4.2 实际问题的函数建模 学案2（含答案）

4.2
实际问题的函数建模
学案
[读教材·填要点]
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
(1)数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k＞0)．
②反比例函数模型：y＝(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a＞1，m＞0)．
⑤幂函数模型，即y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a＞0)．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
(2)过程：如下图所示．
[小问题·大思维]
1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．试规定f(0)的值，并解释f(0)的实际意义．
提示：f(0)＝1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样．
2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立
恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？
提示：对数型函数．
3．今有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四个函数中的哪个？
①u＝log2t；②u＝2t－2；③u＝；④u＝2t－2.
提示：③可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示，
由散点图可知，图像不是直线，排除④项；图像不符合对数函数的图像特征，排除①项；
当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，＝＝4，
由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝能较好地体现这些数据关系．
[研一题]
[例1]　某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
第t天
5
15
20
30
Q件
35
25
20
10
(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．
[自主解答]　(1)由已知可得：
P＝
(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N＋)．
(3)由题意
y＝
＝
当0＜t＜25，t＝10时，ymax＝900，
当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1
125，
故当t＝25时，日销售金额最大且最大值为1
125元．
[悟一法]
在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
[通一类]
1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
解：(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1，1)和(6，2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4(－x＋)．
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；
(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像对称轴为x＝－＝2，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2，即第二年规模最大，为31.2万只.
[研一题]
[例2]　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[自主解答]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，可得0＝5log2，解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位；
(2)将耗氧量Q＝80代入所给公式，得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
[悟一法]
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
(1)解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
(2)解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
[通一类]
2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？
解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元，
当18即在商品提价时，当x＝20时，每日利润y最大，最大利润是500元．
当10＝－10(x－17)2＋490，
即在商品降价时，当x＝17时，每日利润y最大，最大利润是
490元．
∵500>490，∴此商品的售价应定为每个20元.
[研一题]
[例3]　18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4(　　)
5(木星)
6(土星)
7(　　)
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
[自主解答]　由数值对应表作散点图如图．
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c.
代入(1，0.7)，(2，1.0)，(3，1.6)得：
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
得解得∴f(x)＝·2x＋.
∵f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，
∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．
[悟一法]
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[通一类]
3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解：(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30，60)、(40，30)、(45，15)、(50，0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴
∴y＝－3x＋150(x∈N)，
经检验点(30，60)、(40，30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N)；
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
某林区2012年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[错解]　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%×2)；
经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%·x)．
所以y＝f(x)＝200(1＋5%·x)(x∈N＋)；
(2)函数图像如图所示．
设x年后木材蓄积量为300万立方米．
则200·(1＋5%x)＝300，
所以x·5%＝－1，
x＝＝×＝10.
所以，经过10年，木材蓄积量达到300万立方米．
[错因]　第x年的木材蓄积量不是200(1＋5%·x)，而是200(1＋5%)x，是指数型函数关系，而不是倍数关系．
[正解]　(1)现有木材蓄积量为200万立方米．
经过1年后木材蓄积量为
200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为
200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2；
所以经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)；
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像，
如图所示：
x
0
1
2
3
…
y
200
210
220.5
231.5
…
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
因为8＜x0＜9，则取x0＝9，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是(　　)
A．分段函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
解析：根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．
答案：A
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.95·m　　　　　
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
解析：根据已知得：y＝m(1－5%).
答案：A
3.(2012·江西高考)如右图，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y＝S(t)的图像大致是(　　)
解析：由余弦定理知，cos
∠AOB＝＝，求得AB＝.由已知可知：当t≤1时，所围成的图形为与三角形ABO相似的三角形，S(t)＝t·2tsin
＝t2，对应的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在t0，使得当1t0时，甲乙两质点停止运动，S(t)的值恒定不变，对应图像为平行于x轴的直线．
答案：A
4.如图表示某人的体重与年龄的关系：
①体重随年龄的增长而增加；
②25岁之后体重不变；
③体重增加最快的是15岁至25岁；
④体重增加最快的是15岁之前．
上述判断正确的是________(填序号)．
解析：由图像易知①在50岁之后体重在减轻；
②25岁之后体重变化不大，但也有改变；
在0至15间的线段斜率明显大于在15至25间的线段斜率，故体重增加最快的是15岁之前，④正确．
答案：④
5．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)(a为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．
解析：由题意知，x＝1时，y＝100，即alog22＝100，
∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，
∴当x＝7时，y＝100×log28＝300.
答案：300
6．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解：(1)对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，
每个售价为80－2x元
则y1与x之间的函数关系式为：
y1＝
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，
每个售价为80×75%＝60元，
则y2与x之间的函数关系式为：
y2＝60x(x≥0，x∈N＋)；
(2)y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x≥0
0≤x≤10.
答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．
一、选择题
1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于(　　)
A．4元　　　　　　　　　　
B．16元
C．85元
D．不确定
解析：当x＝4时，y＝34＋4＝85.
答案：C
2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图像中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为(　　)
解析：由题中所述，只有C符合题意．
答案：C
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b
D．y＝a＋
解析：在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为y＝a＋bx.
答案：B
4．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是(　　)
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝
C．x＝
D．x＝
解析：根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．
答案：D
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________．
解析：日销售额S＝f(t)g(t)＝(2t＋100)(t＋4)．
答案：(2t＋100)(t＋4)
6．一个高中研究性学习小组对本地区2010年至2012年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．
解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为：
30＋45×1.5＋90×2＝277.5，
∴平均每年销售盒饭92.5万盒．
答案：92.5
7．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10
m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6
m时，球到达最高点，此时球高3
m，已知球门高2.44
m，________踢进球门(填“能”“否”)．
解析：建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0，0)，顶点为(6，3)．
设拋物线解析式为y＝a(x－6)2＋3，
把x＝0，y＝0代入得a＝－，
∴y＝－(x－6)2＋3.
当x＝10时，y＝－(10－6)2＋3＝＜2.44.
∴球能射进球门．
答案：能
8．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．
解析：总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000
＝－(Q－300)2＋2
500，
故当Q＝300时，总利润最大值为2
500万元．
答案：2
500万元
三、解答题
9．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2012年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，
则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200 x≤50，
∴x的取值范围为0＜x≤50，且x∈N；
(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0＜x≤50，且x∈N，
∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．
10．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公倾)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25
cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解：(1)描点作图如下：
(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系；
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，
即当积雪深度为25
cm时，可以灌溉土地47.4公倾．