(共63张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
探究点一 线面垂直概念的理解
探究点二 证明直线与平面垂直
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的判定定理.
2.能够运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点一 直线与平面垂直
1.定义:一般地，如果直线与平面 内的__________直线都垂直,我
们就说直线与平面 互相垂直,记作______.直线叫作平面 的
_______,平面 叫作直线 的______.直线与平面垂直时,它们唯一的公
共点 叫作垂足.
任意一条
垂线
垂面
2.画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边
形的一边垂直，如图，直线垂直于平面 .
3.点到平面的距离：过一点作________已知平面的直线，则该点与垂
足间的线段，叫作这个点到该平面的________，________的长度叫
作这个点到该平面的距离.
垂直于
垂线段
垂线段
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与该平面垂
直.( )
×
[解析] 由图①可知错误.
①
（2）如果一条直线与一个平面不垂直，那么它与平面内任何一条直
线都不垂直.( )
×
[解析] 由图②可知错误.
②
（3）如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都
垂直.( )
√
[解析] 由直线与平面垂直的定义知正确.
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的
变化，其影子的位置在移动.随着时间的变化旗杆所在的直线与其影
子所在的直线的夹角是否发生变化？若不变，夹角为多少？
解：由直线与平面垂直的定义知，随着时间的变化，旗杆所在的直
线与其影子所在的直线的夹角不变，为 .
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
1.文字语言:如果一条直线与一个平面内的______________垂直,那么
该直线与此平面垂直.
2.符号语言: , ,,, ______.
两条相交直线
3.图形语言:如图所示.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线 必
须有公共点.( )
×
[解析] 它们可以有公共点，也可以没有公共点.
（2）如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此
平面垂直.( )
×
[解析] 在线面垂直的判定定理中，要求平面内的两条直线必须相交.
（3）若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则此直线与该三角形
所在平面垂直.( )
√
[解析] 因为三角形的任意两条边都相交，所以根据直线与平面垂直
的判定定理知，此直线与该三角形所在平面垂直.
2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则此直线与该平行四
边形所在平面垂直吗
解：当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时，此直线与该平行四
边形所在平面垂直；
当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时，因为这两条对边平行，
所以此直线与该平行四边形所在平面不一定垂直.
探究点一 线面垂直概念的理解
例1（1） 在下列条件中，能判定一条直线与一个平面垂直的是
( )
A.这条直线垂直于该平面内的一条直线
B.这条直线垂直于该平面内的两条直线
C.这条直线垂直于该平面内的任意两条直线
D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线
√
[解析] 由线面垂直的判定定理可得，一条直线与一个平面垂直的条
件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线.
只有C选项满足题意，当这条直线垂直于该平面内的任意两条直线时，
这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线.故选C.
（2）如果一条直线垂直于一个平面内的①正五边形的两条边;②梯
形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则可以证明该直
线与平面垂直的是______（填序号）.
①③
[解析] 因为正五边形的任意两条边所在直线都相交,所以①可以证明
线面垂直；
因为梯形的上、下两底边平行,所以②不能证明线面垂直；
因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以证明线面垂直；
若直线垂直于正六边形的两条对边,因为两条对边是平行的,所以④不能
证明线面垂直.故填①③.
变式 已知直线，和平面 ，且在 内，不在 内，则下列说
法错误的是( )
A.若 ，则存在无数条直线，使得
B.若 ，则存在无数条直线，使得
C.若存在无数条直线，使得，则
D.若存在无数条直线，使得，则
√
[解析] 对于A，若 ，则 内存在无数条直线与 平行，故A中
说法正确；
对于B，若 ，则垂直于 内的任意直线，故B中说法正确；
对于C，因为， ， ，所以 ，故C中说法正确；
对于D，若存在无数条直线，使得，则与 平行或相交
（含垂直），故D中说法错误.故选D.
探究点二 证明直线与平面垂直
例2 如图，在三棱锥中，为的中点， ，
，.求证： 平面 .
证明：设是的中点，连接 ，
， .
是的中点，是 的中点，
， .
又，， 平面
， 平面 ，
平面
平面， .
又，， 平面， 平面，
平面 .
变式1 如图，在四棱锥 中，底面
为菱形， 平面 ，
，是的中点，求证：
平面 .
证明：连接，因为底面 为菱形，
，所以 为正三角形，
因为是的中点，所以 ，
因为，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以 ，
又因为，, 平面 ，
所以 平面 .
变式2 如图，在长方体 中，
，，为棱 的中点.求
证： 平面 .
证明：易知 平面 .
又 平面， .
在中，，，则有 ，
，即 .
又， 平面， 平面， 平面
.
［素养小结］
（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定这个平面内的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
（2）证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外，还可用以下结论：
①, ;
② , .
拓展 （多选题）如图，垂直于圆 所在的平
面,是圆的直径,是圆上异于,的一点, ,
分别是,上的点，且， ，
给出下列结论，其中正确的有( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 平面
√
√
√
[解析] 垂直于圆所在的平面,在圆 所
在的平面内,.又 ,
, 平面， 平面
， 平面,故A正确.
平面, 平面,,
又 ,, 平面， 平面，
平面 ,故B正确.
平面 ,且过平面外一点有且只有一条
直线与已知平面垂直, 与平面不垂直,故D不正确. 故选 .
1.直线与平面垂直概念的理解
（1）定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线（即所有直线）,
而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替.
（2）若一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,则这条直线就一定
不与这个平面垂直.
（3）直线与平面垂直的定义既可用作线面垂直的判定,也可作为线面
垂直的性质.
2.线面垂直的判定定理解读
（1）线面垂直的判定定理可简述为“若线线垂直,则线面垂直”.
（2）在利用线面垂直的判定定理时,一定要注意这条直线和平面内的
两条相交直线垂直（一交一内一垂直）.
证明线面垂直的方法:
（1）由线线垂直证明线面垂直:
①定义法（不常用）;②判定定理（最常用）,要着力寻找平面内的两
条相交直线（有时需要作辅助线）,使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）:
, ; , .
在证明中，要关注立体几何中平面图形的特点，比如等腰三角形底
边中点、菱形、矩形等，也要关注全等、勾股定理等初中几何知识
的运用.
例1 如图所示,在四棱锥 中,底面
是矩形,,,是棱 的中
点.求证: 平面 .
证明:在四棱锥中,底面 是矩形,
,
又,, 平面, 平
面, 平面 .
平面, .
,是棱的中点, ,
又, 平面, 平面, 平面
.
例2 如图，四面体中，是的中点，和 均为
等边三角形，,.求证： 平面 .
证明：连接，因为为等边三角形，且
为的中点，所以 .
因为和均为等边三角形，且为
的中点，，所以 ，
在中，可得，所以 ，即
，
因为， 平面, 平面，所以 平面
.
练习册
一、选择题
1.若三条直线，，两两垂直，则直线 垂直于( )
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
[解析] ，，且， 平面 .
故选C.
√
2.已知两条不同的直线,和平面 ,若 ,则“”是“ ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 , ,则一定成立,即必要性成立.
若 , ,则 不一定成立,只有当垂直于平面 内的两条
相交直线时,该结论才成立,故充分性不成立.
综上所述,“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
[解析] 当 时，易知 内与 垂直的直线有
无数条.
当 时，如图，不与 垂直，A是上一点，
C是与 的交点， ，， ，故，若，
因为，所以 平面，又 平面，所以，
故在平面 内与 平行的直线均与 垂直，这样的直线有无数条.故选C.
3.若直线与平面 不垂直，则平面 内与直线 垂直的直线有
( )
A.0条 B.1条 C.无数条 D.不确定
√
4.如图，在正方体中，与 垂
直的平面是( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
[解析] 易知 平面，，又 ，
， 平面 .故选D.
√
5.如图所示，定点和都在平面 内，定点
， ，是平面 内异于和 的动点，
且，则 为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
[解析] ， ，
，， 平面，
又 平面， ，故 为直角三角形.故选B.
√
6.如图，在圆柱中，是母线， 是底面圆
的直径，是底面圆周上异于， 的任意一点，
则( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
[解析] 是底面圆周上异于A，B的任意一点，且是底面圆 的
直径， 平面， 平面， ，
又， 平面， 平面， 平面
.故选A.
√
7.在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，， 分别
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面 不垂直
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，为体对角线，，，
分别为所在棱的中点，由中位线定理
可得，,, 分别平行于所在面的
一条对角线，连接它们所在面的另一条
对角线，如图①，连接，易得
平面，故，同理得，
，又，
故 平面，故A中直线与平面 垂直；
对于B，，，， 平
面，故B中直线与平面垂直；
对于C， ，，
， 平面，
故C中直线 与平面垂直；
对于D，如图②，为等边三角形，
易得 与所成的角为 ，
直线与平面不垂直，
故D中直线 与平面 不垂直.故选D.
8.（多选题）下列说法中正确的是( )
A.若直线与平面 内的一条直线垂直，则
B.若直线与平面 内的两条直线垂直，则
C.若直线与平面 内的两条相交直线垂直，则
D.若直线与平面 内的任意一条直线都垂直，则
[解析] 由线面垂直的判定定理知，若直线与平面 内的两条相交直
线垂直，则 ，故C正确；
由线面垂直的定义知，若直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，
则 ，故D正确；
易知A，B错误.故选 .
√
√
9.（多选题）[2024·无锡高一期中] 在正四面体中，,,, 分
别是棱,,, 的中点，则下列说法中正确的有( )
A.平面 B.
C.,,,四点共面 D. 平面
√
√
√
[解析] 对于A，因为,分别为棱, 的中点，
所以，又 平面， 平面
，所以平面 ，故A正确；
对于B，如图，取的中点，连接, ，
因为四面体是正四面体，
所以, ，
又，, 平面 ，所以
平面，又 平面，所以 ，故B正确；
对于C，因为,分别是,的中点，
所以，又 ，所以
，则,,, 四点共面，故C正确；
对于D，由上知，又 是等边三角
形，所以与不垂直，故与 不垂直，
若 平面，由上知 平面 ，
则，与已知不符，故D错误.故选 .
二、填空题
10.将一本书打开后竖立在桌面上（如图），
则书脊所在直线与桌面所在平面 的位置
关系为______.
垂直
[解析] 由题意知， ，且
平面 ， 平面 ，又
，所以 平面 .
11.已知直线，，，平面 ，若要得到结论 ，则需要在
， ，， 的基础上另外添加的条件是________
__.
与相交
[解析] 由线面垂直的判定定理可知，另外添加的条件是“与 相交”.
12.如图，一块正方体木料的上底面有一点，经过点 在上底面画一
条直线与 垂直，写出作该直线的方法：______________________
______________________________________.
连接，在平面中画出经过点与垂直的直线
[解析] 设经过点在上底面所画与 垂直的
直线为，在正方体 中，易
知 平面，又 平面
，所以，连接 ，
因为，,是平面 内的两条相
交直线，所以 平面，又 平面
， 所以，所以在平面中画出经过点与 垂直的
直线即可.
三、解答题
13.如图，直角三角形所在平面外有一点，且，
为斜边的中点.求证: 平面 .
证明:因为，为 的中点，所以
.
在中，易知 ，
又,，所以 ，
所以 ，即 .
又,, 平面 ，
所以 平面 .
14.如图，在正方体中，，
分别是棱，的中点，是与 的交点，
求证： 平面 .
证明： 四边形是正方形， .
平面， 平面 ，
.
是 的中位线，
,，，
又，， 平面， 平面 .
15.《九章算术》中，称底面为矩形且有一条侧棱
垂直于底面的四棱锥为阳马.设 是正八棱柱的一
条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，
以 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是
( )
A.8 B.16 C.24 D.28
√
[解析] 如图，连接，， ，
，，，，，， .
根据题意可得，该正八棱柱的底面边长
都相等，且底面的每个内角都为 ，
， ，
所以 ，，，
又因为 平面，所以，
又，所以 平面，
又因为，所以以矩形 为底面的 阳马有4个；
同理， 平面 ，以矩形 为
底面的阳马有4个；
平面，以矩形 为底
面的阳马有4个；
平面 ，以矩形为底面的阳
马有4个；
平面，以矩形 为底面的阳马有4个；
平面 ，以矩形 为底面的阳马有4个.
故共有24个阳马.故选C.
16.[2024·山东省实验中学高一月考] 如图①，在正方形中，,
分别是,的中点，将,,分别沿,, 折起，
使,,三点重合于点，得到四面体 ，如图②所示.求证：
（1） 平面 ；
证明：因为在正方形中，, ，
所以可得, ，
又，, 平面 ，
所以 平面 .
（2）点在平面内的射影为 的垂心.
证明： 如图，设点在平面内的射影为 ，
连接，则 平面，又 平面
，所以 .
连接并延长，与交于点，连接并延长，与交于点 .
因为在正方形中，，所以可得 ，
又,,, 平面，所以 平面
，又 平面，所以 .
因为,, 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面,所以 ，同理可得
，
故点在平面内的射影为 的垂心.8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
1.C [解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.故选C.
2.B [解析] 若l⊥α,m α,则l⊥m一定成立,即必要性成立.若l⊥m,m α,则l⊥α不一定成立,只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时,该结论才成立,故充分性不成立.综上所述,“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选B.
3.C [解析] 当a α时,易知α内与a垂直的直线有无数条.当a α时,如图,a不与α垂直,A是a上一点,C是a与α的交点,AB⊥α,B∈α,c α,故AB⊥c,若c⊥BC,因为AB∩BC=B,所以c⊥平面ABC,又a 平面ABC,所以c⊥a,故在平面α内与c平行的直线均与a垂直,这样的直线有无数条.故选C.
4.D [解析] 易知A1B1⊥平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1,又AD1⊥A1D,A1D∩A1B1=A1,∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.
5.B [解析] ∵PB⊥α,AC α,∴PB⊥AC.∵PC⊥AC,PB∩PC=P,∴AC⊥平面PBC,又BC 平面PBC,∴AC⊥BC,故△ABC为直角三角形.故选B.
6.A [解析] ∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是底面圆O的直径,∴BC⊥AC.∵AA'⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴AA'⊥BC,又AA'∩AC=A,AA' 平面A'AC,AC 平面A'AC,∴BC⊥平面A'AC.故选A.
7.D [解析] 对于A,AB为体对角线,M,N,Q分别为所在棱的中点,由中位线定理可得,MN,MQ,NQ分别平行于所在面的一条对角线,连接它们所在面的另一条对角线,如图①,连接BQ,易得MN⊥平面ABQ,故AB⊥MN,同理得AB⊥MQ,AB⊥NQ,又MN∩MQ=M,故AB⊥平面MNQ,故A中直线AB与平面MNQ垂直;对于B,AB⊥MN,AB⊥MQ,∵MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故B中直线AB与平面MNQ垂直;对于C,AB⊥MN,AB⊥MQ,∵MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故C中直线AB与平面MNQ垂直;对于D,如图②,△CDE为等边三角形,易得 AB与MN所成的角为60°,∴直线AB与平面MNQ不垂直,故D中直线AB与平面MNQ不垂直.故选D.
8.CD [解析] 由线面垂直的判定定理知,若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α,故C正确;由线面垂直的定义知,若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α,故D正确;易知A,B错误.故选CD.
9.ABC [解析] 对于A,因为E,F分别为棱AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC 平面ACD,EF 平面ACD,所以EF∥平面ACD,故A正确;对于B,如图,取BD的中点M,连接AM,CM,因为四面体ABCD是正四面体,所以AM⊥BD,CM⊥BD,又AM∩CM=M,AM,CM 平面AMC,所以BD⊥平面AMC,又AC 平面AMC,所以AC⊥BD,故B正确;对于C,因为G,H分别是CD,AD的中点,所以HG∥AC,又EF∥AC,所以HG∥EF,则E,F,G,H四点共面,故C正确;对于D,由上知EF∥AC,又△ABC是等边三角形,所以AB与AC不垂直,故AB与EF不垂直,若AB⊥平面FGH,由上知EF 平面FGH,则AB⊥EF,与已知不符,故D错误.故选ABC.
10.垂直 [解析] 由题意知AB⊥BC,AB⊥BE,且BC 平面α,BE 平面α,又BC∩BE=B,所以AB⊥平面α.
11.a与b相交 [解析] 由线面垂直的判定定理可知,另外添加的条件是“a与b相交”.
12.连接C1E,在平面A1B1C1D1中画出经过点E与C1E垂直的直线 [解析] 设经过点E在上底面所画与CE垂直的直线为l,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知CC1⊥平面A1B1C1D1,又l 平面A1B1C1D1,所以CC1⊥l,连接C1E,因为CE⊥l,CC1,CE是平面CC1E内的两条相交直线,所以l⊥平面CC1E,又C1E 平面CC1E,所以l⊥C1E,所以在平面A1B1C1D1中画出经过点E与C1E垂直的直线即可.
13.证明:因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,易知AD=DC=BD,
又SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS,
所以∠BDS=∠ADS=90°,即SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC,BD 平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
14.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BO.
∵B1B⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴BB1⊥AC.
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,∴EF⊥BB1,EF⊥BO,又BB1∩BO=B,BB1,BO 平面BB1O,∴EF⊥平面BB1O.
15.C [解析] 如图,连接A1C1,A1D1,A1F1,A1G1,B1E1,AC,AD,AF,AG,BE.根据题意可得,该正八棱柱的底面边长都相等,且底面的每个内角都为135°,∠HAG=∠BAC=22.5°,∠HAF=∠BAD=45°,所以AB⊥AF,AC⊥AG,AD⊥AH,又因为AA1⊥平面ABCDEFGH,所以AA1⊥AF,又AA1∩AB=A,所以AF⊥平面AA1B1B,又因为AF∥A1F1∥BE∥B1E1,所以以矩形A1ABB1为底面的阳马有4个;同理,AG⊥平面AA1C1C,以矩形AA1C1C为底面的阳马有4个;AH⊥平面AA1D1D,以矩形AA1D1D为底面的阳马有4个;AB⊥平面AA1F1F,以矩形AA1F1F为底面的阳马有4个;AC⊥平面AA1G1G,以矩形AA1G1G为底面的阳马有4个;AD⊥平面AA1H1H,以矩形AA1H1H为底面的阳马有4个.故共有24个阳马.故选C.
16.证明:(1)因为在正方形ABCD中,AP⊥AD,CD⊥CQ,
所以可得MP⊥MD,MD⊥MQ,
又MP∩MQ=M,MP,MQ 平面MPQ,
所以MD⊥平面MPQ.
(2)如图,设点M在平面PDQ内的射影为O,连接MO,则MO⊥平面PDQ,又PD 平面PDQ,
所以MO⊥PD.
连接DO并延长,与PQ交于点F,连接QO并延长,与PD交于点E.
因为在正方形ABCD中,BP⊥BQ,所以可得MP⊥MQ,
又MD⊥MQ,MD∩MP=M,MD,MP 平面MPD,所以MQ⊥平面MPD,又PD 平面MPD,所以MQ⊥PD.
因为MQ∩MO=M,MQ,MO 平面MOQ,
所以PD⊥平面MOQ,
又QE 平面MOQ,所以QE⊥DP,同理可得PQ⊥DF,
故点M在平面PDQ内的射影为△PDQ的垂心.8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的判定定理.
2.能够运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 直线与平面垂直
1.定义:一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作 .直线l叫作平面α的 ,平面α叫作直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫作垂足.
2.画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图,直线l垂直于平面α.
3.点到平面的距离:过一点作 已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫作这个点到该平面的 , 的长度叫作这个点到该平面的距离.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么它与该平面垂直. ( )
(2)如果一条直线与一个平面不垂直,那么它与平面内任何一条直线都不垂直. ( )
(3)如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂直. ( )
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,其影子的位置在移动.随着时间的变化旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化 若不变,夹角为多少
◆ 知识点二 直线与平面垂直的判定定理
1.文字语言:如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直.
2.符号语言:m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n .
3.图形语言:如图所示.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点. ( )
(2)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直. ( )
(3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在平面垂直. ( )
2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则此直线与该平行四边形所在平面垂直吗
◆ 探究点一 线面垂直概念的理解
例1 (1)在下列条件中,能判定一条直线与一个平面垂直的是 ( )
A.这条直线垂直于该平面内的一条直线
B.这条直线垂直于该平面内的两条直线
C.这条直线垂直于该平面内的任意两条直线
D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的①正五边形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则可以证明该直线与平面垂直的是 (填序号).
变式 已知直线a,b和平面α,且b在α内,a不在α内,则下列说法错误的是 ( )
A.若a∥α,则存在无数条直线b,使得a∥b
B.若a⊥α,则存在无数条直线b,使得a⊥b
C.若存在无数条直线b,使得a∥b,则a∥α
D.若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a⊥α
◆ 探究点二 证明直线与平面垂直
例2 如图,在三棱锥P-ABC中,E为PB的中点,EB=EA,PA⊥AC,PC⊥BC.求证:BC⊥平面PAC.
变式1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点,求证:AE⊥平面PAD.
变式2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AD=a,AB=2a,E为棱C1D1的中点.求证:DE⊥平面BCE.
[素养小结]
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定这个平面内的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
(2)证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外,还可用以下结论:
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
拓展 (多选题)如图,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一点,E,F分别是PB,PC上的点,且AE⊥PB,AF⊥PC,给出下列结论,其中正确的有 ( )
A.BC⊥平面PAC B.AF⊥平面PCB
C.EF⊥PB D.AE⊥平面PCB8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
2.已知两条不同的直线l,m和平面α,若m α,则“l⊥m”是“l⊥α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有 ( )
A.0条 B.1条
C.无数条 D.不确定
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 ( )
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB1
5.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
6.如图,在圆柱OO'中,AA'是母线,AB是底面圆O的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,
则 ( )
A.BC⊥平面A'AC
B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC
D.AC⊥平面A'AB
7.在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不垂直的是 ( )
A B C D
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α
B.若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α
C.若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α
D.若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α
9.(多选题)[2024·无锡高一期中] 在正四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,则下列说法中正确的有 ( )
A.EF∥平面ACD
B.AC⊥BD
C.E,F,G,H四点共面
D.AB⊥平面FGH
二、填空题
10.将一本书打开后竖立在桌面上(如图),则书脊所在直线AB与桌面所在平面α的位置关系为 .
11.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在a α,b α,l⊥a,l⊥b的基础上另外添加的条件是 .
12.如图,一块正方体木料的上底面有一点E,经过点E在上底面画一条直线与CE垂直, 写出作该直线的方法: .
三、解答题
13.如图,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:SD⊥平面ABC.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是AC与BD的交点,求证:EF⊥平面BB1O.
15.《九章算术》中,称底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 ( )
A.8 B.16 C.24 D.28
16.[2024·山东省实验中学高一月考] 如图①,在正方形ABCD中,P,Q分别是AB,BC的中点,将△APD,△PBQ,△CDQ分别沿PD,PQ,DQ折起,使A,B,C三点重合于点M,得到四面体MDPQ,如图②所示.求证:
(1)MD⊥平面MPQ;
(2)点M在平面PDQ内的射影为△PDQ的垂心.8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
【课前预习】
知识点一
1.任意一条 l⊥α 垂线 垂面
3.垂直于 垂线段 垂线段
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)由图①可知错误.
①
(2)由图②可知错误.
②
(3)由直线与平面垂直的定义知正确.
2.解:由直线与平面垂直的定义知,随着时间的变化,旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角不变,为90°.
知识点二
1.两条相交直线 2.l⊥α
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)它们可以有公共点,也可以没有公共点.
(2)在线面垂直的判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交.
(3)因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在平面垂直.
2.解:当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时,此直线与该平行四边形所在平面垂直;当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时,因为这两条对边平行,所以此直线与该平行四边形所在平面不一定垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)①③ [解析] (1)由线面垂直的判定定理可得,一条直线与一个平面垂直的条件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线.只有C选项满足题意,当这条直线垂直于该平面内的任意两条直线时,这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线.故选C.
(2)因为正五边形的任意两条边所在直线都相交,所以①可以证明线面垂直;因为梯形的上、下两底边平行,所以②不能证明线面垂直;因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以证明线面垂直;若直线垂直于正六边形的两条对边,因为两条对边是平行的,所以④不能证明线面垂直.故填①③.
变式 D [解析] 对于A,若a∥α,则α内存在无数条直线与a平行,故A中说法正确;对于B,若a⊥α,则a垂直于α内的任意直线,故B中说法正确;对于C,因为a∥b,a α,b α,所以a∥α,故C中说法正确;对于D,若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a与α平行或相交(含垂直),故D中说法错误.故选D.
探究点二
例2 证明:设D是AB的中点,连接ED,∵EB=EA,
∴ED⊥AB.
∵E是PB的中点,D是AB的中点,
∴ED∥PA,∴PA⊥AB.
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB 平面ABC,AC 平面ABC,
∴PA⊥平面ABC.∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA 平面PAC,PC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
变式1 证明:连接AC,因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形,
因为E是BC的中点,所以AE⊥BC,
因为AD∥BC,所以AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE,
又因为PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以AE⊥平面PAD.
变式2 证明:易知BC⊥平面CDD1C1.
又DE 平面CDD1C1,∴DE⊥BC.
在△CDE中,CD=2a,CE=DE=a,则有CE2+DE2=CD2,∴∠DEC=90°,即DE⊥EC.
又BC∩EC=C,BC 平面BCE,EC 平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
拓展 ABC [解析] ∵PA垂直于圆O所在的平面,BC在圆O所在的平面内,∴PA⊥BC.又BC⊥AC,AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,∴BC⊥平面PAC,故A正确.∵AF 平面PAC,BC⊥平面PAC,∴AF⊥BC,又AF⊥PC,PC∩BC=C,PC 平面PCB,BC 平面PCB,∴AF⊥平面PCB,故B正确.∵AF⊥平面PCB,PB 平面PCB,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,∴PB⊥平面AEF,又EF 平面AEF,∴EF⊥PB,故C正确.∵AF⊥平面PCB,且过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,∴AE与平面PCB不垂直,故D不正确.故选ABC.
