(共59张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
探究点一 求异面直线所成的角
探究点二 证明空间中两条直线垂直
【学习目标】
1.理解异面直线所成的角.
2.掌握异面直线所成的角、两条直线垂直的判断与性质.
知识点一 异面直线所成的角
1.两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4个角，其中__________的角称为这两条直
线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线_____
_______.当两条直线, 相互平行时，我们规定它们所成的角为___.
不大于
倾斜的程度
2.异面直线所成的角
已知两条异面直线,,经过空间任一点分别作直线, ,我们把
_________________叫作异面直线与 所成的角（或夹角）,如图所示.
直线与所成的
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在异面直线所成的角的定义中，与所成的角的大小与 的
选择有关.( )
×
[解析] 与所成的角的大小只由,的相互位置来确定，与 的选
择无关.
（2）在空间中，存在两条异面直线所成的角为 .( )
×
[解析] 两条异面直线所成的角 的取值范围是 .
2.设异面直线,所成的角与异面直线,所成的角相等，试判断,
的位置关系.
解：如图所示，在正方体 中，
异面直线,所成的角与异面直线, 所成
的角相等，此时, 为相交直线；
异面直线, 所成的角与异面直线, 所
成的角相等，此时,为平行直线；
异面直线,所成的角与异面直线 ,所成的角相等，此时
, 为异面直线.故, 的位置关系为相交、平行或异面.
知识点二 异面直线互相垂直
1.如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直
线互相垂直.
2.直线与直线 垂直，记作______.
直角
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在长方体中，异面直线与 相互垂直.
( )
√
[解析] 因为，所以为异面直线与 所成的角，
因为 ，所以异面直线与 相互垂直.
（2）若,为两条异面直线，且，，则, 不可能是平行
直线.( )
×
[解析] 在正方体中，与 为异面直
线，，，此时 .
2.讨论垂直于同一条直线的两条直线的位置关系.
解：如图，在正方体 中，
，，此时 ；
，，此时， 相交；
，，此时, 异面.
综上可知，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相
交或异面.
探究点一 求异面直线所成的角
例1 如图，在正方体中，为 与
的交点，求：
（1）与 所成的角；
解： ，
或其补角是异面直线与 所成的角.
在中，， ，
与所成的角为 .
（2）与 所成的角.
解：如图，连接，在正方体
中，，， 四边形 是
平行四边形， ，
或其补角是与所成的角.
连接 ，易知 是等边三角形，
又是的中点， ，
与所成的角为 .
变式（1） [2024·菏泽一中高一月考]如图，在正
三棱锥中，,分别为, 的中点，
则异面直线与 所成的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,分别为, 的中点，
所以，则或其补角即为异面直线与 所成的角.
因为三棱锥为正三棱锥，所以是等边三角形，
故 ，故异面直线与所成的角为 .故选A.
√
（2）在直三棱柱中，，， ，
，分别是和的中点，则异面直线与 所成的角为
____.
[解析] 如图，取的中点，连接 ，
， ，分别为， 的中点，
，则 （或其补角）为异面
直线与所成的角.
取的中点 ，连接，，
则且 ，
又且，
四边形 为平行四边形，.
在中，由，， ，
得，则，
，
， ，
则， ，
则， ,
即异面直线与所成的角为 .
［素养小结］
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，
作出异面直线所成的角（或其补角）.
（2）计算角：一般在三角形中求角的大小.
（3）确定角：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所
成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
探究点二 证明空间中两条直线垂直
例2 如图所示,在空间四边形中,,,
的中点分别是,,,且,, ,
证明： .
证明：,,分别为,, 的中点,
,,
或其补角是异面直线与所成的角.
,,, ,
, 异面直线与所成的角为 ， .
变式 如图所示，在底面为菱形的直四棱柱 中，
，，若 ，求证： .
证明：如图所示，连接 四边形 为菱
形， ,，
为直角三角形， ，
.
连接，交 于点
， （或其补角）为异面直线与所成的角.
易知四边形为正方形， ， .
［素养小结］
要证明两异面直线垂直,应先构造两异面直线所成的角，若能证明这
个角是直角，即得到两异面直线垂直.
1.求解异面直线所成的角问题的解题思路：把空间两条异面直线所成
的角通过平移转化为平面内相交直线所成的角，再求出该角.
2.两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
3.要证两条异面直线垂直，只需证这两条异面直线所成的角是直角.
作异面直线所成的角主要通过三种平移方法产生:①直接平移法;②中
位线平移法;③补形平移法.
求异面直线所成的角的基本步骤:作（找）、证、求、答.
例 在长方体中，点在平面 内，但不在
对角线 上.
（1）过点在空间内作一条直线,使直线 ,应该如何作图 并说
明理由.
解:在上找一点，上找一点 ，
使得，则即为 ，如图（a）.
, ,
直线 .
直线与直线所成的角为 ,即直线
为所求作的直线,如图（b）.
由图知 与是异面直线,且与 所成的角
.
当时,这样的直线 有且只有一条；当时,这样的直线 有两条.
（2）过点在平面内作一条直线,使与直线 所成的角
为 ,其中 ,这样的直线有几条 应该如何作图
解:过点在平面内作直线，使与所成的角为 ,
,
练习册
一、选择题
1.若异面直线和所成的角为 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据异面直线的概念可得， 的取值范围是 ，故选C.
√
2.已知异面直线，所成的角为 ，，则与 所成的角是
( )
A. B. C. 或 D.
[解析] 在直线上取一点作，如图.
因为，所以 ，则相交直线,所成
的角就是异面直线,所成的角，
所以相交直线, 所成的角为 ，
所以与所成的角是 .
√
3.直三棱柱中， ，则在该直三棱柱的所有棱
中，与 垂直且异面的有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
[解析] 如图，直三棱柱
中， ，则在该直三棱柱的所有棱
中，与垂直且异面的有和 ，共
2条.故选B.
√
4.在空间四边形中, ,则顺次连接四边的中点形成的四边
形一定是( )
A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
[解析] 如图,易知四边形 为平行四边形.
,分别为,的中点, .
同理可得，
或其补角为与 所成的角.
与所成的角为 ,
,故四边形 为矩形.
√
5.如图，正方体 的12条棱所在
的直线中与直线所成的角为 的条数为
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
√
[解析] 因为，所以与直线 所成的角为，
又，
所以,,与直线 所成的角为.
同理可得,,,与直线所成的角为.
又 , ,,与直线所成的角为，
所以与直线所成的角为 的棱有8条.故选B.
6.如图，在直三棱柱中， ，
若，则异面直线与 所成
角的大小是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，连接
,
或其补角即为异面直线与 所成的角.
在直三棱柱中， ，
，
, ，.
在 中，，是正三角形，
.故选C.
7.已知一个正方体的展开图如图所示，其中
，为原正方体所在棱的中点，， 为原正
方体的顶点，则在原来的正方体中与 所
成角的大小是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将展开图还原为正方体，如图，其中
，， 分别为所在面的对角线.
因为A，B分别为相应棱的中点，所以 ，
易知，
所以或其补角为与 所成的角，
又因为 ，所以 ，
即与 所成角的大小是 .故选C.
8.如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，
该底座可看作正方体与直三棱柱 的组合体，
且为等腰直角三角形，则直线与直线 所成的角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接,，易知 ，所
以或其补角为直线与直线 所成的角.
设，则,, , .
.
在 中，由余弦定理得 ，
又，所以，
又直线与直线 所成角的取值范围为，
所以直线与直线所成的角为 .
9.在正方体中,点在线段 上运动,则异面直线
与所成的角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,连接,.易知 ,所
以或其补角即为与 所成的角，
又易知始终是锐角，所以 .
当点从点向点A运动时,从 增大
到 ,但当点与重合时, ,此时
与 不是异面直线，不符合题意，所以
异面直线与所成的角 的取值范围是 .故选D.
二、填空题
10.如图，在正方体中，与 垂直的棱有___条.
8
[解析] 与垂直的棱有，，，，，， ，
，共8条.
11.在空间四边形中,,,分别为, 的中点,若异面
直线与所成的角为 ,则异面直线与 所成的角的大小为
__________.
或
[解析] 连接，取的中点,连接与, 异面直线与 所
成的角为 ,且,, 或 .
,为异面直线与所成的角.由 ,得
, 或 ，与所成的角是
或 .
12.如图， 是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上
底面边长和侧棱长都为2，则异面直线与 所成角的余弦值为
_ __.
[解析] 如图，取的中点，连接 ，.
因为且 ，所以四边
形为平行四边形，所以 ，
则（或其补角）即为异面直线 与所成的角.
因为 ，所以平行四边形为菱形，
又，所以 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
在中，由余弦定理得 .
又，，
所以在 中，由余弦定理得
，
则异面直线与所成角的余弦值为 .
三、解答题
13.如图，在三棱锥中，， .
（1）在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有多少
对异面直线？请一一列出.
解：在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有3对异面直线，
分别是 与，与，与 ．
（2）若棱的中点为，棱的中点为， ，求异面直线
与 所成的角的余弦值．
解：如图，取的中点，连接， ，因
为的中点为，的中点为 ，所以
，，所以异面直线与 所
成的角为 或其补角.
因为，，所以，，
又 ，所以在 中，由余弦定理可
得 ，
所以异面直线与所成的角的余弦值为 .
14.已知圆柱的底面半径为，四边形为其轴截面，若点 为上
底面圆弧的中点，异面直线与所成的角为 ，求圆柱的表面积.
解：如图,设底面圆心为，则为 的中点，
过点作，交圆于 ，
连接，，，
， 为锐角，
为异面直线与 所成的角，
.
点为上底面圆弧的中点， 点为下底面圆弧 的中点，
， ，
又，， ，
则圆柱的表面积
.
15.如图，在棱长为1的正方体
中，为底面 内
（包括边界）的动点，满足与直线 所
成角的大小为，则线段 扫过的面积为___.
[解析] 由题意知，要使 与直线
所成角的大小为，只需与直线 所
成角的大小为，，
又 ，，.
如图所示， 的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，
线段扫过的面积为 .
16.空间中，，，四点任意两点间的距离都等于，为 的中
点，在由，，，确定的四个等边三角形中，求与 异面的三
角形中线与 所成角的余弦值.
解：如图①所示，与中线 为异面直线.
连接，取的中点，连接，，
则，
所以 或其补角是异面直线与 所成的角.
又，， ，
则 ，
所以异面直线与所成角的余弦值为 .
如图②所示，与中线 为异面直线.
取的中点，连接，，，则，
所以 或其补角是异面直线与 所成的角.
又， ，
，
则 ，
所以异面直线与所成角的余弦值为 .
如图③所示，与中线 为异面直线.
取的中点，连接 ，，，则 ，
或其补角是异面直线和 所成的角.
又， ， ，
则 ，
所以异面直线与 所成角的余弦值为 .
同理，易知其他与 异面的中线与 所成角的余弦值也为或 .
综上，与 异面的三角形中线与所成角的余弦值为 或 .8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
【课前预习】
知识点一
1.不大于90° 倾斜的程度 0°
2.直线a'与b'所成的角
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)a'与b'所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定,与O的选择无关.
(2)两条异面直线所成的角α的取值范围是(0°,90°].
2.解:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,CD所成的角相等,此时BC,CD为相交直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,B1C1所成的角相等,此时BC,B1C1为平行直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,C1D1所成的角相等,此时BC,C1D1为异面直线.故a,c的位置关系为相交、平行或异面.
知识点二
1.直角 2.a⊥b
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1)因为BB1∥CC1,所以∠CC1D1为异面直线BB1与C1D1所成的角,因为∠CC1D1=90°,所以异面直线BB1与C1D1相互垂直.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB(a)与DD1(b)为异面直线,BC(c)⊥AB(a),A1D1(d)⊥DD1(b),此时BC(c)∥A1D1(d).
2.解:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥AA1,B1C1⊥AA1,此时BC∥B1C1;AB⊥AA1,AD⊥AA1,此时AB,AD相交;AB⊥AA1,A1C1⊥AA1,此时AB,A1C1异面.综上可知,垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵CG∥BF,
∴∠EBF或其补角是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中,EF=BF,∴∠EBF=45°,∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图,连接FH,在正方体ABCD-EFGH中,FB=HD,FB∥HD,∴四边形FBDH是平行四边形,∴BD∥FH,
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角.连接AF,
易知△AFH是等边三角形,
又O是AH的中点,∴∠HFO=30°,
∴FO与BD所成的角为30°.
变式 (1)A (2)30° [解析] (1)因为M,N分别为PA,PB的中点,所以MN∥AB,则∠BAC或其补角即为异面直线MN与AC所成的角.因为三棱锥P-ABC为正三棱锥,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=,故异面直线MN与AC所成的角为.故选A.
(2)如图,取AB1的中点F,连接EF,DF,∵D,F分别为AC1,AB1 的中点,∴DF∥C1B1,则∠FDE(或其补角)为异面直线B1C1与DE所成的角.取AC的中点O,连接BO,DO,则DO∥CC1且DO=CC1,又BE∥CC1且BE=CC1,∴四边形DOBE为平行四边形,∴DE=BO.在△ABC中,由AB=1,AC=2,BC=,得AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC,∴OB=AC=1.DF=C1B1=CB=,EF=AB=,DE=BO=1,则DF2+EF2=DE2,∴∠DFE=90°,则sin∠FDE==,∴∠FDE=30°,即异面直线B1C1与DE所成的角为30°.
探究点二
例2 证明:∵P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,∴PQ∥AC,QR∥BD,∴∠PQR或其补角是异面直线AC与BD所成的角.∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,∴∠PQR=90°,∴异面直线AC与BD所成的角为90°,∴AC⊥BD.
变式 证明:如图所示,连接BD.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,AB=4,∴BD=4.∵△BDD1为直角三角形,∴B=BD2+D,∴DD1=4.连接BC1,交B1C于点O.∵BC1∥AD1,∴∠BOC(或其补角)为异面直线B1C与AD1所成的角.易知四边形BCC1B1为正方形,∴∠BOC=90°,∴B1C⊥AD1.8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
1.C [解析] 根据异面直线的概念可得,θ的取值范围是,故选C.
2.A [解析] 在直线b上取一点作c'∥c,如图.因为c∥a,所以c'∥a,则相交直线b,c'所成的角就是异面直线a,b所成的角,所以相交直线b,c'所成的角为50°,所以b与c所成的角是50°.
3.B [解析] 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,则在该直三棱柱的所有棱中,与AC垂直且异面的有A1B1和BB1,共2条.故选B.
4.B [解析] 如图,易知四边形EFGH为平行四边形.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.同理可得FG∥BD,∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.∵AC与BD所成的角为90°,∴∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
5.B [解析] 因为∠CBC1=,所以BC与直线BC1所成的角为,又BC∥AD∥A1D1∥B1C1,所以AD,A1D1,B1C1与直线BC1所成的角为.同理可得BB1,CC1,DD1,AA1与直线BC1所成的角为.又AB,CD,C1D1,A1B1与直线BC1所成的角为,所以与直线BC1所成的角为的棱有8条.故选B.
6.C [解析] 如图所示,连接B1C.∵A1B1∥AB ,∴∠B1A1C或其补角即为异面直线A1C与AB所成的角.∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AC=BC=1,∴A1C=,B1C=,AB=A1B1=.在△B1A1C中,∵A1B1=A1C=B1C=,∴△B1A1C是正三角形,∴∠B1A1C=.故选C.
7.C [解析] 将展开图还原为正方体,如图,其中EG,EF,FG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为相应棱的中点,所以EF∥AB,易知CD∥EG,所以∠FEG或其补角为AB与CD所成的角,又因为EG=EF=FG,所以∠FEG=60°,即AB与CD所成角的大小是60°.故选C.
8.B [解析] 如图,连接FC,FG,易知AH∥FI,所以∠FIG或其补角为直线AH与直线IG所成的角.设BC=1,则IG=,FC=,FI=,CG=1.在Rt△FCG中,FG===.在△FIG中,由余弦定理得cos∠FIG===-,又∠FIG∈(0,π),所以∠FIG=,又直线AH与直线IG所成角的取值范围为,所以直线AH与直线IG所成的角为.
9.D [解析] 如图,连接CD1,AC.易知CD1∥BA1,所以∠D1CP或其补角即为CP与BA1所成的角,又易知∠D1CP始终是锐角,所以θ=∠D1CP.当点P从点D1向点A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,此时CP与BA1不是异面直线,不符合题意,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.
10.8 [解析] 与AB垂直的棱有AA1,BB1,CC1,DD1,AD,BC,A1D1,B1C1,共8条.
11.75°或15° [解析] 连接AC,取AC的中点G,连接GE与GF,∵异面直线AB与CD所成的角为30°,且EG∥AB,FG∥CD,∴∠EGF=30°或∠EGF=150°.∵EG∥AB,∴∠GEF为异面直线AB与EF所成的角.由AB=CD,得GE=GF,∴∠GEF=75°或∠GEF=15°,∴EF与AB所成的角是75°或15°.
12. [解析] 如图,取AB的中点D,连接A1D,CD.因为A1B1∥DB且A1B1=DB,所以四边形A1B1BD为平行四边形,所以A1D∥BB1,则∠CA1D(或其补角)即为异面直线A1C与BB1所成的角.因为AA1=A1B1=AB=BB1=2,所以平行四边形A1B1BD为菱形,又AD=DB=2,所以△ADA1为等边三角形,所以∠A1AB=60°,所以∠A1AC=60°,在△A1AC中,由余弦定理得A1C===2.又CD==2, A1D=2,所以在△CA1D中,由余弦定理得cos∠CA1D==,则异面直线A1C与BB1所成角的余弦值为.
13.解:(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中,共有3对异面直线,分别是PA与BC,PB与AC,PC与AB.
(2)如图,取AB的中点O,连接OM,ON,因为PB的中点为M,AC的中点为N,所以OM∥PA,ON∥BC,所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角.
因为PA=4,BC=6,所以OM=2,ON=3,又MN=4,所以在△MON中,由余弦定理可得cos∠MON===-,所以异面直线PA与BC所成的角的余弦值为.
14.解:如图,设底面圆心为O,则O为CD的中点,过点E作EF∥BC,交圆O于F,
连接OE,OF,DF,∵BC∥EF,∠DEF为锐角,
∴∠DEF为异面直线DE与BC所成的角,∴∠DEF=.
∵点E为上底面圆弧的中点,∴点F为下底面圆弧的中点,∴CD⊥OF,∴DF==2,
又EF⊥DF,∠DEF=,∴EF=2,
则圆柱的表面积S=2π×EF+2π×()2=4(+1)π.
15. [解析] 由题意知DD1∥CC1,要使D1P与直线CC1所成角的大小为,只需D1P与直线DD1所成角的大小为,∴∠DD1P=,又DD1=1,DD1⊥DP,∴DP=.如图所示,P的轨迹是以D为圆心,为半径的四分之一圆,∴线段DP扫过的面积为××π=.
16.解:如图①所示,AE与中线BF为异面直线.
连接DE,取DE的中点G,连接FG,BG,则GF∥AE,所以∠BFG或其补角是异面直线AE与BF所成的角.
又GF=a,BF=a,BG==a,
则cos∠BFG==,
所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
如图②所示,AE与中线DH为异面直线.
取BE的中点I,连接HI,DI,DE,则HI∥AE,所以∠IHD或其补角是异面直线AE与DH所成的角.
又DH=a,HI=a,
DI===a,
则cos∠IHD==,
所以异面直线AE与DH所成角的余弦值为.
如图③所示,AE与中线CJ为异面直线.
取BJ的中点K,连接EK,AK,AJ,则EK∥CJ,所以∠AEK或其补角是异面直线AE和CJ所成的角.
又AE=a,EK=a,AK==a,
则cos∠AEK==,
所以异面直线AE与CJ所成角的余弦值为.
同理,易知其他与AE异面的中线与AE所成角的余弦值也为或.
综上,与AE异面的三角形中线与AE所成角的余弦值为或.8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
【学习目标】
1.理解异面直线所成的角.
2.掌握异面直线所成的角、两条直线垂直的判断与性质.
◆ 知识点一 异面直线所成的角
1.两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4个角,其中 的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线 .当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为 .
2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角),如图所示.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在异面直线所成的角的定义中,a'与b'所成的角的大小与O的选择有关. ( )
(2)在空间中,存在两条异面直线所成的角为120°. ( )
2.设异面直线a,b所成的角与异面直线c,b所成的角相等,试判断a,c的位置关系.
◆ 知识点二 异面直线互相垂直
1.如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
2.直线a与直线b垂直,记作 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BB1与C1D1相互垂直. ( )
(2)若a,b为两条异面直线,且c⊥a,d⊥b,则c,d不可能是平行直线. ( )
2.讨论垂直于同一条直线的两条直线的位置关系.
◆ 探究点一 求异面直线所成的角
例1 如图,在正方体ABCD-EFGH中,O为AH与DE的交点,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
变式 (1)[2024·菏泽一中高一月考] 如图,在正三棱锥P-ABC中,M,N分别为PA,PB的中点,则异面直线MN与AC所成的角为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则异面直线B1C1与DE所成的角为 .
[素养小结]
求两条异面直线所成的角的一般步骤:
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线所成的角(或其补角).
(2)计算角:一般在三角形中求角的大小.
(3)确定角:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
◆ 探究点二 证明空间中两条直线垂直
例2 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,证明:AC⊥BD.
变式 如图所示,在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BD1=4,若∠BAD=60°,求证:B1C⊥AD1.
[素养小结]
要证明两异面直线垂直,应先构造两异面直线所成的角,若能证明这个角是直角,即得到两异面直线垂直.8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
一、选择题
1.若异面直线a和b所成的角为θ,则θ的取值范围是 ( )
A. B.(0,π)
C. D.(0,π]
2.已知异面直线a,b所成的角为50°,a∥c,则b与c所成的角是 ( )
A.50° B.40°
C.50°或130° D.130°
3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,则在该直三棱柱的所有棱中,与AC垂直且异面的有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
4.在空间四边形ABCD中,AC⊥BD,则顺次连接四边的中点形成的四边形一定是 ( )
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成的角为的条数为 ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C与AB所成角的大小是 ( )
A. B.
C. D.
7.已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为原正方体所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB与CD所成角的大小是 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
8.如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图,该底座可看作正方体BCDE-HGJI与直三棱柱ABH-FEI的组合体,且△ABH为等腰直角三角形,则直线AH与直线IG所成的角为 ( )
A. B. C. D.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是 ( )
A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60°
C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°
二、填空题
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AB垂直的棱有 条.
11.在空间四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别为BC,AD的中点,若异面直线AB与CD所成的角为30°,则异面直线EF与AB所成的角的大小为 .
12.如图,ABC-A1B1C1是一个正三棱台,而且下底面边长为4,上底面边长和侧棱长都为2,则异面直线A1C与BB1所成角的余弦值为 .
三、解答题
13.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=4,BC=6.
(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中,共有多少对异面直线 请一一列出.
(2)若棱PB的中点为M,棱AC的中点为N,MN=4,求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
14.已知圆柱的底面半径为,四边形ABCD为其轴截面,若点E为上底面圆弧的中点,异面直线DE与BC所成的角为,求圆柱的表面积.
15.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足D1P与直线CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积为 .
16.空间中A,B,C,D四点任意两点间的距离都等于a,E为BC的中点,在由A,B,C,D确定的四个等边三角形中,求与AE异面的三角形中线与AE所成角的余弦值.
