4.2 实际问题的函数建模 学案3（含答案）

4.2实际问题的函数建模
学案
学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
学习难点：将实际问题转变为数学模型.
知识点一
常见的函数模型
自学导引
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？
问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？
提示：指数函数模型．
问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？
提示：二次函数模型．
问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M，使用的是什么样的函数模型？
提示：对数函数模型．
新知自解
常用到的函数模型：
(1)正比例函数模型：y＝kx(k≠0)；
(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)；
(3)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；
(4)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(5)指数函数模型：y＝m·ax＋b(a>0，且a≠1，m≠0)；
(6)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0，且a≠1)；
(7)幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0).
知识点二
函数建模
自学导引
某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算．
问题1：按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
提示：100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
问题2：按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
提示：100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
问题3：该公司应该选择哪种方式投资？
提示：第二种．按复利投资．
新知自解
用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．
1．函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决．
2．解函数应用题的步骤
把握热点考向
高频考点题组化
考点一
一次、二次、分段函数模型
[例1]　某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条拆线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示．
(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)；
写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102
kg，时间单位：天)
[思路点拨]　本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．
[精解详析]　(1)f(t)＝
设g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)，
将t＝50，Q＝150代入得a＝.
∴g(t)＝(t－150)2＋100(0≤t≤300)．
(2)设纯收益为y元，当0≤t≤200时，
y＝f(t)－g(t)
＝(－t＋300)－[(t－150)2＋100]
＝－t2＋t＋
＝－(t－50)2＋100.
当t＝50时，y取到最大值，且最大值为100.
当200y＝f(t)－g(t)＝(2t－300)－[(t－150)2＋100]＝－t2＋t－＝－(t－350)2＋100.
当t＝300时取到最大，最大值为87.5.
故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．
[一点通]　处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．
题组集训
1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差)；
(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
解：(1)由题意，销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为：y＝(x－42)(－3x＋204)，
即y＝－3x2＋330x－8
568；
(2)配方，得y＝－3(x－55)2＋507.
∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．
2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由．
解：(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4(－x＋)．
故第二年甲鱼池的个数为26个，平均生产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；
(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；
(3)设第x年规模最大，
即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像对称轴为
x＝－＝2，因为x∈N＋，
∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2，即第二年规模最大，为31.2万只.
考点二
指数（对数）函数模型
[例2]　截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，
我国人口为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
[思路点拨]　先根据增长率的意义列出y与x的函数关系式．
[精解详析]　(1)1999年底人口数：13亿．
经过1年，2000年底人口数：
13＋13×1%＝13×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2001年底人口数：
13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%
＝13×(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2002年底人口数：
13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%
＝13×(1＋1%)3(亿)．
……
∴经过年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数：13×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间．
∴x∈N＋是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13×(1＋%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
[一点通]　
1．指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫作指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为指数爆炸．
2．对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．
注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型．
(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y＝a(1＋p%)x(或y＝a(1－p%)x)．
题组集训
3．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg
A－lg
A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1
000
km的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解：(1)M＝lg＝lg＝4，即这次地震的震级为4级．
(2)lg＝3，＝1
000，即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1
000倍．
4．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
可得0＝5log2，
解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位；
(2)将耗氧量Q＝80代入所给公式，得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
考点三
建立模拟函数解应用题
[例3]　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)
[思路点拨]　先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．
[精解详析]　设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示．
观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；
一次函数的解析式为y＝bx.
把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，
得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示．
把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．
令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得
W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，
其中xA＋xB＝12.
则W＝－0.15(xA－)2＋0.15·()2＋2.6(0≤xA≤12)．
则当xA＝≈3.2万元时，W取得最大值，
0．15·()2＋2.6≈4.1万元，此时xB＝≈8.8万元．
即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．
[一点通]　
此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：
(1)作图：根据已知数据作出散点图；
(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；
(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；
(4)利用所求得的函数模型解决问题．
题组集训
5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4(　　)
5(木星)
6(土星)
7(　　)
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
解：由数值对应表作散点图如图．
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c.
代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得：
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
得解得
∴f(x)＝·2x＋.∵f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，
∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．
6．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解：(1)根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线为：y＝kx＋b，
∴ ∴y＝－3x＋150(x∈N)．
经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，
故所求函数关系式为
y＝－3x＋150(x∈N)；
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合．根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证．
2．解函数应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
3．函数拟合问题
对于此类实际应用问题，首先是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．