1.2矩形的性质与判定 同步练习（含解析） 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册
1.2矩形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1.直角三角形中，两直角边分别是和，则斜边上的中线长是．
A. B. C. D.
2.下列命题中，假命题的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的四个角都是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 四条边相等的四边形是菱形
3.如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湿地隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
5. 已知矩形中，对角线、相交于， 于，若：：，则为( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，点，于点，连接，给出下列结论：
；
四边形的周长为；
一定是等腰三角形；
；
的最小值为；其中正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.如图，在矩形中，，，点是直线上的点，点是坐标平面内，若四边形是平行四边形，则当取最小值时，点的坐标是______．
9.加图，在中．，，平分交于，于下列论：；点在线段的垂直平分线上：；；，其中正确的有______填结论正确的序号．
10.如图。四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为
11.如图，在矩形中，对角线、的交点为，矩形的长、宽分别为、，过点分别交、于、，那么图中阴影部分面积为______．
12.如图，点为矩形的边上一点，，，将沿翻折得到，使点落在矩形内部，连接若平分，则的长为______．
13.顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 形．
14.如图，在中，，，，点为边上的点，过作交于，交于，连接，则的最小值为______．
15.如图，在矩形中，，，为边的中点，若、为边上的两个动点，且，四边形的周长最小值为______．
三、解答题
16.如图，矩形中，，，的面积是，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，求的长．
17.如图，四边形为平行四边形，且，．
求证：四边形是矩形；
若，，是上一点，且，求的长．
18.如图， 的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
求证：≌；
若，求证：四边形是矩形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
2.【答案】
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题；
B.矩形的四个角都是直角，正确，是真命题；
C.对角线相等的四边形有等腰梯形、矩形等，故原命题错误，是假命题；
D.四条边相等的四边形是菱形，正确，是真命题；
故选：．
分别根据平行四边形的性质、矩形的性质、矩形的判定方法以及菱形的判定方法解答即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和、平行四边形的判定与性质、矩形的判断与性质及菱形的判定．
3.【答案】
【解析】解：矩形纸片沿折叠，得到，
，，，
，
，，
，
故选：．
根据矩形的性质计算即可．
本题考查了矩形的性质，折叠性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，是的中点，
，
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，过点作于，并延长，交于点，
四边形是矩形，，
，，，，
，
四边形是矩形，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，进而利用矩形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，
正方形的边长为，是对角线上一点，
，，，
又，，
，
，
，，即和均为等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
故正确；
由知：，且四边形为矩形，
四边形的周长，
故正确；
，当时，是等腰三角形，
故错误；
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
故正确；
由得：，
当最小时，最小，
当时，垂线段最短，即时，的最小值等于；
故正确；
综上，正确．
故选：．
先证是等腰直角三角形，则，再证四边形是矩形，从而可得，即可判断；
根据知四边形为矩形、是等腰直角三角形，则四边形的周长，即可判断；
，当时，是等腰三角形，即可判断；
证明≌，则，根据矩形对角线相等得，即可判断；
当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，即可判断．
本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；充分利用正方形的性质证明三角形全等可得相关验证．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，，得出，再求出，，即可求出
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
，
：：，
，
，
，
，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
和互相平分，设其交点为，则点的坐标为．
当直线时，取最小值，设直线的解析式为，
点在直线上，
，解得：，
直线的解析式为．
联立两直线解析式成方程组，得：，
解得：，
当取最小值时，点的坐标为
又点为线段的中点，
点的坐标为
故答案为：
根据平行四边形的性质可得出和互相平分，设其交点为，则点的坐标为，由点到直线之间垂线段最短可得出当直线时取最小值，结合点的坐标可得出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，再利用平行四边形的性质可求出当取最小值时点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，利用点到直线之间垂线段最短确定点的位置是解题的关键．
9.【答案】
10.【解析】【解析】四边形是矩形，。。
四边形是矩形，。
点是的中点，。。
又，。。
又，，。
11.【答案】
【解析】解：在矩形中，对角线、的交点为，
过点分别交、于、
，，
由角角边定理可知≌
图中阴影部分面积的面积
为矩形的对角线交点
由矩形的性质可知：
图中阴影部分面积的面积
故此题应该填：
由矩形的性质可证明≌，故图中阴影部分面积的面积；
对角线、的交点为，由矩形性质可知：矩形的面积三角形面积的四倍，由此可知三角形的面积，进而求得阴影部分的面积．
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的性质和证明，主要是图中各部分面积之间的代换．
12.【答案】或
【解析】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
四边形是矩形，，，
，，，四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
将沿翻折得到，
，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
下面分两种情况讨论：
当时，，，，
在中，
，，
由勾股定理，得，
即，
解得；
当时，，，，
在中，
，，
由勾股定理，得，
即，
解得；
故答案为：或．
过点作于点，的延长线交于点，证出，在中，利用勾股定理求出，进而求出或，再分两种情况讨论，在中，利用勾股定理列方程即可求出．
本题考查翻折变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键．
13.【答案】菱
【解析】试题分析：连接矩形对角线．利用矩形对角线相等、三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，且；然后由四条边相等的平行四边形是菱形推知四边形是菱形．
如图、、、是矩形各边的中点．连接、．
矩形的对角线相等，
，且；
同理，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形．
故答案是：菱形．
14.【答案】
【解析】解：连接，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，最小，
．
故答案为：．
连接，先根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积即可求出的长．
本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．
15.【答案】
【解析】解：过点作，过点作交于，于，作点关于的对称点，
当、、三点共线时，四边形的周长最小，
由对称性可知，，
四边形为平行四边形，
，
四边形的周长，
此时四边形的周长最小值为，
，，为边的中点，
，，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形的周长最小值为，
故答案为：．
过点作，过点作交于，于，作点关于的对称点，当、、三点共线时，四边形的周长最小，最小值为，求出，即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】的长为．
【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
由折叠得，
，且，
，
解得，
，
的长为．
由矩形的性质得，，，由，求得，则，由折叠得，而，由勾股定理得，求得，则．
此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出的长是解题的关键．
17.【答案】于点，
，
四边形为平行四边形，，
四边形是矩形．
的长是
【解析】证明：于点，
，
四边形为平行四边形，，
四边形是矩形．
解：，，，
，
是上一点，且，
，
，
的长是．
由于点，得，即可由四边形为平行四边形，，根据矩形的定义证明四边形是矩形．
由，，，根据勾股定理求得，由，求得．
此题重点考查矩形的判定、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明，并且求得是解题的关键．
18.【答案】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．
由平行四边形的性质得，，则，再证明，然后由证明≌即可；
由平行四边形的性质得，，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后证明，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．