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8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第2课时 平面与平面平行的性质
探究点一 面面平行的性质定理的应用
探究点二 平行关系的综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的性质
定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面 ______，如果另 一个平面与这两 个平面相交,那 么两条交线 ______ _________________________________________________ _____________________________
平行
平行
线线平行
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）如果两个平面均平行于第三个平面，那么这两个平面平行.( )
√
（2）若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线相互平行.
( )
×
[解析] 因为两个平面平行，所以分别在两个平面内的两条直线无公
共点，它们平行或异面.
（3）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平
面.( )
√
2.若夹在两个平面间的三条线段平行且相等，试判断这两个平面的位
置关系.
解：如图所示，两种情况均满足 且
，故这两个平面的位置关系为平行或相交.
探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 如图，直四棱柱 被
平面 所截，截面为，其中在
上，在上，且 ，证明：
.
解：在直四棱柱 中，平面
平面 ，
又平面 平面，平面
平面，所以 .
又且， ，
所以且 ，
则四边形 是平行四边形，
所以，即 ，
又，，所以 .
变式 已知平面平面 ，是 ， 外一点，过点的直线 与
， 分别交于点，，过点的直线与 ， 分别交于点， ，
且，，，求 的长.
解：连接，，， 直线和 可确定一个平
面 ，则，.
又 ，.
当点 位于平面 ， 同侧时，如图①，
则，， ，
.
当点位于平面 ， 之间时，如图②，
则 ，，，.
故或 .
［素养小结］
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
探究点二 平行关系的综合应用
例2 如图，在正方体中，是的中点， ，
，分别是，， 的中点.
（1）求证：直线平面 ；
证明：如图，连接，由为 的
中位线，可得 ，
又 平面 ，
平面 ，
所以平面 .
（2）求证：平面平面 ；
证明：由题意知，又 平面
， 平面，所以 平
面.
由（1）可得平面 ，
又， 平面， 平面，
所以平面平面 .
（3）若正方体的棱长为1，过，， 三点作正方体的截面，画出
截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
解：如图，取的中点，连接 ，，,
可得，.
取 的中点，连接，， ,可得
，，所以 ，
，所以四边形 为平行四边形.
易知平行四边形为过点，， 的截面，
且 ，
所以平行四边形为菱形.
连接,，易得, ，
所以截面的面积为 .
变式 [2024·三明一中高一期中] 如图，已知四棱锥 中，
底面是平行四边形，为侧棱 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：如图，连接,设 ，连接
，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
又为侧棱的中点，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）若为棱的中点，求证：平面 ；
证明： 连接，因为为棱 的中点， ，
所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
由（1）知，又 平面，
平面，所以平面 .
又，, 平面 ，
所以平面平面 .
又 平面，所以平面 .
（3）设平面 平面 ，求证：
.
证明： 因为， 平面，
平面 ，
所以平面 .
又平面 平面， 平面 ，
所以 .
［素养小结］
（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，
这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的.
（2）解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
拓展 如图，在正方体中，，分别是棱 和棱
的中点.
（1）求证：平面平面 .
证明：连接，如图.，分别是棱 和棱
的中点，，且，
四边形为平行四边形，则.
又 平面， 平面，平面
，且，
四边形 为平行四边形，则，
又 平面, 平面 ，平面 .
， 平面， 平面 ，
平面平面 .
（2）试问平面 截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.
解：方法一：如图，取的中点 ，连接
，，可得且 ，
由（1）知，且，
则 且，
可得四边形 为平行四边形，
易知四边形为平面 截正方体所得的图形.
又， 四边形 为菱形，
即平面 截正方体所得的截面是菱形.
平面平面 ，平面
平面，平面
平面， ，
同理有，
四边形 为平行四边形,
又易得， 四边形 为菱形，
即平面 截正方体所得的截面是菱形.
（1）平面与平面平行的性质定理解读：平面与平面平行的性质定理
可简述为“若面面平行,则线线平行”.
（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
（3）经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行.
（4）若两个平面平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.
利用面面平行的性质定理解题的一般步骤:①先找两个平面,使这两个
平面分别经过这两条直线中的一条;②判定这两个平面平行
（此条件有时题目会直接给出）;③再找一个平面,使这两条直线都在
这个平面上;④由定理得出结论.
例1 如图，在棱长为的正方体中，， 分别是
， 的中点.
（1）若平面与直线交于点，求 的值；
解：如图所示，连接, .
因为平面平面 ，且平面
平面，平面
平面 ，
所以 ，
根据等角定理可知，，则 ，
又，， ，
所以，即，则 ，所以 .
（2）设为棱上一点且，若平面，求 的值.
解：取的中点，则为 的中点，连
接，，则 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
又平面，, 平面 且
，
所以平面平面 ，
设 平面，连接, ，
因为平面平面，平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以，又 ，所以四边形
为平行四边形，
同理四边形 也是平行四边形，
所以 ，
所以 .
例2 如图，已知四棱锥中，底面 为平行四边形，点
,,分别在,, 上.
（1）若 ，求证：
平面平面 .
证明：， ，
四边形为平行四边形， ，
，
平面， 平面，平面 .
， ，
平面， 平面，平面 .
，, 平面， 平面平面 .
（2）若点满足，则点满足什么条件时， 平面
？并证明你的结论.
解：当为的中点时，平面 ，
证明如下：设，取的中点 ，
连接,, ，如图所示.
四边形为平行四边形，为 的中点，
为的中点，，为
的中点， ，
平面， 平面，平面 .
,分别为,的中点， ，
平面， 平面，
平面 ，
，, 平面，
平面平面 ，
平面，平面 .
练习册
一、选择题
1.已知 ， ，那么与 的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.在 内 D.垂直
[解析] 平面与平面平行，则两个平面没有公共点，所以在一个平面
内的直线和另一个平面没有公共点，所以这条直线与另一个平面平
行.故选A.
√
2.已知 ， 是两个不同的平面，， 是两条不同的直线，则下列
说法错误的是( )
A.“经过两条平行直线，有且只有一个平面”不是空间图形的基本事
实之一
B.“若 ， ，则 ”是平面与平面平行的性质定理
C.“若， ， ，则 ”是直线与平面平行的判定
定理
D.若 ， ，， ，则
√
[解析] “经过两条平行直线，有且只有一个平面”是根据基本事实1与
基本事实2，结合“两点确定一条直线”得到的三个推论之一，故A中
说法正确；
平面与平面平行的性质定理为“两个平面平行，如果另一个平面与这
两个平面相交，那么两条交线平行”，故B中说法错误；
由直线与平面平行的判定定理可知C中说法正确；
若 ， ，则 或 ，当 时，由，
，结合直线与平面平行的判定定理得 ，当 时，
设过的平面 与平面 相交于，则，又， ，
所以，又 ，所以 ，故D中说法正确.故选B.
3.给出下列说法：
①若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另外一个
平面相交；
②若一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，则必平行于另一
个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
[解析] 易知①②③正确，故选C.
√
4.[2024·温州中学高一期中]设 , , 是三个不同的平面，且
，，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当，，时， , 可能相交，故“
”推不出“ ”.
由，， 及平面与平面平行的性质定理知，
故“ ”能推出“”.故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
5.已知，是两条不同的直线， , 是两个不同的平面， ,
，下列结论中正确的是( )
A.若，则 B.若 ，则
C.若与不相交，则 D.若 ，则与 不相交
[解析] 若，则 , 可能平行,也可能相交，故A不正确；
若 ，则,可能平行，也可能异面，故B不正确；
若与 不相交，则 , 可能平行，也可能相交，故C不正确；
若 ，则, 可能平行，也可能异面，故与 不相交，故D正确.
故选D.
√
6.在如图所示的三棱柱中，过
的平面与底面交于直线，其中， 分别为
棱，上的点，则与 的位置关系是
( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
[解析] 在三棱柱中，，平面 平
面，平面 平面，平面 平面
，， ．
√
7.如图，在多面体中，平面平面 ,
，, ，则( )
A.平面 B.平面
C. D.平面平面
√
[解析] 如图所示，取的中点，连接 ，，
,，， 四边形
是平行四边形， 且
平面平面 ，平面 平面
，平面 平面 ，，
.又，， 四边形是平行四边形，
平面， 平面，平面，
故A正确.
无法判断点C的位置， 不一定平行于平面 ， 不一定平
行于 ,故B,C错误.
易知平面与平面 相交，故D错误.故选A.
8.已知四棱柱 的底面是平行四边形，过此四棱柱的
任意两条棱的中点作直线，其中与平面 平行的直线共有
( )
A.4条 B.6条 C.10条 D.12条
√
[解析] 如图，设,,,的中点分别为 , ,,，连接,
,,,,，易知,,, 四点共面.
因为，分别为， 的中点，所以.
又 平面， 平面，
所以平面.同理 平面.
因为，所以平面平面 ，所以在平面
内，符合题意的直线有,,,,, ，共6条.
同理，在平面 的另一侧也有6条符合题意的直线，故共有12条
符合题意的直线.故选D.
9.在长方体中，为棱上的点.当平面
平面时，点 ( )
A.与点重合 B.与点 重合
C.为棱的中点 D.为棱靠近点 的三等分点
[解析] 连接，，设， ，连接
，，
平面平面，平面 平面，
平面 平面， .
易知四边形为平行四边形，， 点 与点D重合.
√
二、填空题
10.已知 ， ， 是三个不重合的平面，， 是两条不同的直线.
若，，且 ，则与 的位置关系是______.
平行
[解析] 由平面与平面平行的性质定理可得 .
11.如图所示，平面平面 ，，
分别在 ， 内，线段,,交于点， 在
平面 和平面 之间，若, ,
,，则 的面积
为_ ___.
[解析] 因为,相交于点，所以, 确定
的平面与平面 ，平面 的交线分别为, ，
则，故 ，
同理可得，， ，
,所以 ，且 ，
又 ，
所以 .
12.如图所示，正方体的棱长为，， 分别是棱
，的中点，是棱上一点，，过点，， 的平
面交上底面于，点在上，则 _ _____.
[解析] 连接， 平面 平面
，平面 平面 ，
平面 平面 ，
，分别是， 的中点，
，.
又 ，正方体的棱长为，，
从而 ， .
三、解答题
13.如图，四棱锥的底面是正方形，点在棱 上，
且，为棱的中点，求证：平面 .
证明：取的中点，连接, .
因为，所以为的中点.
连接，交 于点，连接.
因为四边形是正方形，所以 为的中点.
又为的中点，所以 .
因为 平面， 平面，所以 平面.
因为,分别为,的中点，所以，
又 平面， 平面，所以平面.
因为, 平面， 平面,所以平面
平面，又 平面，所以平面 .
14.由四棱柱截去三棱锥 后得到的几何
体如图所示，四边形为平行四边形，为与 的交点.
（1）求证：平面 ；
证明：取的中点，连接, ，如图.
几何体是四棱柱， ，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面, 平面 ，
平面 .
（2）求证：平面平面 ；
证明： ，
四边形 是平行四边形，
，
平面, 平面，
平面 .
由（1）得平面，又，， 平面
， 平面平面 .
（3）设平面与底面的交线为，求证： .
证明： 平面平面，平面 平面
，平面 平面， .
15.如图，正方体 的棱长
为2，点是棱的中点，过点 作平面
，使得平面平面，则平面 与
正方形 的交线的长度为____.
[解析] 取的中点，连接,, ，
如图所示.
因为, 平面 ,
平面，所以 平面.
因为, 平面 , 平面，所以平面 ，
又因为, 平面 ，，
所以平面平面，故平面 即为平面 ，
故平面 与正方形的交线为，且 .
16.[2024·天津北辰区高一期中] 如图，在四棱锥 中，底面
是菱形，为的中点，为 的中点.
（1）求证：直线平面 ；
证明：取的中点，连接， ，如图.
因为，分别为， 的中点，
所以 .
因为底面是菱形，所以，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为，分别为，的中点，所以，
又 平面， 平面，所以平面 ，
又，, 平面 ，
所以平面平面 ，
又 平面，所以平面 .
（2）过点，，的平面与棱交于点 ，
求证：是 的中点.
证明： 因为过点，，的平面与棱交于点，所以，，，
共面.
连接，， .
因为， 平面， 平面 ，
所以平面，
又平面 平面， 平面，
所以，所以 ，所以是 的中点.第2课时 平面与平面平行的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面 ,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 a∥b 面面平行
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个平面均平行于第三个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)若两个平面平行,则分别在两个平面内的两条直线相互平行. ( )
(3)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ( )
2.若夹在两个平面间的三条线段平行且相等,试判断这两个平面的位置关系.
◆ 探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面为CDEF,其中E在A1D1上,F在B1C1上,且EF=DC,证明:AD∥BC.
变式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过点P的直线n与α,β分别交于点C,D,且PA=6,AB=9,PD=8,求CD的长.
[素养小结]
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
◆ 探究点二 平行关系的综合应用
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.
(1)求证:直线EG∥平面BDD1B1;
(2)求证:平面EFG∥平面BDD1B1;
(3)若正方体的棱长为1,过A,E,C1三点作正方体的截面,画出截面与正方体的交线,并求出截面的面积.
变式 [2024·三明一中高一期中] 如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为侧棱SC的中点.
(1)求证:SA∥平面EDB;
(2)若F为棱AB的中点,求证:EF∥平面SAD;
(3)设平面SAB∩平面SCD=l,求证:AB∥l.
[素养小结]
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系,并且可以相互转化的.
(2)解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
拓展 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1和棱CC1的中点.
(1)求证:平面B1DF∥平面ACE.
(2)试问平面B1DF截正方体所得的截面是什么图形 并说明理由.第2课时 平面与平面平行的性质
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)因为两个平面平行,所以分别在两个平面内的两条直线无公共点,它们平行或异面.
2.解:如图所示,两种情况均满足AA1=BB1=CC1且AA1∥BB1∥CC1,故这两个平面的位置关系为平行或相交.
【课中探究】
探究点一
例1 解:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
又平面ABCD∩平面α=CD,平面A1B1C1D1∩平面α=EF,所以EF∥CD.
又C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD,
所以C1D1∥EF且C1D1=EF,
则四边形EFC1D1是平行四边形,
所以D1E∥C1F,即A1D1∥B1C1,
又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC.
变式 解:连接AC,BD,∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD可确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.当点P位于平面α,β同侧时,如图①,则PB=15,=,∴=,∴CD=.当点P位于平面α,β之间时,如图②,则PB=3,=,∴=,∴CD=24.故CD=或CD=24.
探究点二
例2 解:(1)证明:如图,连接SB,由EG为△CSB的中位线,可得EG∥SB,
又EG 平面BDD1B1,
SB 平面BDD1B1,
所以EG∥平面BDD1B1.
(2)证明:由题意知EF∥DB,又EF 平面BDD1B1,DB 平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.由(1)可得EG∥平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF 平面EFG,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)如图,取B1C1的中点N,连接A1N,NE,AE,可得AE∥A1N,AE=A1N.取A1D1的中点M,连接MC1,AM,C1E,可得MC1=A1N,MC1∥A1N,所以MC1∥AE,MC1=AE,所以四边形AEC1M为平行四边形.易知平行四边形AEC1M为过点A,E,C1的截面,且AE=EC1=AM=MC1==,所以平行四边形AEC1M为菱形.连接AC1,ME,易得AC1=,ME=,所以截面的面积为×AC1×ME=××=.
变式 证明:(1)如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC,
又E为侧棱SC的中点,所以SA∥EO.
又SA 平面EDB,EO 平面EDB,所以SA∥平面EDB.
(2)连接FO,因为F为棱AB的中点,DO=BO,
所以AD∥FO,
又FO 平面SAD,AD 平面SAD,所以FO∥平面SAD.
由(1)知SA∥EO,又EO 平面SAD,SA 平面SAD,所以EO∥平面SAD.
又EO∩FO=O,EO,FO 平面EOF,
所以平面EOF∥平面SAD.
又EF 平面EOF,所以EF∥平面SAD.
(3)因为AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,
所以AB∥平面SCD.
又平面SAB∩平面SCD=l,AB 平面SAB,所以AB∥l.
拓展 解:(1)证明:连接EF,如图.∵E,F分别是棱BB1和棱CC1的中点,∴EF∥BC∥AD,且EF=BC=AD,∴四边形AEFD为平行四边形,则AE∥DF.又AE 平面ACE,DF 平面ACE,∴DF∥平面ACE.∵B1E∥CF,且B1E=CF,∴四边形B1ECF为平行四边形,
则CE∥B1F,又B1F 平面ACE,EC 平面ACE,
∴ B1F∥平面ACE.
∵DF∩B1F=F,DF 平面B1DF,B1F 平面B1DF,
∴平面B1DF∥平面ACE.
(2)方法一:如图,取AA1 的中点G,连接DG,B1G,可得B1G∥AE且B1G=AE,由(1)知,DF∥AE且DF=AE,则B1G∥DF且B1G=DF,可得四边形DGB1F为平行四边形,易知四边形DGB1F为平面B1DF截正方体所得的图形.又B1G=B1F,∴四边形DGB1F为菱形,即平面B1DF截正方体所得的截面是菱形.
方法二:如图,设平面B1DF与棱AA1交于点G,连接DG,B1G,
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面B1DF=DG,平面BCC1B1∩平面B1DF=B1F,∴DG∥B1F,同理有DF∥B1G,∴四边形DGB1F为平行四边形,
又易得B1F=DF,∴四边形DGB1F为菱形,即平面B1DF截正方体所得的截面是菱形.第2课时 平面与平面平行的性质
1.A [解析] 平面与平面平行,则两个平面没有公共点,所以在一个平面内的直线和另一个平面没有公共点,所以这条直线与另一个平面平行.故选A.
2.B [解析] “经过两条平行直线,有且只有一个平面”是根据基本事实1与基本事实2,结合“两点确定一条直线”得到的三个推论之一,故A中说法正确;平面与平面平行的性质定理为“两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行”,故B中说法错误;由直线与平面平行的判定定理可知C中说法正确;若α∥β,m∥α,则m β或m∥β,当m β时,由m∥n,n β,结合直线与平面平行的判定定理得n∥β,当m∥β时,设过m的平面γ与平面β相交于a,则m∥a,又m∥n,n β,所以n∥a,又a β,所以n∥β,故D中说法正确.故选B.
3.C [解析] 易知①②③正确,故选C.
4.B [解析] 当α∩γ=l,β∩γ=m,l∥m时,α,β可能相交,故“l∥m”推不出“α∥β”.由α∩γ=l,β∩γ=m,α∥β及平面与平面平行的性质定理知l∥m,故“α∥β”能推出“l∥m”.故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
5.D [解析] 若m∥n,则α,β可能平行,也可能相交,故A不正确;若α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故B不正确;若m与n不相交,则α,β可能平行,也可能相交,故C不正确;若α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故m与n不相交,故D正确.故选D.
6.B [解析] ∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面A1B1C1∥平面ABC,平面ABC∩平面A1B1ED=DE,平面A1B1C1∩平面A1B1ED=A1B1,∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.
7.A [解析] 如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,∵EF∥DG,EF=DG,∴EF DM,∴四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.∵BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,∴BF∥平面ACGD,故A正确.∵无法判断点C的位置,∴CF不一定平行于平面ABED,BC不一定平行于FG,故B,C错误.易知平面ABED与平面CGF相交,故D错误.故选A.
8.D [解析] 如图,设AD,AB,A1B1,A1D1的中点分别为E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,EG,FH,易知E,F,G,H四点共面.因为H,G分别为A1D1,A1B1的中点,所以HG∥B1D1.又HG 平面DBB1D1,B1D1 平面DBB1D1,所以HG∥平面DBB1D1.同理EH∥平面DBB1D1.因为HG∩EH=H,所以平面EFGH∥平面DBB1D1,所以在平面EFGH内,符合题意的直线有EF,FG,GH,HE,EG,FH,共6条.同理,在平面DBB1D1的另一侧也有6条符合题意的直线,故共有12条符合题意的直线.故选D.
9.A [解析] 连接B1D1,BD,设B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,连接ME,MD,B1O.∵平面AB1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B1O,平面 A1EC1∩平面BDD1B1=ME,∴B1O∥ME.易知四边形B1MDO为平行四边形,∴B1O∥MD,∴点E与点D重合.
10.平行 [解析] 由平面与平面平行的性质定理可得a∥b.
11. [解析] 因为AA',BB'相交于点O,所以AA',BB'确定的平面与平面α,平面β的交线分别为AB,A'B',则AB∥A'B',故===,同理可得AC∥A'C',==,BC∥B'C',==,所以△ABC∽△A'B'C',且=,又S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×2×2×=,所以S△A'B'C'=.
12.a [解析] 连接AC,A1C1.∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面PMNQ∩平面A1B1C1D1=MN,平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,∴MN∥PQ.∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC.又AP=,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,∴CQ=,从而DP=DQ=,∴PQ===a.
13.证明:取PF的中点M,连接ME,MC.因为PF=2FA,所以F为MA的中点.连接AC,交BD于点O,连接OF.因为四边形ABCD是正方形,所以O为AC的中点.又F为MA的中点,所以OF∥MC.因为OF 平面BDF,MC 平面BDF,所以MC∥平面BDF.因为M,E分别为PF,PD的中点,所以ME∥FD,又ME 平面BDF,FD 平面BDF,所以ME∥平面BDF.因为MC∩ME=M,MC 平面MCE,ME 平面MCE,所以平面BDF∥平面MCE,又CE 平面MCE,所以CE∥平面BDF.
14.证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,如图.
∵几何体ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,∴A1O1 OC,
∴四边形A1OCO1为平行四边形,
∴A1O∥O1C,又O1C 平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,
∴A1O∥平面B1CD1.
(2)∵BB1 DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴BD∥B1D1,∵BD 平面B1CD1,B1D1 平面B1CD1,∴BD∥平面B1CD1.
由(1)得A1O∥平面B1CD1,又BD∩A1O=O,BD,A1O 平面A1BD,∴平面A1BD∥平面B1CD1.
(3)∵平面A1B1D1∥平面ABCD,平面B1CD1∩平面A1B1D1=B1D1,平面B1CD1∩平面ABCD=l,∴B1D1∥l.
15. [解析] 取BB1的中点P,连接CP,PD1,CD1,如图所示.因为CD1∥A1B,CD1 平面A1BE,A1B 平面A1BE,所以CD1∥平面A1BE.因为CP∥A1E,CP 平面A1BE,A1E 平面A1BE,所以CP∥平面A1BE,又因为CP,CD1 平面CPD1,CP∩CD1=C,所以平面CPD1∥平面A1BE,故平面α即为平面CPD1,故平面α与正方形B1BCC1的交线为CP,且CP==.
16.证明:(1)取OB的中点E,连接EM,EN,如图.
因为M,E分别为OA,OB的中点,
所以EM∥AB.
因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD,所以EM∥CD,
又EM 平面OCD,CD 平面OCD,
所以EM∥平面OCD.
因为E,N分别为OB,BC的中点,所以EN∥OC,又EN 平面OCD,OC 平面OCD,所以EN∥平面OCD,
又EM∩EN=E,EM,EN 平面EMN,
所以平面EMN∥平面OCD,
又MN 平面EMN,所以MN∥平面OCD.
(2)因为过点C,D,M的平面与棱OB交于点Q,所以C,D,M,Q共面.连接CQ,MQ,MD.
因为CD∥AB,AB 平面OAB,CD 平面OAB,所以CD∥平面OAB,又平面CDMQ∩平面OAB=MQ,CD 平面CDMQ,所以CD∥MQ,所以AB∥MQ,
所以Q是OB的中点.第2课时 平面与平面平行的性质
一、选择题
1.已知α∥β,a α,那么a与β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.a在β内 D.垂直
2.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法错误的是 ( )
A.“经过两条平行直线,有且只有一个平面”不是空间图形的基本事实之一
B.“若α∥β,m α,则m∥β”是平面与平面平行的性质定理
C.“若m∥n,m α,n α,则m∥α”是直线与平面平行的判定定理
D.若α∥β,m∥α,m∥n,n β,则n∥β
3.给出下列说法:
①若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另外一个平面相交;
②若一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,则必平行于另一个平面;
③夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
其中正确说法的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.0
4.[2024·温州中学高一期中] 设α,β,γ是三个不同的平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则“l∥m”是“α∥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,m α,n β,下列结论中正确的是 ( )
A.若m∥n,则α∥β
B.若α∥β,则m∥n
C.若m与n不相交,则α∥β
D.若α∥β,则m与n不相交
6.在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与底面ABC交于直线DE,其中D,E分别为棱AC,BC上的点,则DE与AB的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
7.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,AB=DE,DG=2EF,则 ( )
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
8.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,过此四棱柱的任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A.4条 B.6条
C.10条 D.12条
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时,点E ( )
A.与点D重合
B.与点D1重合
C.为棱DD1的中点
D.为棱DD1靠近点D的三等分点
二、填空题
10.已知α,β,γ是三个不重合的平面,a,b是两条不同的直线.若α∩β=a,β∩γ=b,且α∥γ,则a与b的位置关系是 .
11.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'交于点O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为 .
12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ= .
三、解答题
13.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,点F在棱PA上,且PF=2FA,E为棱PD的中点,求证:CE∥平面BDF.
14.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点.
(1)求证:A1O∥平面B1CD1;
(2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1;
(3)设平面B1CD1与底面ABCD的交线为l,求证:B1D1∥l.
15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是棱DD1的中点,过点D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,则平面α与正方形B1BCC1的交线的长度为 .
16.[2024·天津北辰区高一期中] 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是菱形,M为OA的中点,N为BC的中点.
(1)求证:直线MN∥平面OCD;
(2)过点C,D,M的平面与棱OB交于点Q,求证:Q是OB的中点.
