例如当平面 且， 的中点在平面 内时，的三个
顶点到平面 的距离相等且不为零，但平面 与平面相交，
所以是 的必要不充分条件.故选B.
√
6.如图所示，在正方体中，在上，在
上，且，过作交于，则平面 与平面
的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.以上都有可能
√
[解析] 因为，所以 ，
所以，
又 平面， 平面，
所以平面 .
因为， 平面，
平面，所以平面 ，
又， 平面， 平面，
所以平面 平面 .故选A.
7.在下列四个正方体中，，，，，，， 分别为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，阴影平面与，， 所在平面平行的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，经过,, 三点的平面为如
图所示的正六边形截面所在平面，记为 ，可
知在平面 上，所以B，C不正确.
由图可知,因为，
所以与 是相交直线,所以D不正确.
因为 ， ， ，所以 .同理 .
因为, 平面, 平面 ,所以平面
. 故选A.
8.（多选题）设 ， 为两个平面，则下列条件中是“ ”的必要
不充分条件的是( )
A. 内有无数条直线与 平行
B. 内有两条相交直线与 平行
C. ， 垂直于同一平面
D. ， 平行于同一平面
√
√
[解析] 对于A， 内有无数条直线与 平行不能推出 ，但由
可以推出 平行于 内的任意一条直线，故“ 内有无数条直
线与 平行”是“ ”的必要不充分条件；
对于B， 内有两条相交直线与 平行能推出 ，故“ 内有两条
相交直线与 平行”是“ ”的充分条件；
对于C， ， 垂直于同一平面不能推出 ，但由 能推出
， 垂直于同一平面，故“ ， 垂直于同一平面”是“ ”的
必要不充分条件；
对于D， ， 平行于同一平面能推出 ，故“ ， 平行于
同一平面”是“ ”的充分条件.故选 .
9.（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，，
分别是,,,, 的中点，则下列说法错误的是
( )
A.平面
B.平面
C.平面平面
D.平面平面
√
√
√
[解析] 连接,,如图所示，则为 的中点，
又是的中点，所以，
又 平面， 平面，
所以平面 .
因为四边形是矩形，D，分别为,
的中点，所以， ，可得，，
所以四边形 是平行四边形，所以，
又 平面， 平面，所以 平面，
又 平面, 平面，
，所以平面平面，
所以D中说法正确.
因为 ,均与平面相交，所以,
均与平面相交，所以A，B中说法都不正确.
因为 与平行，与平面相交，所以
与平面也相交，所以C中说法不正确.
故选 .
二、填空题
10.已知平面 ， 是两个不重合的平面，直线，， 是三条不同
的直线，若， ，， ，则 与 的位置关系是
____________.
相交或平行
[解析] 若 ，则存在 ，, ，使得 ，满足条
件；
若 与 相交，设交线为，则存在 ，, ，，
，也满足条件.
11.用符号语言表述平面与平面平行的判定定理为_________________
___________________________.
, ，, ,
[解析] 平面与平面平行的判定定理是：如果一个平面内的两条相交
直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
用符号语言表述为
, ,, , .
12.如图是某正方体的展开图.关于这个正方体，
有以下判断：
平面；；③平面
平面；④平面平面 .
①③④
其中所有正确判断的序号是________.
[解析] 把正方体的展开图还原成正方体
，如图.
由 , ，得四边形
为平行四边形，则，
同理， .
对于①，由， 平面，平面，得平
面，①正确.
对于②，由，与 相交，得与不平行，②错误.
对于③，因为， 平面， 平面，
所以平面 . 因为， 平面， 平面
，所以平面 ，又，， 平面 ，
所以平面平面 ，③正确.
对于④，因为， 平面，
平面 ，所以平面.
因为， 平面， 平面，
所以平面 . 又，，
平面 ，所以平面平面 ，④正确.故填①③④.
三、解答题
13.在如图所示的几何体中，是 的中点，
.已知，，分别是，和 的中
点，求证：平面平面 .
证明：，，分别是，， 的中点，
，
， ，
， 平面， 平面 ，
平面
， 平面， 平面， 平面.
又 平面， 平面，，
平面平面 .
14.如图，在三棱柱中，，分别是， 的中点.
（1）求证： .
证明：如图，连接，则为 的中点，
又为 的中点，
为 的中位线，
.
（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面 ？若存在，
指出 的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
解：在棱上存在点使得平面
平面，且为 的中点，证明如下：
，分别为, 的中点，，
又 平面， 平面 ，
平面.
由（1）知，
又 平面， 平面，平面，
又， 平面， 平面 ，
平面平面 .
15.在棱长为2的正方体中,,,分别为, ,
的中点,为侧面内（包括边界）一动点,且 平面
,则点 的轨迹长度为___.
2
[解析] 如图，因为,所以,,,
四点共面,连接,.
因为,分别为 , 的中点,所以,
又 平面 , 平面,
所以平面.
因为, 分别为,的中点,所以,
又平面, 平面,所以平面.
又 ,, 平面,所以平面
平面 ,
又平面 平面,所以当且仅当点在棱上时,
满足平面,所以点 的轨迹长度为2.
16.[2024·湖南邵阳高一期中] 已知正方体中， ，
分别为面对角线，上的点，且 .
（1）求证：平面 .
证明：连接并延长与的延长线交于点 ，连
接 ，如图.
因为四边形为正方形，所以 ，故
，
所以 ，
又因为 ，
所以，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）若是上的点，当的值为多少时，能使平面 平面
？请给出证明.
解：当的值为时，能使平面 平面
.
证明如下：因为，所以 ，故
，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 ，
又由（1）知平面，，, 平面 ，
所以平面平面 .8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
【课前预习】
知识点
1.两条相交直线
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)一个平面内必须有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面才平行.
2.解:根据平面与平面平行的判定定理知,所选的两条直线必须相交,而AB∥CD,BC∥AD,故不能同时选择的直线有AB和CD,BC和AD.
【课中探究】
探究点一
例1 0 [解析] ①错误,因为平面α内的这两条直线不一定相交,故不能判定α与β平行;②错误,平面α内这无数条直线可能互相平行,这样就不能找到两条相交直线与β平行,故不能判定α与β平行;③错误,这两个平面也可能相交;④错误,这两个平面也可能相交.故正确说法的个数是0.
变式 C [解析] 对于A,当α∩β=l,m∥l,m α时,平面α内的直线m上有无数个点到平面β的距离相等,但不满足α∥β,故A错误;对于B,在三棱柱ABC-A1B1C1中,设平面BCC1B1为平面α,平面ACC1A1为平面β,平面ABB1A1为平面γ,直线CC1为直线b,直线BB1为直线a,此时显然满足α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b,但不满足γ∥β,故B错误;对于C,若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则α∥β,故C正确;对于D,设α∩β=l,当平面α内的一个平行四边形相对的两条边所在直线m,n满足m∥n∥l,平面β内的一个平行四边形相对的两条边所在直线p,q满足p∥q∥l时,满足m∥p,n∥q,但不满足α∥β,故D错误.故选C.
探究点二
例2 证明:∵PM∶MA=PQ∶QD,∴QM∥AD,
又AD∥BC,∴QM∥BC.
∵QM 平面PBC,BC 平面PBC,∴QM∥平面PBC.
∵BN∶ND=PQ∶QD,∴QN∥PB,
又QN 平面PBC,PB 平面PBC,∴QN∥平面PBC.
∵QM∩QN=Q,QM 平面MNQ,QN 平面MNQ,
∴平面MNQ∥平面PBC.
变式1 解:当点F为棱CC1的中点时,平面AB1F∥平面CDE.
证明如下:因为点D,E分别为AB,BB1的中点,
所以DE∥AB1,又因为AB1 平面CDE,DE 平面CDE,所以AB1∥平面CDE.
因为CF=B1E,CF∥B1E,所以四边形CFB1E是平行四边形,可得FB1∥CE,
又因为FB1 平面CDE,CE 平面CDE,所以FB1∥平面CDE.
又因为AB1∩FB1=B1,且AB1,FB1 平面AB1F,所以平面AB1F∥平面CDE.
变式2 证明:如图,连接A1C,交AC1于O,连接OD,
则平面A1BC∩平面ADC1=OD,
∵A1B 平面A1BC,
A1B∥平面ADC1,
∴OD∥A1B,又O为A1C的中点,
∴D为BC的中点,
又D1为B1C1的中点,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴BD1∥DC1,又BD1 平面ADC1,DC1 平面ADC1,
∴BD1∥平面ADC1,
又A1B∥平面ADC1,BD1∩A1B=B,BD1 平面A1BD1,A1B 平面A1BD1,∴平面A1BD1∥平面ADC1.8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
1.D [解析] 由正方体的模型知,前后面、上下面、左右面都相互平行,故选D.
2.B [解析] 因为l∥α,m∥α,l∩m=P,l β,m β,所以β∥α.
3.B [解析] 对于A选项,若这无数条直线均平行,则无法推出α∥β,A错误;对于B选项,由面面平行的判定定理得,若α内有两条相交直线与β平行,则α∥β,易知若α∥β,则α内有两条相交直线与β平行,B正确;对于C选项,如图,α,β平行于同一条直线m,但α,β不平行,C错误;易知D错误.故选B.
4.C [解析] 在A中,若l1∥α,l2∥α,则l1与l2可能相交、平行或异面,故A错误;在B中,若l1∥α,l2∥β,则α与β可能相交或平行,故B错误;易知C正确;在D中,若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α或l2 α,故D错误.故选C.
5.B [解析] 当平面α∥平面ABC时,△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零,当△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零时,平面α可能与平面ABC相交,例如当BC∥平面α且AB,AC的中点在平面α内时,△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零,但平面α与平面ABC相交,所以p是q的必要不充分条件.故选B.
6.A [解析] 因为=,所以EF∥A1D1,所以EF∥B1C1,又EF 平面BB1C1C,B1C1 平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.因为EH∥B1B,EH 平面BB1C1C,B1B 平面BB1C1C,所以EH∥平面BB1C1C,又EF∩EH=E,EF 平面EFH,EH 平面EFH,所以平面EFH∥平面BB1C1C.故选A.
7.A [解析] 由题意可知,经过P,Q,R三点的平面为如图所示的正六边形截面所在平面,记为β,可知N在平面β上,所以B,C不正确.由图可知QN∥BC1,因为MC1∩BC1=C1,所以MC1与QN是相交直线,所以D不正确.因为RH∥A1C1,RH β,A1C1 β,所以A1C1∥β.同理A1B∥β.因为A1C1∩A1B=A1,A1C1 平面A1BC1,A1B 平面A1BC1,所以平面A1BC1∥β.故选A.
8.AC [解析] 对于A,α内有无数条直线与β平行不能推出α∥β,但由α∥β可以推出β平行于α内的任意一条直线,故“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的必要不充分条件;对于B,α内有两条相交直线与β平行能推出α∥β,故“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件;对于C,α,β垂直于同一平面不能推出α∥β,但由α∥β能推出α,β垂直于同一平面,故“α,β垂直于同一平面”是“α∥β”的必要不充分条件;对于D,α,β平行于同一平面能推出α∥β,故“α,β平行于同一平面”是“α∥β”的充分条件.故选AC.
9.ABC [解析] 连接AC1,ED,如图所示,则N为AC1的中点,又E是B1C1的中点,所以EN∥AB1,又AB1 平面ADB1,EN 平面ADB1,所以EN∥平面ADB1.因为四边形BCC1B1是矩形,D,E分别为BC,B1C1的中点,所以DE∥BB1,DE=BB1,可得DE∥AA1,DE=AA1,所以四边形ADEA1是平行四边形,所以A1E∥AD,又AD 平面ADB1, A1E 平面ADB1,所以A1E∥平面ADB1,又A1E 平面A1EN,EN 平面A1EN,A1E∩EN=E,所以平面A1EN∥平面ADB1,所以D中说法正确.因为EF,A1M均与平面A1EN相交,所以EF,A1M均与平面ADB1相交,所以A,B中说法都不正确.因为MN与AC平行,AC与平面ADB1相交,所以MN与平面ADB1也相交,所以C中说法不正确.故选ABC.
10.相交或平行 [解析] 若α∥β,则存在a α,b,c β,使得a∥b∥c,满足条件;若α与β相交,设交线为l,则存在a α,b,c β,b∥c∥l,a∥l,也满足条件.
11.a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β [解析] 平面与平面平行的判定定理是:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.用符号语言表述为a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β.
12.①③④ [解析] 把正方体的展开图还原成正方体ABCD-EFMN,如图.由AB∥CD∥MN,AB=CD=MN,得四边形ABMN为平行四边形,则BM∥AN,同理CN∥BE,BD∥FN.对于①,由BM∥AN,BM 平面ADE,AN 平面ADE,得BM∥平面ADE,①正确.对于②,由CN∥BE,BE与AF相交,得CN与AF不平行,②错误.对于③,因为BD∥FN,BD 平面AFN,FN 平面AFN,所以BD∥平面AFN.因为BM∥AN,BM 平面AFN,AN 平面AFN,所以BM∥平面AFN,又BD∩BM=B,BD,BM 平面BDM,所以平面BDM∥平面AFN,③正确.对于④,因为BD∥FN,BD 平面NCF,FN 平面NCF,所以BD∥平面NCF.因为BE∥CN,BE 平面NCF,CN 平面NCF,所以BE∥平面NCF.又BD∩BE=B,BD,BE 平面BDE,所以平面BDE∥平面NCF,④正确.故填①③④.
13.证明:∵G,H,I分别是EC,FB,FC的中点,∴HI∥BC,GI∥EF.∵EF∥DB,∴GI∥DB,∵HI∥BC,BC 平面ABC,HI 平面ABC,∴HI∥平面ABC.∵GI∥DB,BD 平面ABC,GI 平面ABC,∴GI∥平面ABC.又HI 平面GHI,GI 平面GHI,HI∩GI=I,∴平面GHI∥平面ABC.
14.解:(1)证明:如图,连接DB,则G为DB的中点,又H为DF的中点,
∴GH为△DBF的中位线,
∴GH∥BF.
(2)在棱CD上存在点P使得平面GHP∥平面BCF,且P为CD的中点,证明如下:∵P,H分别为CD,DF的中点,∴HP∥FC,又HP 平面BCF,FC 平面BCF,
∴HP∥平面BCF.由(1)知GH∥BF,又GH 平面BCF,BF 平面BCF,∴GH∥平面BCF,又HP∩GH=H,HP 平面GHP,GH 平面GHP,
∴平面GHP∥平面BCF.
15.2 [解析] 如图, 因为A1D1∥BC,所以A1,B,C,D1四点共面,连接CD1,A1B.因为E,F分别为AB,AA1的中点,所以EF∥A1B,又EF 平面EFG,A1B 平面EFG,所以A1B∥平面EFG.因为F,G分别为AA1,DD1的中点,所以FG∥A1D1,又FG 平面EFG,A1D1 平面EFG,所以A1D1∥平面EFG.又A1B∩A1D1=A1,A1B,A1D1 平面A1BCD1,所以平面EFG∥平面A1BCD1,又平面BCC1B1∩平面A1BCD1=BC,所以当且仅当点P在棱BC上时,满足D1P∥平面EFG,所以点P的轨迹长度为2.
16.解:(1)证明:连接CP并延长与DA的延长线交于点M,连接MD1,如图.
因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,故△PBC∽△PDM,
所以==,
又因为==,
所以==,所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA,PQ 平面A1D1DA,
所以PQ∥平面A1D1DA.
(2)当的值为时,能使平面PQR∥平面A1D1DA.
证明如下:因为=,所以=,故=,所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA,PR 平面A1D1DA,所以PR∥平面A1D1DA,
又由(1)知PQ∥平面A1D1DA,PQ∩PR=P,PQ,PR 平面PQR,所以平面PQR∥平面A1D1DA.8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.能够运用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 平面与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
符号语言:a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α.
图形语言:如图所示.
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
(2)这两条直线必须相交.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. ( )
(3)如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
2.要证明矩形ABCD所在平面平行于平面α,在四条边所在直线AB,BC,CD,DA中选择两条直线,证明它们与平面α平行即可,则不能同时选择的两条直线有哪些
◆ 探究点一 对平面与平面平行的判定定理的理解
例1 给出下列四个说法:
①若平面α内的两条直线均与平面β平行,则平面α与平面β平行;
②若平面α内有无数条直线均与平面β平行,则平面α与平面β平行;
③平行于同一条直线的两个平面平行;
④若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行.
其中正确说法的个数是 .
变式 设a,b为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,下列说法中正确的是 ( )
A.若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β
B.若α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b,则γ∥β
C.若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则α∥β
D.若平面α内的一个平行四边形的两条边与平面β内的一个平行四边形的两条边对应平行,则α∥β
◆ 探究点二 平面与平面平行的判定
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上(不包括端点).若PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.
变式1 在直三棱柱A1B1C1-ABC中,点D,E分别为棱AB,BB1的中点,点F在棱CC1上.试确定点F的位置,使得平面AB1F∥平面CDE,并证明.
变式2 如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱BC上一点,D1为B1C1的中点,且A1B∥平面ADC1.证明:平面A1BD1∥平面ADC1.
[素养小结]
(1)要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线,证明这两条相交直线平行于另一个平面即可.
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内寻找与另一个平面平行的两条相交直线,若找不到再作辅助线.8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
一、选择题
1.在正方体中,相互平行的面不会是 ( )
A.前后侧面 B.上下底面
C.左右侧面 D.相邻的侧面
2.若直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是 ( )
A.相交但不垂直 B.平行
C.垂直 D.不确定
3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.以上答案都不对
4.对于两条不同的直线l1,l2,两个不重合的平面α,β,下列说法正确的是 ( )
A.若l1∥α,l2∥α,则l1∥l2
B.若l1∥α,l2∥β,则α∥β
C.若l1,l2是异面直线,l1 α,l1∥β,l2 β,l2∥α,则α∥β
D.若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α
5.在空间中,已知p:△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零,q:平面α∥平面ABC,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在B1D1上,F在A1B1上,且=,过E作EH∥B1B交BD于H,则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.以上都有可能
7.在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q所在平面平行的是 ( )
A B C D
8.(多选题)设α,β为两个平面,则下列条件中是“α∥β”的必要不充分条件的是 ( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β垂直于同一平面
D.α,β平行于同一平面
9.(多选题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F,M,N分别是BC,B1C1,AA1,CC1,A1C的中点,则下列说法错误的是 ( )
A.EF∥平面ADB1
B.A1M∥平面ADB1
C.平面EMN∥平面ADB1
D.平面A1EN∥平面ADB1
二、填空题
10.已知平面α,β是两个不重合的平面,直线a,b,c是三条不同的直线,若a∥b∥c,a α,b,c β,则α与β的位置关系是 .
11.用符号语言表述平面与平面平行的判定定理为 .
12.如图是某正方体的展开图.关于这个正方体,有以下判断:
①BM∥平面ADE;②CN∥AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
其中所有正确判断的序号是 .
三、解答题
13.在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.已知G,H,I分别是EC,FB和FC的中点,求证:平面GHI∥平面ABC.
14.如图,在三棱柱BCF-ADE中,G,H分别是AC,DF的中点.
(1)求证:GH∥BF.
(2)在棱CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF 若存在,指出P的具体位置并证明;若不存在,说明理由.
15.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AB,AA1,DD1的中点,P为侧面BCC1B1内(包括边界)一动点,且D1P∥平面EFG,则点P的轨迹长度为 .
16.[2024·湖南邵阳高一期中] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为面对角线BD,CD1上的点,且==.
(1)求证:PQ∥平面A1D1DA.
(2)若R是AB上的点,当的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA 请给出证明.
